WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |

t ( - p)t Преобразование Лапласа: L(et ) = e- pt dt = e e dt = p Полученное выражение, конечно, справедливо и при любом комплексном.

Воспользуемся этим фактом, чтобы рассмотреть следующий случай:

4. Гармонические входные воздействия sin t и соs t.

С помощью Формулы Эйлера и выделения вещественной и мнимой частей:

sin t = Im ejt т.к. ejt =cos t + j cos t.

Соответственно cos t = Re ejt.

Поэтому преобразования Лапласа обоих функций имеют вид:

L{sin t} = L(Im ejt) = Im L(ejt) = Im (1/(p-j)) = Im((p+j)/(p2+2)) = Im(p/(p2+2 )+j/ (p2+2)) = / (p2+2).

L{cos t} = L(Re ejt) = Re L(ejt) = Re (1/(p-j)) = Re((p+j)/(p2+2)) = Re(p/(p2+2 )+j/ (p2+2)) = p/ (p2+2).

5. (t)- функция (математическая модель очень короткого, но конечного воздействия большой мощности).

Определение (t)-функции даётся через интеграл свёртки с любой другой интегрируемой функцией x(t):

(t - t0 )x(t)dt = x(t0 ); отсюда при x(t) = 1: (t)dt = 1; и (t )e- pt dt = 1; (5.1) - - Поэтому преобразование Лапласа (t)-функции имеет вид: L{(t)} = 1.

Замечание: (t)- функция связана с единичной ступенчатой и линейно-нарастающей функциями:

(t) = d1(t)/dt = d2t(t)/dt2 (5.2) d/dt d/dt..….ю …… Рис. 5.Так получается целый ряд полиномиальных функций, связанных операцией дифференцирования (интегрирования), продолжающийся в обе стороны.

Определение 2:

Переходной функцией H(t) объекта с передаточной функцией W(p) называется реакция на единичную ступеньку на входе при нулевых начальных условиях.

H(p)=W(p)/p. (5.3) Определение 3:

Весовой функцией h(t) (импульсной переходной функцией) блока с передаточной функцией W(p) называется реакция на - функцию на входе при нулевых начальных условиях.

h(p)=W(p) 1=W(p). (5.4) Очевидно, что h(p)=pH(p), что соответствует (5.2).

Произведение изображений соответствует свертке оригиналов, поэтому имеется формула свёртки, выражающая выход блока через интеграл от произведения весовой функции и входного сигнала:

т. к. Y(p)=W(p)U(p), то при подаче (t) на вход, выход блока равен передаточной функции: Y(p)=W(p)1. Поэтому по Определению 3: h(p) =W(p). Сделаем обратное преобразование Лапласа и получим:

y(t) = - )u()d = x(t0);

(5.5) h(t Выходной сигнал в каждый момент времени зависит не только от входного сигнала в этот момент времени, но и от входа во все предыдущие моменты времени с “весом”, определенным функцией h(t).

Из (5.5) и из (5.3) вытекает следующая схема проведения эксперимента по определению параметров звена (блока):

Рис. 5.Первый подход: подадим на вход *(t).

Пусть *(t) (t) (т.к. (t) физически не реализуема), измерим h*(t)h(t).

Теперь можно вычислить L{h*(t)} = W*(p) W(p).

Другой подход: На вход подаем 1(t).

Рис. 5.d W(p) = L H(t);

Измеряем H(t) и вычисляем W(p):

dt Замечание: численное дифференцирование – некорректная операция.

• Лекция 6.

Передаточная матрица для системы дифференциальных уравнений.

Передаточная матрица для системы дифференциальных уравнений соответствует преобразованию Лапласа для векторных сигналов и рассматривается абсолютно аналогично с учетом некоммутативности матриц.

• x (t) = Ax(t) + Bu(t) (6.1) y(t) = Cx(t).

Рассмотрим систему (18) более общую, чем (7), она отличается тем, что в данном случае может быть многомерный вход и многомерный выход:

А – матрица (mxn);

B – матрица (nxk); u(t) W(p) y(t) C – матрица (pxn); Рис. 6.u – k-мерный вектор;

Блок имеет множество входов и выходов.

y – p-мерный вектор.

