WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |

Q(p) ImWpc(j) Wpc (p) = ; (13.3) P*(p) p Годограф АФЧХ имеет разрыв при =0 из-за наличия интегратора.

-1;j0 ReWpc(j) Критерий Найквиста применим, для этого достаточно заметить, что при бесконечно малом изме- нении контура обхода частоты в окрестности 0 годограф также ме- няется, но становится видна зако- номерность его прохождения.

= Рис. 13.5 Изменение контура.

Типичный вид годографа АФЧХ разомкнутой системы с интегратором.

Критерий Найквиста (полная формулировка) Пусть разомкнутая система имеет m неустойчивых корней, тогда для устойчивой замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста разомкнутой системы охватил точку (-1; j0) m/2 раз.

ImWpc(j) Замкнутая система с таким АФЧХ разомкнутой системы будет устой- чивой, если в разомкнутой системе есть один неустойчивый корень.

-1 0 ReWpc(j) В этом случае годограф охваты- =0 вает точку (-1;j0) m/2=0.5 раз.

Переход при =0 считается за по- ловину отрицательного перехода.

Рис. 13.• Лекция 14.

Понятие запаса устойчивости по амплитуде и фазе.

При выполнении условий критерия Найквиста годограф может при этом не охватывать точку (-1;j0 ) “с запасом”. Оценим этот запас. Рассматривается отдельно запас по амплитуде и по фазе.

А - запас по амплитуде; - запас по фазе.

ImW(j) А -1 1 ReW(j) = Рис. 14.Запас по амплитуде означает, что при увеличении коэффициента усиления на А система станет неустойчивой.

Аналогично, при появлении дополнительного фазового сдвига система также станет неустойчивой. Разные причины могут влиять на запасы устойчивости. В процессе проектирования гарантируются запасы устойчивости не ниже заданных. Таким образом, запасы устойчивости есть данные на проектирование САУ.

Критерий устойчивости Найквиста может быть сформулирован с помощью логарифмических частотных характеристик, при этом и запасы устойчивости можно также и на языке ЛАЧХ и ФЧХ. При этом определяются Lдб = 20lg(А) и.

Lдб Устойчивость и запасы устойчивости на языке ЛАЧХ и ЛФЧХ.

ЛАЧХ L дек ФЧХ - -/ - - Рис. 14.Влияние звена чистого запаздывания на устойчивость.

Чистое запаздывание – это часть системы (цепь или блок), при прохождении которой сигнал не меняет своей формы, но задерживается на время.

Типичный пример: локальная сеть без потерь или длинная линия, или транспортная задержка.

x(t) x(t-) Рис. 14.Покажем, что такому преобразованию соответствует передаточная функция; для этого вычислим преобразование Лапласа выходного сигнала:

( )d L(x(t - )) = e- pt x(t - )dt = {t - = }= x()e- p + = 0 - = e- pe- px()d = e- p e- px()d = e- pX(p);

- - Wзап(p)=e-p; (14.1) Таким образом, звену чистого запаздывания соответствует передаточная функция, не являющаяся дробно-рациональной. Она трансцендентная.

Рассмотрим АФЧХ - частотную характеристику звена чистого запаздывания:

Wзап(j) = e- j = cos() - jsin(); При любом получаетсяточка ед. окружности.

Im АЧХ: |Wзап(j)| = 1; (14.2) j ФЧХ: ()= -; (14.3) Видим, что звено чистого запаздывания добавляет отрицательный фазовый сдвиг, -1 1 тем больший, чем больше частота, тем Re самым уменьшая запас устойчивости по - фазе. За счет этого сдвига система вполне вполне может стать неустойчивой.

-j Рис. 14.3 К сожалению, подобным образом нельзя описать запаздывание, зависящее от времени.

Фактически, мы ввели еще один стандартный блок, который можно было бы включить в стандартные звенья, если бы оно имело обычную, а не трансцендентную передаточную функцию. Полученное звено запаздывания формально является звеном бесконечного порядка, поэтому алгебраические методы исследования устойчивости системы, содержащей звенья запаздывания неприменимы.

