WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |

Устойчивость нелинейной системы в окрестности номинальной траектории тесно связана с устойчивостью линеаризованной системы.

Устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами исследуется легко и эффективно.

Ограничимся инженерным понятием устойчивости, обычно достаточным при проектировании линейных и линеаризуемых систем.

Определение устойчивости системы (нестрогое):

С инженерной точки зрения, устойчивость понимается так:

Малое изменение исходных данных должно приводить к малому же изменению результатов.

Для линейных систем с постоянными коэффициентами все определения устойчивости эквивалентны и связаны с корнями характеристического уравнения, которое в разных представлениях САУ может выражаться несколько по-разному.

Рассмотрим простейший случай, когда САУ задана передаточной функцией:

В этом случае характеристическое уравнение связано Q ( p ) W(p) = с полиномов в знаменателе передаточной функции:

P (p) Р(р)=0 - характеристическое уравнение.

Как всякое полиномиальное уравнение порядка n с вещественными коэффициентами, оно имеет ровно n корней (среди них возможны комплексно-сопряжённые).

Известно, что общее решение системы линейных дифференциальных уравнений или линейного дифференциального уравнения высокого порядка (эти понятия сводятся друг к другу) выражается в виде суммы общего решения однородного уравнения (с 0 правой частью) и частного решения неоднородного уравнения (формула (6.7)). Поэтому для того, чтобы переходный процесс заканчивался, надо, чтобы решение однородного уравнения в формуле (6.7) стремилось к 0 (или хотя бы к константе).

общее общее частное Yнеоднородного ( t) = Y однородног о (t ) + Yнеоднородного ( t );

При тех сигналах, которые имеются в САУ, частное решение обычно имеет простой вид, не влияющий на устойчивость. Следовательно, вопрос устойчивости сводится к устойчивости однородного уравнения.

Решение однородного уравнения выражается через корни характеристического уравнения и коэффициенты перед экспонентами, которые могут быть вычислены через вычеты:

общее (12.1) Yоднородног о (t) = epkt;

Ck k=1,n здесь рк – корни характ. уравнения n-го порядка.

Из этой формулы делаем основной вывод: чтобы переходный процесс заканчивался:

• достаточно, чтобы вешественные части корней рк характеристического уравнения n-го порядка были отрицательные, в этом случае имеются затухаюшие по экспоненте решения;

• если имеются чисто мнимые корни, то в переходном процессе будут гармонические незатухающие компоненты.

Для проверки факта отрицательности вещественных частей корней (эквивалентного, конечно, устойчивости) имеется целый ряд критериев. Разница между этими критериями заключается в том, каким именно образом проверяется расположение корней в левой полуплоскости. Это можно сделать тремя способами:

вычислив корни непосредственно, что бывает непростой вычисли-тельной задачей, но для этого имеется много готовых программ;

связав расположение корней с коэффициентами характеристического уравнения для последующего аналитического исследования. Это удобно для решения задач синтеза, но трудности вычислений быстро возрастают с ростом порядка системы;

судить об устойчивости по частотным характеристикам замкнутой или разомкнутой САУ.

Первые два способа называются алгебраическими, последний - частотным. В инженерной практике необходимо иметь эффективные критерии исследования устойчивости, то есть удобные правила проверки устойчивости.

Замечание: Сам по себе критерий не обязан быть необходимым и достаточным условием. Обычно получения такого критерия является делом более сложным, чем отдельно необходимого или достаточного критерия. Особенно ярко это проявляется в случае нелинейных систем, которые будут рассмотрены во второй части нашего курса лекций.

Алгебраические методы исследования устойчивости.

• Необходимое условие устойчивости.

Если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости (система устойчива), то все коэффициенты уравнения имеют один знак:

Р(р) = a0xn + a1xn-1 +…+ an = 0 ; {ak ><0} одновременно.

Равенство коэффициентов нулю не допускается (граница устойчивости).

Доказательство очень простое, заключается в разложении полинома на простейшие множители - скобки. Эти скобки могут быть вещественные или комплексносопряжённые. Объединим последние в пары и перемножим:

P(p) = a0 - pi) - pj)(p - pj) = a0 - pi) - 2Repj+ | pj |2);

(12.2) (p (p (p (p i=1,k j=1,l i=1,k j=1,l При раскрывании скобок, если вещественные части корней отрицательны, а коэффициент а0>0, получим полином с положительными коэффициентами. При отрицательном а0 все коэффициенты полинома будут отрицательны. Сама схема рассуждения показывает, что получено лишь необходимое условие устойчивости. Простейшие примеры это демрнстрируют:

Например: p2 – p + 1– неустойчивый полином;

3p3 + p2 - p + 1 – также неустойчивый.

Однако, p2 + p + 1– устойчивый полином (необходимо вычислить корни);

но!: 3p3 + p2 + p + 1– также неустойчивый (проверьте!), хотя необхо- димое условие устойчивости выполнено.