Делаем преобразование Лапласа при 0 начальных условиях:

px(p) = Ax(p) + Bu(p) y = Cx(p) Выразим выход через вход:

(pE-A)x(p)=Bu(p); x(p)=(pE-A)-1Bu(p); Y(p)=С(pE-A)-1Bu(p);

Y(p) = W(p)U(p) = C(pE-A)-1BU(p). (6.2) Чтобы получить передаточную матрицу, необходимо, таким образом, вычислить обратную матрицу. Элементы передаточной матрицы будут представлять собой дробно-рациональные функции оператора p, наименьший общий знаменатель которых является характеристическим полиномом P(p) системы (6.1). Справедливо равенство: P(p) = det (pE-A).

Важнейшим понятием, широко применяемым в ТУ, является понятие частотных характеристик. Именно методы, основанные на применении частотных характеристик, являются наиболее конструктивными и удобными в инженерной практике специалиста по автоматике. К сожалению, они наиболее применимы именно в классическом случае системы с одним входом и выходом.

Определение 4:

Амплитудно-фазо-частотной характеристикой (АФЧХ) блока с передаточной функцией W(p) называется комплексно–значная функция W(j) вещественного аргумента, полученная при подстановке p= j.

x(t) |aK| Периодическая функция с Спектр периодической функции периодом Т.

находится в точках 2к/Т.

а0 а1 а2 … … ак … 0 Т t 0 2/Т 4/Т … 2К/Т Рис. 6.2 Спектром периодической функции являются отдельные точки.

Покажем, какая имеется связь между спектром сигналов в системе, частотной характеристикой и преобразованием Лапласа.

Спектром периодической функции является набор ее коэффициентов Фурье. Если имеем периодическую функцию с периодом Т, то коэффициент Фурье ак вычисляется по формуле:

T ak = 1/ T x(t)e-ik 2t / Tdt ; (6.3) При увеличении периода Т, интервал между точками спектра уменьшается, в одной и той же полосе частот становится больше точек спектра, спектр становится "плотнее".

В пределе переходим к непериодической функции.

x(t) |aK| Непериодическая функция. Спектр непериодической функции.

0 t Рис. 6.3 Для непериодической функции спектр становится непрерывным.

При устремлении периода в бесконечность, ряд Фурье переходит в интеграл Фурье, а коэффициенты Фурье переходят в преобразование Фурье по следующей формуле:

- jt Ф{x(t)} = Ф() = x(t)e dt; Преобразование (интеграл) Фурье; (6.4) Интеграл Фурье следует понимать, как разложение Фурье x(t) по непрерывным частотам.

Теперь, наконец, покажем, что имеется важнейшая связь между непрерывным спектром (преобразованием Фурье) и преобразованием Лапласа, лежащая в основе известной подстановки p=j. В самом деле, так как x(t)0 при t < 0 (функия является оригиналом для преобразования Лапласа), то:

-pt L{x(t)} = X(p) = x(t)e dt; Преобразование Лапласа;

(6.5) т.к x(t)= при t<0;

- jt Ф{x(t)} = Ф() = x(t)e- jtdt = x(t)e dt; Преобразование Фурье;

- Вывод: Подстановка p=j в изображение по Лапласу произвольной функции (оригинала) превращает преобразование Лапласа в спектр или, что есть то же самое, в преобразование Фурье. Поэтому от передаточной функции переходим к спектрам входного и выходного сигналов.

Y(p)=W(p)U(p) при подстановке p=j:

Y(j)=W(j)U(j) ; (6.6) W(j) явно описывает изменение спектра при прохождении через блок с передаточной функцией W(p). Формула (6.6) справедлива для любого входного сигнала. Но, так как произвольный сигнал модет быть разложен по гармоническим составляющим (в ряд или интеграл Фурье, в зависимости от периодичности), особенно важно знать, как преобразуется простейший гармонический сигнал при прохождении через блок с ПФ W(p). Известно, что при поступлении на вход линейного блока с любой передаточной функцией гармонического сигнала после окончания переходного процесса на выходе устанавливается гармонический сигнал той же частоты. Конечно, требуется, чтобы переходный процесс заканчивался, то есть, чтобы решение однородного уравнения в формуле (6.7) стремилось к 0.