Пример 7: Охватим инерционное звено ООС с запаздыванием на время.

2/(p+1) U(p) Y(p) (-) e-p Рис. 14.Вычислим для замкнутой системы передаточную функцию и характеристический полином:

p +1 Wзс(p) = = ; Pзс (p) = p +1+ 2e-p = 0;

(14.5) 1+ e-p p +1+ 2e-p p +У такого характеристического полинома бесконечное число корней, среди которых могут быть и корни неустойчивые, поэтому численные методы становятся бессмысленными для обоснования устойчивости. Неприменимы критерий Гурвица и необходимое условие устойчивости, а вот частотные критерии устойчивости полностью применимы. Критерий Михайлова и, вытекающий из него критерий Найквиста, позволяют вполне корректно судить об устойчивости таких систем. Найдём АФЧХ разомкнутой системы.

Как выяснить, при каком значении система (замкнутая) - j Wрс ( j) = e ; становится неустойчивой. Рассмотрим пограничный j + случай - прохождение через (-1;j0) на некоторой частоте *; Будем * искать то минимальное значение времени запаздываe-j = -1+ 0j j* +ния, при котором появляется неустойчивость. Подставляем АЧХ и ФЧХ инерционного звена и звена чистого * * e-jarctg e-j = -запаздывания и решаем комплексное уравнение отно1+ * сительно * и. Для этого приравняем по отдельности модуль и аргумент. Для модуля имеется следующее равенство:

2 = 1 + * * = Для равенства аргументов требуется, чтобы sin(arctg*-*)=0; Отсюда вытекает, что arctg*- * =.

Поэтому для получаем: - arctg 3 - 3 = -; - - 3 = -;

(14.6) = 1.209;

3 Это значение есть то минимальное запаздывание в нашей системе, при котором замкнутая система уже становится неустойчивой. Заметим, что звено запаздывания может располагаться и в прямой ветви, в данном случае все расчёты сохраняются.

• Лекция Точность САУ.

Понятие точности является центральным в теории автоматического управления, так как позволяет количественно выразить показатели качества САУ. Показатели точности и качества фигурируют в заданиях на проектирование САУ.

Проще всего рассмотреть понятие точности на примере следящей системы.

Все понятие о точности заключается в поведении во времени сигнала ошибки.

f(p) Uзад(p) e(p) Y(p) W(p) (-) Рис. 15. e(t)=Uзад(t)-Y(t) - динамичная точность.

Точность рассматриваемая в переходном процессе - динамическая точность и точность в установившемся режиме - статическая точность.

Рассмотрим статическую точность eуст=e(). Наиболее эффективным методом изучения статической точности является использование предельной теоремы операторного исчисления.

e() = lim e(t) = lim pe(p);

t p Необходимо уметь вычислять сигнал ошибки e(t). Для этого наилучшим образом применима передаточная функция по ошибке, позволяющая записать сигнал ошибки при любом виде задающего воздействия:

e(p)=We(p)Uзад(p)+Wef(p)f(p). (15.1) Далее будет показано, что практически невозможно обеспечить высокий показатель точности при абсолютно произвольном входном воздействии. Рассмотрим некоторые наиболее практически применимые частные случаи исследования точности САУ.

• Точность по задающему воздействию.

Статическая точность при гармоническом входном воздействии.

Самым простым методом изучения точности является использование передаточной функции по ошибке.

W(p) зад.

Wзс(p) = e(p)= We (p) U (p);

1+ W(p);

We(p) = - для следящей системы. (15.2) 1+ W(p) Рассмотрим частотную характеристику системы (т.е. установившуюся реакцию при гармоническом входном воздействии).

Lдб Исследование точности САУ по ЛАЧХ eдб wдек н Рис.15.2 в Жирной линией показан идеальный случай абсолютно точной системы.

