WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

Известно, с другой стороны, что для звена порядка n наклон ЛАЧХ + может составить максимально n20дб/дек. Из этих соображений, при использовании реальных фильтров не слишком высоких порядков выбирают р >> (2-10) с, чтобы соседние компоненты спектра квантованного сигнала отстояли друг от друга на значительное расстояние и было проще их отделить с помощью фильтра. Фильтры, кроме АЧХ, вносят фазовые искажения, поэтому задача построения фильтра является сложной.

II способ. Обратим внимание, что при вводе/выводе сигнала в ЦВМ значение сигнала фиксируется на время Т.

f(t) АЦП/ЦАП представлены адресами регистров,и в промежутках между чтением/записью данные сохраняютнеизменными. То же происходит и с вычисляемыми данными, хранящимися в рабочих переменных программ.

Отметим также, что такая фиксация T 2T 3T 4T 5T t есть не что иное, как простейший слу- Рис. 3.чай экстраполяции (0 порядка). Дадим описание устройства, осуществляющего экстраполяцию нулевого порядка, то есть фиксацию значения сигнала в течение времени Т:

) f (t) = f (kT)[1(t - kT ) -1(t - (k +1)T )] k =Преобразование Лапласа такого экстраполированного сигнала:

) 1- e-Tp F( p) = f (kT )e-kTp, p k =Назовем передаточной функцией фиксатора выражение:

WФиксатора(р)=(1-e-Tp)/p (3.2) Видим, что при использовании фиксатора в качестве модели экстраполятора, помимо того, что это хорошо увязано с вводом/выводом в ЦВМ, получается замечательный результат:

) 1- e-Tp * F( p) = • f (kT )e-kTp = Wфиксатора ( р) • F ( p) (3.3) p k=То есть фиксатор, на самом деле, является обычным динамическим звеном, описываемым передаточной функцией (правда, не дробно-рациональной,) в совокупности с идеальным квантователем.

f(t) f*(t) f^(t) wФ (p) Рис. 3.Таким образом, при наличии фиксатора процесс квантования с фиксацией можно представить, как наличие идеального квантователя в совокупности с передаточной функцией фиксатора wФ (p).

Рассмотрим частотную характеристику фиксатора и убедимся, что его действие практически подобно ФНЧ.

при 11jT 1- e- jT << 1 1+ jT 1+ jT -1 T e Wфикс.( j) = = T = = = j j j j(1+ jT ) 1+ jT инерционное звено (типичный ФНЧ) На частотах существенно меньше частот квантования фиксатор ведет себя как фильтр нижних частот (ФНЧ) первого порядка.

Любой другой способ восстановления непрерывного сигнала из квантованного также может быть сведен к действию ФНЧ, если рассматривать рабочие частоты ниже частоты квантования.

На рисунке видно, что частот- |Wфикс(j)| инерционное звено ные характеристики фиксатора и аппроксимирующего его филь- фиксатор тра низких частот в виде инер- ционного звена при малых отличаются незначительно.

Однако, при приближении к T частоте ср= 2/Т их поведение начинает отличаться 0.157•T принципиально. Частотная характеристика фиксатора ср=2/T 4/T Рис. 3.объясняет многие, на первый Рабочая область частот взгляд, непонятные свойства спектра квантованного сигнала.

Например, почему амплитуда основной полезной частоты в спектре может оказаться меньше, чем амплитуда боковой составляющей.

Ниже приведён спектр синуса f=5кГц. при квантовании с fр=8кГц.

Рис. 3.• Лекция 4.

Дискретное преобразование Лапласа и Z-преобразование.

Эти преобразования позволяют распространить все методы линейных систем на импульсные системы.

• Квантованный сигнал, который рассматривается лишь в дискретные моменты времени f(kT), может быть подвергнут дискретному преобразованию Лапласа по следующей формуле:

* - pkT F ( p) = (4.1) e f (kT ) k =Обычно после вычисления получается дробно-рациональная функция переменного ер.

p * Q(e ) F (p) = p P(e ) • Другим способом преобразования квантованного сигнала является Z-преобразование: F(z) = Z{f(t)} = Z{f(kT)} -k -(4.2) F (z) = z f (kT ) = f (0) + z f (1) + K k =pT Нетрудно видеть, что имеется простая зависимость: z = e.