общее общее частное Yнеоднородного (t) = Yоднородного (t) + Yнеоднородного (t); (6.7) Из (6.7) следует, что при подаче на вход блока простого гармонического сигнала u(t)=sin t, выходной сигнал в установившемся режиме будет гармоническим с изменившимися амплитудой и фазой. Воспользуемся комплексным методом для определения амплитуды и фазы y(t). u(t)=Im(ejt); y(t)= L-1{ W(p)L{Im(ejt)}; Но оператор Лапласа и его обратный переставимы с операцией взятия Im-мнимой части. Поэтому: y(t)=Im(L-1{ W(p)L{ejt}); Соответственно: Y(p)=Im(W(p)L{ejt});

Сделаем подстановку p=j: Y(j)=A()L{ej(t+())}=Im(W(j)L{e-jt});

A()L{ej(t+())}=A()ej() L{ ejt }; Теперь можно вычислить АФЧХ:

W(j) = Y(j)/U(j)= A()ej() ejt / e jt = A()ej() - АФЧХ;

W(j) = |W(j)| ei arg W(j)=|W(j)| ei(); (6.8) Где: |W(j)| - АЧХ - Амплитудно–частотная характеристика;

()=arg W(j) - ФЧХ - Фазочастотная характеристика.

ImW(j) Частотные характеристики показывают Годограф АФЧХ.

амплитуду и фазу установившегося ReW(j) гармонического сигнала на выходе при поступлении на вход гармонического () =0 сигнала единичной амплитуды.

A() АФЧХ удобно изображать в виде годографа (греч. hodos - путь + "граф") * на комплексной плоскости с координа- Рис. 6.4 тами ReW() и ImW().

Параметром на кривой годографа является частота, изменяющаяся в интервале от до. Для произвольной частоты * радиус вектор в точке W(*) показывает амплитуду выходного сигнала, а угол (*) - сдвиг фазы между выходным и входным сигналом. Иногда ещё W(j) называют комплексным коэффициентом передачи, подразумевая, что АФЧХ является обобщением обычного коэффициента усиления К на случай его зависимости от частоты и имеющийся фазовый сдвиг, также зависящий от частоты.

В инженерной практике иногда используются (однако, гораздо реже) графики отдельно АЧХ и ФЧХ (25). В этом случае проще проследить конкретную зависимость от частоты, так как частота является координатой этих графиков. Но чаще всего используют логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ), то есть графики ЛАЧХ и ФЧХ в логарифмических координатах. Удобство их применения станет понятным далее.

ЛАЧХ: L() (дб) = 20lg|W(j)| Логарифмические частотные характеристики ФЧХ: () = arg W(j) (6.9) Отметим, что в логарифмическом масштабе по оси ординат в начале осей стоит не 0 частота, а любая удобная по смыслу задачи.

Чаще всего это 1. Далее - в декадах.

На графике ЛАЧХ - L() по оси ординат откладывают децибелы.

На графике ФЧХ - (), имеющим общую ось ординат с графиком ЛАЧХ, по оси ординат откладывается фаза в радианах или градусах.

Рис. 6.• Лекция 7.

Характеристики типовых звеньев ТАУ.

В Лекции 4 дано определение типовых звеньев ТУ. Перейдём к изучению их свойств.

Для каждого звена будем рассматривать следующие основные характеристики:

1. Передаточная функция.

2. Соответствующее дифференциальное уравнение.

3. Переходная функция.

4. Весовая (импульсная переходная) функция.

5. АФЧХ и ЛФЧХ.

6. Реализция звена.

• Усилительное звено не рассматривается вследствие его тривиальности.

• Инерционное звено.

1. Передаточная функция инерционного звена:

k k- коэффициент усиления;

W ( p ) = ; Т - постоянная времени.