Реальная частотная характеристика отличается от идеальной и в некоторой полосе частот (н, в) не выходит за пределы допуска eдб. Такое же рассуждение справедливо и для ФЧХ. Задав допустимые границы точности по амплитуде и по фазе, получим область частот, где гарантируется данная точность - это полоса пропускания.

Задавая требуемую рабочую частоту можно вычислить ошибку на этой частоте при гармоническом воздействии.

Далее рассмотрим общие методы повышения точности как в статическом, так и в динамическом режимах.

Общий способ повышения точности – обеспечение следующих оценок:

W(p) W = (p) 1 + W(p) 1; -это мера точности воспроизве- зс дения задающего воздействия.

(15.3) 1 -мера малости ошибки слежения.

W ( p ) = 0;

e 1 + W(p) Можно разными способами можно изменить передаточную функцию Wрс(p) разомкнутой системы, чтобы добиться повышения точности.

Увеличение K разомкнутой системы есть один из основных способов повышения точности.

b0 p m +... + 1 ; * Wрс (p) = K = KWpc (p ) ; -передаточная функция разомкнутой системы.

a0pn +... +Коэффициент усиления разомкнутой системы получается при наличии единиц в свободных членах числителя и знаменателя ПФ или так: K=Wpc(0);

Пример 8:

Wрс(p)= = (p+1)(p+2) Uзад(p) e(p) Y(p) 6 2/(p+1) = = 3• ;

(-) p2 +3p+ 2 0.5p2 +1.5p+3/(p+2) В этом случае K=3= Wpc(0).

Рис.15.При увеличении K оба приближённых равенства (15.3) выполняются всё более точно, что говорит об общем повышении точности, причём это повышение точности происходит при любой W*рс(p).

Создаётся обманчивое впечатление, что можно таким * K >>KWpc (p) образом достичь любой желаемой точности. Однако, 1;

Wзс (p) = * 1 + KWpc (p) здесь начинает сказываться одно из фундаментальных противоречий в рамках ТУ - противоречие между точK >>W = (p) 0;

ностью системы и запасом устойчивости.

e * 1 + KWpc (p) Убедимся, что при чрезмерном увеличении К возможна потеря устойчивости замкнутой системы. В самом деле, покажем, что годограф Найквиста, не охватывающий точку (-1;j0), но проходящий из 3 квадранта во второй, при увеличении К начинает охватывать эту точку, то есть нарушается условие критерия устойчивости Найквиста. Но это почти очевидно, так как что при увеличении K годограф Найквиста "раздувается" относительно начала координат:

KW*рс(j) = K(ReW*рс(j)+ImW*рс(j)) = KReW*рс(j)+KImW*рс (j).

Очевидно, что повышение точности приводит к уменьшению запаса устойчивости по амплитуде.

ImW(j) Годограф охватывает точку -1.

А -1 1 Kрост ReW(j) = Рис.15.Потеря запаса устойчивости при увеличении коэффициента усиления.

Итак, с помощью увеличения коэффициента усиления можно повысить точность лишь в пределах запаса устойчивости по амплитуде.

Теперь перейдём к вычислению конкретных значений точности, которые, безусловно, будут ещё зависеть от вида задающего воздействия. Рассмотрим поэтому произвольное входное воздействие и выразим сигнал ошибки (в данном случае для следящей системы - ошибки слежения) через передаточную функцию по ошибке и задающее воздействие. В конечном счёте, ведь именно сигнал ошибки и измеряет точность в любой момент времени.

Разложим We(p) в ряд Тейлора в окрестности 0, предполагая, что ряд Тейлора сходится.

dWe(p) d2We(p) (15.4) We(p) = We(0)+ p + p2 +...;

2! dp dpp=p=Предположение о сходимости ряда выполняется, как и для любого степенного ряда, в некоторой окрестности 0, то есть при условии |p| - мал.