Существенным преимуществом Z-преобразования является то, что все выражения являются дробно-рациональными функциями, такими же, как и в обычном преобразовании Лапласа.

Дискретное преобразование Лапласа (также, как и Z-преобразование,) обладают всеми свойствами, относящимися к обычному преобразованию Лапласа. Имеется целый ряд теорем, аналогичных теоремам о дифференцировании и интегрировании оригинала обычного преобразования Лапласа. Только в дискретном случае вместо дифференцирования и интегрирования фигурируют сдвиги во времени.

Вычисление Z-преобразований Способ 1 (по определению) Пример: f(kT)=1(t). Это - единичная ступенчатая функция.

-F(z) = 1 = = z 1-1 z z-1 z -k =pT e * F ( p) = pT e -Способ 2 (с помощью вычетов) Если известно преобразование Лапласа F(p) исходной непрерывной функции f(t), то можно вычислить Z - преобразование F(z):

f(t) f(kT) квантование F(z) = z pk Re s(F( pk )) по корням Z-преобр.

T z непрерывн. - e переход к Z- преобразованию ( p) (4.3) f F(p) F(z) pk – полюса (простые) преобразования Лапласа F(p) непрерывной функции f(t). В случае кратных корней формула несколько усложняется (можно найти в справочниках).

Пример: f(t) = 1(t); F(p) = 1/p.

z Вычисляем с помощью (7): F(z) = z -Передаточная функция импульсной системы Пусть на входе импульсной системы имеется импульсный сигнал u(z), на выходе этой системы имеется соответствующий сигнал Y(z).

Y (z) W (z) = при нулевых начальных условиях U (z) Возникает стандартная задача вычисления импульсной передаточной функции для импульсной системы, если известен исходный непрерывный прототип.

u(t) U*(p) Y(p) Y*(p) W(p) W(z) Рис. 4.Мы рассматриваем входной и выходной сигналы лишь в моменты квантования, а не как непрерывную функцию, поэтому на выходе системы имеется ещё один (фиктивный) квантователь. Сигнал Y(p) имеет сложную форму, совсем не похожую на квантованный сигнал.

Основная формула для импульсной передаточной функции основывается на доказанной в предыдущей лекции формуле для спектра идеального квантователя.

Замечание:

* Y ( j) = ) Y ( j + jn p По формуле (3.1) видно, что T n=преобразования Лапласа идеального p = j квантованного сигнала является * периодической функцией с периодом jp.

Y ( p) = ) Y ( p + jn p T * * n=Y ( p) = Y ( p + jn ) p * Как следствие, из этого вытекает, что U ( p) = ) U ( p + jn p T n=- частотные характеристики импульсного сигнала и амплитудно-частотная, фазочастотная являются периодичными с периодом j.

т.к.

Y*(p)= U*(p+ U*(p) W(p+ jnp ) jnp )периодичн. 1 W(p+ jnp ), где T T n=- n= * W (p) = W(p + jn ) (4.4) p T n = pT При z = e W (z), то есть получаем импульсную передаточную функцию в терминах Z - преобразования, без фиксатора.

Заметим, что из формулы (8) видно, что: результат квантования произведения не обязательно равен произведению результатов квантования.

Имеются обширные таблицы, в которых для стандартных и непрерывных передаточных функций имеются импульсные передаточные функции.

Пример: импульсная передаточная функция для инерционного звена.

k непр W ( p) =, где k – коэффициент усиления, T1 – постоянная T1 p +времени, T = – период квантования.

p pT 1 k k e W *(p) = = -T T T1(p + jnp )+1 TTpT e -e Так, как:

pT k z k z z = e, тогда W(z) = = без учёта фиксатора.