Приведённый пример показывает, что данное условие, в самом деле, лишь необходимое, но не обязательно достаточное. Область его применения – отсеивание заведомо неустойчивых систем.

• Необходимое и достаточное условие. Критерий Гурвица.

(Адольф Гурвиц, Цюрих 1895г.) При условии a0 >0 (это условие легко изменить на противоположное) для устойчивости необходимо и достаточно выполнения n неравенств: Гk > 0 при к = 1,..,n, где n – порядок системы:

a1 a3 a5...... a a a...... 0 2 0 a1 a3 a5... (12.3) Г = ;

0 a a a... 0 2..................

0 0 0 0 a a n-n В первой строке каждого определителя находятся нечётные коэффициенты уравнения. Во второй строке – чётные. Далее идёт сдвиг на одно место вправо и т.д. В итоге проверяются n определителей Гk, которые являются главными диагональными минорами матрицы Гурвица Г.

Сложности использования критерия Гурвица быстро возрастают с ростом порядка полинома. Возможно эффективное использование критерия при величине n <5, так как при больших размерностях число проверяемых условий стремительно возрастает.

Рассмотрим простейшие случаи.

• n = 1 :

a1 >0; что в совокупности с {ак >0} не даёт ничего нового.

Итак, в системе первого порядка необходимое условие устойчивости совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

• n = 2 :

a1 >0;

a1 a2 - a0 a3 >0; в совокупности с {ак >0} не даёт ничего нового, так как а3 =(его просто нет в уравнении 2 порядка).

В системе второго порядка необходимое условие устойчивости также совпадает с достаточным и сводится к одновременной положительности коэффициентов.

• n = 3 :

a1 >0;

a1 a2 - a0 a3>0;

a3 Г2 = a3(a1 a2 - a0 a3) >0.

В этих трёх условиях 1 и 3 не дают ничего нового, а второе условие является содержательным, отличая систему 3 порядка от 2 и 1.

В системе третьего порядка необходимое условие устойчивости не совпадает с достаточным и сводится не только к одновременной положительности коэффициентов, но и к дополнительному неравенству:

a1a2 - a0a3 (12.4) Возвращаясь к примеру на предыдущей странице, становится понятно, почему полином 3p3 + p2 + p + 1 является неустойчивым, так как не выполняется необходимое и достаточное условие устойчивости a1a2-a0a3 >0, вытекающее из критерия Гурвица.

При увеличении порядка системы n число подобных неравенств, требующих проверки, и их сложность стремительно растут, например, для системы порядка четыре необходимо проверить уже более сложное неравенство a3(a1a2-a0a3)- a4a12>0, а для порядка пять - двух ещё более сложных неравенств. Заметим, что существует целый ряд модификаций критерия Гурвица, в том числе, и существенно упрощающих вычисления, например, критерий Рауса. Доказательство критерия Гурвица-Рауса мы не приводим, так как оно достаточно сложное.

• Лекция 13.

Частотные методы исследования устойчивости.

Частотные методы исследования устойчивости основаны на связи расположения корней характеристического полинома Р(р) с годографом этого полинома на комплексной плоскости, т.е. графиком комплексно-значной функции Р(j) при изменении от 0 до.

Основным теоретическим результатом является критерий А.В Михайлова. Этот критерий формулируется в терминах свойств годографа характеристического полинома, а следствия критерия Михайлова, например, критерий Найквиста, уже формулируются в виде требований к передаточным функциям.

• Необходимое и достаточное условие. Критерий Михайлова.

(А.В.Михайлов, Москва 1938г.) Критерий Михайлова основан на принципе аргумента функции комплексного переменного: при обходе любого замкнутого контура на комплексной плоскости переменного z приращение аргумента функции комплексного переменного P(z): arg P(z)= (m-k)•2, где m- число нулей функции P(z), а k- число полюсов функции P(z). Применительно к годографу характеристического полинома получаем следующее условие Михайлова, являющееся критерием устойчивости (данное условие - необходимое и достаточное):

Годограф устойчивого полинома n – го порядка с положительными коэффициентами (ак>0) должен:

начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно пройти n квадрантов, поворачиваясь против часовой стрелки. Приращение аргумента годографа составляет при этом = n• /2.

В самом деле, в данном случае в качестве контура можно взять границу полуокруга бесконечного радиуса, находящегося в правой полуплоскости и имеющего в качестве диаметра мнимую полуось. Далее, полином не имеет полюсов, поэтому принцип аргумента в этом случае означает: arg P(j)= m•2, где m- число неустойчивых корней характеристического уравнения P(z)=0. Так как P(-j)= P(j), то достаточно ограничиться изменением частоты лишь в пределах от 0 до, то есть именно в том диапазоне, в котором строится АФЧХ. Окончательно, учитывая эту симметрию годографа относительно вещественной оси и тот факт, что в устойчивой системе не должно быть корней в правой полуплоскости: arg P(j)= n•/2, при изменении от 0 до. (Более подробно,- необходимо рассмотреть весь контур, как совокупность двух - мнимой оси и полуокружности беско- нечного радиуса. Для совокупности этих двух контуров справедлив принцип аргумента, а приращение аргумента P(z) на полуокружности равно n.) Нарушение любой части Критерия Михайлова приводит к неустойчивости.