Tp +2. Дифференциальное уравнение инерционного звена:

• T x(t) + x(t) = ku(t); Д.у. первого порядка;

3. Переходная функция инерционного звена:

k 1 k = • = • = H ( p ) W ( p ) 1( p ) ;

+ + Tp 1 p ( Tp 1) p По формуле вычетов -t / T = = • + H ( t ) L-1 {H ( p )} Re s{H ( p )} p=-1/ T e k k -t / T t / T - • = • + • = Re s{H ( p )} p = 0 1( t ) e 1( t ) k (1 - e );

+ 2 Tp 1 p=-1/ T H(t) Переходный процесс инерционного звена- K экспоненциальный - типичный для систем первого порядка. Установившееся значение 0.63K равно К. Касательная при t=0, очевидно, равна K/T. Поэтому касательная пересека- ет линию установившегося значения в точ- 0 T t ке t=Т. Кроме того, H(T) 0.63K.

Рис. 7.Время переходного процесса инерционного звена В автоматике принято считать время переходного процесса по достижении 5% окрестности установившегося значения.

Воспользуемся полученной переходной функцией, чтобы оценить это время.

H(t) H(tпп ) = k(1- e-tпп / T ) = 0.95k;

e-tпп / T = 0.05;

- tпп / T -2.3;

tпп (2-3)T;

Рис. 7.В автоматике принято оценивать время переходного процесса по максимальной из постоянных времени: tпп=(2-3)Tmax, то есть учитывать главную постоянную времени, фактически аппроксимируя исследуемый блок инерционным звеном, так как все остальные составляющие переходного процесса будут заканчиваться задолго до этого. Так определённое время переходного процесса не зависит от коэффициента усиления.

k Пример 2. Для передаточной функции W(p) = (0.1p + 1)(10p + 1) Общее время переходного процесса будет примерно (20-30)сек.

4. Весовая функция инерционного звена.

k k h(p) = W(p) = h(t) = e-t / T;

Tp +1; T Весовая функция h(t) равна производной от переходной H(t) и представля- h(t) ет собой реакцию на -функцию.

Касательная при t=0 равна - K/T.

k/T Поэтому касательная пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т.

Характерен скачок амплитуды в начальный момент времени, возникающий из-за нали- чия на входе -функции. Строго говоря, та- кого не может быть, и будет наблюдаться 0 T t процесс, обозначенный пунктиром.

Рис. 7.5. АФЧХ инерционного звена:

k k(1- Tj) 1 T W( j) = = = k( - j ) = Tj +1 (Tj +1)(1- Tj) T22 +1 T22 +T22 +1 k = k • e- jarctgT = • e- jarctgT;

(T22 +1)T22 + ImW(j) Годограф описывает полуок- Годограф АФЧХ ружность с наинизшей точкой инерционного звена.

на частоте *=1/T, при этом (*)=-/ k фазовый сдвиг равен -/4, а ReW(j) коэффициент усиления (АЧХ) =0 равен 0.707k. При изменении A(*)=k/2 частоты от 0 до радиус- *=1/T вектор АЧХ монотонно убы- вает от начального значения K, стремясь к 0.

Рис. 7.6. ЛАЧХ и ЛФЧХ инерционного звена:

k L() = 20lg W(j) = 20lg = 20lg k -10lg(T22 +1);

T22 +Эта трансцендентная функция является ЛАЧХ инерционного звена. Чтобы упростить использование ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочнопостоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. То, что это оказывается эффективно реализуемым, показывает следующее рассуждение, справедливое, конечно, не только для инерционного звена, но и для любых более сложных ПФ.

Переход к асимптотической ЛАЧХ: заменяем истинную ЛАЧХ – ломаной асимптотической. Выделим области низких и высоких частот и по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях. После чего, оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.

Область низких частот: T22 <<1; т.е. <<1/T; можно пренебречь выражением T22. Получаем: L()=20lgk; Это горизонтальная прямая.

Область высоких частот: T22 >>1; т.е. >>1/T; можно пренебречь 1 в сравнении с выражением T22. Получаем L()=20lgk-20lgT. Уравнение прямой с наклоном -20дб./декаду в логарифмических координатах.

Излом асимптотической LАЧХ имеется на с =1/T. Вычислим max. ошибку.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 10 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.