T1 -T T1 z -a Tz -e Замечание: попробуем перейти к пределу T 0, ожидая перейти к передаточной функции непрерывной системы.

k lim W(z) = = T1 1-T (z1) Видим, что переход не получился, так как модель квантования не учитывала фиксатор или более сложный экстраполятор. Если учесть наличие фиксатора, заданного передаточной функцией фиксатора 1- e- pT Wф ( p) =, то никаких бесконечностей не получится.

p pT k e 1- e- pT lim k 1 1- e- pT lim W*(p)Wф(p) = lim = = -T -T T1 p T1 p T 0 T 0 T T1 TpT pT e - e e - e d (1- e- pT ) k k p k dT • lim = • = -T T1p T1p T1p +T p + d T1 TpT (e - e ) dT Низкочастотная область Путем подстановки p = j получим частотную характеристику импульсной системы - АФЧХ: W *( j) = : | W* ( j)| ej argW *( j) Заметим, что для частот существенно меньших частоты квантования практически частотная характеристика импульсной системы совпадает с исходной характеристикой импульсной системы с точностью до 1 * коэффициента : W ( j) W ( j), T T 1 1 * т.к. W ( j) ) = W ( j) + ), где W ( j + jn p W ( j + jn p T T T n n=для очень высоких частот квантования p >>, поэтому дробнорациональная физически реализуемая функция (порядок числителя меньше порядка знаменателя) W(j+ jp) 0 при jр >> j.

Это рассуждение хорошо соответствует здравому смыслу, подсказывающему, что при достаточно высокой частоте квантования поведение импульсной системы практически не отличается от исходной непрерывной. На этом замечании, кстати, основаны все цифровые методы хранения обработки и воспроизведения звуковой и видеоинформации.

Практическая формула для вычисления импульсной передаточной функции для известного непрерывного блока W(р) с фиксатором:

1- z-1W(p)) = z -1Z( W(p) W(z) = Z( ) p z p W(p) k(1-a) z -Например, для инерционного звена имеем: W(z) = Z( ) =.

z p z - a • Лекция 5.

Фиктивный квантователь.

Вся теория Z-преобразования (как и дискретного преобразования Лапласа) имеет дело со значениями функции только в моменты квантования и не дает никакой информации о промежуточных значениях функции. По этой причине вводится понятие фиктивного квантования. Если некоторые сигналы в системе рассматривать как импульсные, т.е. только в моменты квантования kT, то в ряде случаев удобно в различные части системы добавить фиктивные квантователи, которых нет в реальной системе, но наличие которых позволяет применить технику Z-преобразования. Ниже будет видно, что введение фиктивного квантования позволит корректно использовать импульсную передаточную функцию в сложной системе, состоящей из многих блоков.

Пример с использованием Z-преобразования R С u(t) y (t) W ( p) = Рис. 5.RCp +Интересуясь лишь моментами квантования введем на выходе фиктивный квантователь с фиксатором.

R С kT Ф Рис. 5. U(z) Y(z) Y*(z) Y^(z) Импульсная передаточная функция инерционного звена, описывающего эту цепочку с учётом фиксатора:

-T RC z -1 1 1- e W (z) = • Z( ) =, -T z (RCp +1) • p RC z - e Пусть u(t) = 1(t) :

z 1 z z U ( p) = ; Y (z) = W (z)U (z) = Z( ) = - -T z -1 (RCp +1) • p z -RC z - e Здесь удобно пользоваться таблицами Z- преобразований.

Вычислим через обратное Z-преобразование оригинал импульсной функции, значения которой в момент времени kT есть y(kT):

y(kT) = Z-1{ Y(z) } = 1(kT) - e-kT/RC.

Результат очевиден и иллюстрирует технику применения Zпреобразования.

Передаточная функция замкнутой системы U(t) e(t) Y(t) W(p) (-) Рис. 5.Yoc(t) Woc(p) W В непрерывной системе: Wзс ( p) = ; We( p) = 1+ WWоc 1+WWоc В импульсной системе не всегда можно вычислить передаточную функцию замкнутой системы по подобной формуле. Сама эта возможность связана с наличием и расположением квантователя.

Рассмотрим некоторые возможные случаи расположения квантователей в системе.