• •• e (p) = 123123 )p + We(0) p2 +... U зад(p ); (15.5) We(0)+ We( С0 С1 СКоэффициенты {Ск} называются коэффициентами ошибок. Ck являюся значениями в 0 производных передаточной функции по ошибке и позволяют следующим образом выразить текущее значение ошибки через производные задающего воздействия:

N dk We (p) зад Ck = ;

e(p) = Cipi U (p) Cipi Uзад (p);

dpk i = 0 i = p=зад зад • •• e(t) = C0Uзад (t)+ C1 U (t)+ C2 U (t)+... U(i)зад (t);

(15.6) Ci i=0,N Условие малости |p| после перехода во временную область означает что ряд (53) будет сходящимся для достаточно большом t.

Значение сигнала ошибки связано со всеми производными входного сигнала.

Кроме того, нельзя упускать из виду, что формулы (15.4-6) справедливы лишь при условии сходимости ряда, то есть для достаточно большого времени иными словами, в установившемся режиме. Поэтому формулы (15.4-6) применимы к статической точности, хотя и производят обманчивое впечатление. В формулах также отражено, что на практике, конечно, обычно пользуются лишь конечным отрезком ряда - до члена порядка N.

Для типовых входных сигналов лишь конечное число производных не равно нулю, поэтому вместо ряда получается конечное выражение. Это не означает, однако, что в случае типовых воздействий вопрос о сходимости отпадает, так как должен ещё сходится ряд для передаточной функции по ошибке, а это не зависит от вида задающего воздействия.

Вычислим теперь величину установившейся ошибки в случае разных воздействий.

• Единичное задающее воздействие: Uзад(t)=1(t) ;

e(t)= C0 ; (15.7) Выясним, от чего зависит C0 и C1. • • 1 1 - W (0) (15.8) C = We (0) = = ; C = W (0) = = ;

e 0 2 1 + W (0) 1 + K (1 + W(0)) (1 + K ) Таким образом, увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы уменьшает коэффициенты ошибок С0 и С1 то есть, в частности, ошибку при ступенчатом Uзад(t).

Есть другой способ уменьшения C0 и некоторого количества Сk, если в разомкнутой системе имеется несколько интеграторов, при этом интеграторы могут находится в любом месте разомкнутой системы.

1 1 1 pk We(p)= = =.

Wpc (p) = K W(p) ;

1+ Wpc (p) pk 1+ KW(p)p- k pk + KW(p) Нетрудно видеть, что:

dn [We (p)] 0; при 0 n k;

(15.9) dpn p= т.е. C0=0; C1=0;….; Ck-1=0;

При отсутствии интеграторов в системе C0=eуст=1/(1+K) при Uзад(t)=1(t), но при поступлении на вход линейно-возрастающего (или более сложного) входного воздействия Uзад(t) = t(t) ошибка eуст= C0t(t)+…, то есть неограниченно нарастает.

При наличии одного интегратора в системе, k=1; C0=0, eуст=0 при Uзад(t)=1(t), но при поступлении на вход линейно-возрастающего входного воздействия Uзад(t) = t(t) ошибка eус= C1, то есть имеет конечное значение. При более сложных воздействиях (например, квадратичном,) ошибка не ограничена.

При наличии двух интеграторов в системе, k=2; C0=С1=0, eуст=0 при Uзад(t)=1(t) и при Uзад(t)=t(t), но при поступлении на вход квадратично-возрастающего входного воздействия Uзад(t) = t2(t) ошибка eуст= C2, то есть имеет конечное значение. При более сложных воздействиях (например, кубическом,) ошибка не ограничена и так далее.

Определение 4: Если C0=C1=Ck-1=0 то говорят, что система обладает астатизмом к - го порядка. Если C0=0, то говорят просто, что система обладает астатизмом.

Добавление в состав регулятора нескольких интегральных звеньев позволяет повысить порядок астатизма, тем самым обеспечить нулевую установочную ошибку для достаточно сложного вида входного воздействия. Заметим, что интеграторы могут быть неотъемлемым свойством элементов системы. Например, передаточная функция двигателя при выходной величине- - угол поворота вала содержит интегратор (так как (t)=(t)dt).

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.