ImP(j) ImP(j) ReP(j) ReP(j) =0 = Рис. 13.1 Рис. 13.Это пример устойчивого годо- Это пример неустойчивых гографа для полинома порядка 3. дографов Михайлова.

Из критерия Михайлова вытекает простое правило перемежаемости (чередуемости) корней. В самом деле, из рисунка видно, что корни мнимой и вещественных частей при увеличении сменяют друг друга в строгой последовательности, запишем это условие в явном виде:

(a P(j)= X()+ jY()= - a 2 + a 4 -...)+ j(a a +...) -4 -1 n 1n44n-24 3 4- 4443;

4 424n4444 1n4 42-X Y ( ) ( ) Найдем корни отдельно вещественной и отдельно мнимой части и расположим их в X порядке возрастания: 0 = Y < - <правило чередования корней.

Y <...

Заметим, что здесь строгие неравенства. 1 1 Применим для полинома третьего порядка:

(a3 - )+ j(a2-a03);

P(j)= a0(j)3 + a1(j)2 +a2j+a3 = - ja03 -a12 +a2j+a3 = 14a1 3 4 X Y ( ) ( ) a a X 3 X X() = a - a1 = 0; 1,2 = ± a1 ; 1 = ;

a ; т.к. 0;

Корни: (13.1) Y() = a - a = 0; 1,2 = ± a ; 1 = a Y 2 Y 2 a0 a a 3 a Условие чередования даёт: < т.е. a1a2>a0a3, это же вытекает для системы a 1 a третьего порядка (45) и из критерия Гурвица.

Отметим, что преимущество применения правила перемежаемости – более простые полиномы (только чётного и только нечётного порядка). Также неоспоримым преимуществом является наглядность критерия.

• Критерий устойчивости замкнутой системы - критерий Найквиста.

(Х. Найквист, 1932г.) Позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы (всей САУ) по частотной характеристике разомкнутой системы.

Определение: разомкнутой системой являются все последовательно соединенные блоки от входа системы до точки замыкания обратной связи.

U(p) e(p) Y (p) W(p) (-) Wрс(p) = W(p) Wос(p); (13.2) размыкание Соответственно имеется АФЧХ Yoc(p) W ос(p) разомкнутой системы Wрс(j).

Рис. 13.Типичный вид АФЧХ разомкнутой САУ имеет вид:

ImWpc(j) Критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой системы с поведением годографа АФЧХ -1;j0 ReWpc(j) разомкнутой системы. При изме- нении частоты от 0 до годог- =0 раф АФЧХ устойчивой системы не должен "охватывать" точку -1.

Понятие "охват точки" требует Рис. 13.4 уточнения.

"Клювообразная" АФЧХ.

Типичный вид годографов АФЧХ разомкнутой системы.

Критерий Найквиста доказывается с помощью двукратного применения критерия Михайлова: один раз - к разомкнутой системе (устойчивой или неустойчивой), другой раз - к замкнутой системе (только устойчивой).

Имеется две формы критерия Найквиста, соответствующие случаям, когда разомкнутая система устойчива, и когда разомкнутая система неустойчива.

Критерий Найквиста (случай устойчивой разомкнутой системы).

Если разомкнутая система устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф устойчивой разомкнутой системы “не охватывал” точку (-1;j0).

На рисунке приведена АФЧХ устойчивой разомкнутой системы, для которой замкнутая система будет устойчивой. Обращает на себя внимание так называемая "клювообразная" АФЧХ. При такой АФЧХ замкнутая система является устойчивой, несмотря на кажущийся "охват" точки (-1;j0). Поэтому уточненим нечетко сформулированное понятие ”охват точки” (-1;j0) годографом Найквиста: абсолютно точное правило переходов:

положительным считается переход годографа левее (-1;j0) снизу вверх, отрицательным считается переход годографа левее (-1;j0) сверху вниз.

( - отрицательный, - положительный).

Неохват означает, что сумма переходов равна нулю.

Охват означает, что положительных переходов больше, чем отрицательных.

Если годограф начинается на отрицательной полуоси, то начальный переход считается за 1/2 перехода.

Теперь ясно, почему система с "клювообразной" АФЧХ, приведенной на рисунке выше, соответствует устойчивой замкнутой системе - сумма переходов левее критической точки равна 0.

Имеется ещё один тип АФЧХ, имеющих разрыв при переходе через некоторое критическое значение. В частности, таким значением может быть 0. Это бывает при наличии в разомкнутой системе интегратора, за счёт чего знаменатель АФЧХ обращается в ноль на нулевой частоте.

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.