1) Чисто импульсная система U(t) e(z) Y(z) W(z) (-) Рис. 5.Yoc(z) Woc(z) W (z) Wз.с.(z) = ; We (z) = 1+ W (z)Woc (z) 1+ W (z)Woc (z) 2) Система с аналоговым входным сигналом U(t) e(t) e* Y(t) Y(z) W(p) (-) Рис. 5.Yoc(t) Woc(p) y( p) = W ( p)e* e( p) = U ( p) -W0c ( p)y( p) * * * y* = [y] [W p ] 14= 4)e42( операция квантования * * y* = [U ( p)W ( p)] -[W W0c] y* Раскрывать скобки нельзя, поэтому из последней формулы y* выразить через Wзс и U(p) нельзя. Результат квантования произведения не обязательно равен произведению результатов квантования. В этом случае не получается формулы для передаточной функции замкнутой системы ! Если, однако, два блока разделены квантователем, то результирующая импульсная передаточная функция равна произведению импульсных ПФ отдельных блоков. Для этого также имеет смысл включать в состав системы фиктивные квантователи.

3) Следящая система Uзад(t) e(t) Y(t) W(p) (-) Yoc(t) Рис. 5.Импульсная система будет иметь точно такой же вид:

Uзад(z) e(z) Y(z) W(z) (-) Yoc(z) Рис. 5.* y*( p) W ( p) W (z) = ; Wз.с. = ; We = * 1+ W (z) 1+ W (z) Uзад*( p) 1+ W ( p) Таким образом, в практически важном случае следящей системы вид импульсной передаточной функции замкнутой системы не отличается от обычного. То же справедливо и для ПФ по ошибке.

• Лекция 6.

Устойчивость импульсной САУ. Критерий устойчивости.

Устойчивость импульсной системы понимается также как и непрерывной, т.е. малое изменение поведения системы в моменты квантования при малом изменении начальных данных. Разница лишь в рассмотрении только моментов квантования.

Аппарат дискретного преобразования Лапласа и Z-преобразования обладает следующей особенностью: так как берутся только моменты квантования, то можно пропустить, что система неустойчивая (принять неустойчивую систему за устойчивую).

Если передаточная функция импульсной системы задана посредством дискретного преобразования Лапласа:

Для исследования устойчивости в Q(epT ) b0empT +L+bm-1epT +bm W*(p) = = ;

этом случае можно применить P(epT ) a0enpT +L+an-1epT +an обычное требование к располоP(epT = жению корней характеристического 14 2) характерис тическое уравнения в левой полуплоскости.

уравнение Необходимое и достаточное условие устойчивости:

Re pi < 0 (отрицательность всех вещественных корней характеристического уравнения).

Сложности: решение характеристического уравнения, не имеющего вида полинома. Число корней этого уравнения бесконечно.

Пример: устойчивость инерционного звена. W(p) = K/(T1p+1) c шагом квантования Т. Вычислим импульсную передаточную функцию W(z) и соответствующую дискретную передаточную функцию.

pT Kz Ke W (z) = ; W ( p) = -T -T T1 pT Tz - e e - e -T Это характеристическое уравнение имеет pT pT TP(e ) = e - e = 0 бесконечное число корней, отличающихся на -T чисто мнимую величину. Понятно, однако, что pT Tзвено устойчиво, поскольку все эти корни e = e имеют отрицательную вещественную часть.

T pT = - + 2jk Это, конечно, бывает не всегда, поэтому Tзамкнутая устойчивая непрерывная система 1 pi = - + j k может стать неустойчивой при квантовании T1 T (переходе к импульсной системе).

В частности, устойчивость импульсной системы зависит от выбора шага Т квантования по времени. Обычно при чрезмерном увеличении Т устойчивая импульсная система теряет устойчивость.

Например, в чисто импульсной системе с инерционным объектом и интегратором в ООС: ( Кимп=(1- e-T/T )Кнепр ) U(t) e(z) Y(z) -T/TК/(z-e ) (-) Yoc(z) T/(z-1) Рис. 6.нетрудно получить характеристическое уравнение:

1 P(p)= e-2pT - (1+e-T/T ) e-pT + e-T/T + kT = 0:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.