WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |

Для доказательства остальных свойств нам понадобится свойство непрерывности вероятностной меры (глава 3, 2, стр. 28, лемма 2).

Доказательство с в о й с т в а (F2). Заметим сначала, что существование пределов в свойствах (F2), (F3) вытекает из монотонности и ограниченности функции F(x). Остается лишь доказать равенства lim F(x) = x= 0, lim F(x) = 1 и lim F(x) = F(x0). Для этого в каждом случае x+ xx0-достаточно найти предел по какой-нибудь подпоследовательности {xn}, так как существование предела влечёт совпадение всех частичных пределов.

Докажем, что F(-n) 0 при n. Рассмотрим вложенную убывающую последовательность событий Bn = { < -n}:

Bn+1 = < -(n+1) Bn = < -n для любых n 1.

Пересечение B всех этих событий состоит из тех и только тех, для которых () меньше любого вещественного числа. Но для любого элементарного исхода значение () вещественно, и не может быть меньше всех вещественных чисел. Иначе говоря, пересечение событий Bn не содержит элементарных исходов, т. е. B = Bn =. По свойству непрерывности меры, F(-n) = P(Bn) P(B) = 0 при n.

Точно так же докажем остальные свойства.

60 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Покажем, что F(n) 1 при n, т. е. 1-F(n) = P( n) 0.

Обозначим через Bn событие Bn = { n}. События Bn вложены:

Bn+1 = (n + 1) Bn = n для любых n 1, а пересечение B этих событий снова пусто — оно означает, что больше любого вещественного числа. По свойству непрерывности меры, 1-F(n) = = P(Bn) P(B) = 0 при n.

Доказательство с в о й с т в а (F3). Достаточно доказать, что F(x0 - 1/n) F(x0) при n. Иначе говоря, доказать сходимость к нулю следующей разности:

1 1 F(x0) -F x0 - = P( < x0) - P < x0 - = P x0 - < x0.

n n n Упражнение. Обозначьте событие {x0 - 1/n < x0} через Bn, и попробуйте снова воспользоваться свойством непрерывности меры.

Следующая теорема говорит о том, что три доказанных свойства полностью описывают класс функций распределения. То, что любая функция распределения ими обладает, мы с вами доказали, а теорема утверждает, что любая функция с такими свойствами есть функция распределения.

Теорема 21. Если функция F : R [0, 1] удовлетворяет свойствам (F1)–(F3), то F есть функция распределения некоторой случайной величины, т. е. найдётся вероятностное пространство, F, P и случайная величина на нём такая, что F(x) F(x).

Эту теорему мы доказывать не станем. Хотя её можно попробовать доказать конструктивно — предъявив то вероятностное пространство (проще всего отрезок = [0, 1] с -алгеброй борелевских множеств и мерой Лебега) и ту случайную величину, о существовании которых идёт речь.

Упражнение. Непременно попробуйте сделать это! Например, можно попробовать, не подойдёт ли () = sup{x : F (x) < }.

Помимо отмеченных в теореме 20, функции распределения обладают следующими свойствами:

(F4) В любой точке x0 разница F(x0 + 0) - F(x0) равна P( = x0):

F(x0 + 0) - F(x0) = lim F(x) - F(x0) = P( = x0), xx0+или, иначе говоря, F(x0 + 0) = F(x0) + P( = x0) = P( x0).

Упражнение. Докажите сами (так же, как мы доказывали (F2) и (F3)).

Заметим, что разница F(x0+0)-F(x0) между пределом при стремлении к x0 справа и значением в точке x0 есть величина скачка функции распределения. Эта величина равна нулю, если функция распределения непрерывна (справа) в точке x0. Слева функция распределения непрерывна всегда.

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Замечание 14. Очень часто функцией распределения называют P( x). Эта функция отличается от определённой выше лишь тем, что она непрерывна с п р а в а, а не слева. Соответственно, вероятность P( = x0) для неё равна величине скачка слева, а не справа.

(F5) Для любой случайной величины имеет место равенство:

P(a < b) = F(b) - F(a). (13) Если же функция распределения F(x) непрерывна в точках a и b, то P(a < b) = P(a < < b) = P(a b) = P(a < b) = F(b)-F(a).

Доказательство. Докажем только равенство (13). Все остальные равенства следуют из него и свойства (F4).

Заметим, что { < a} {a < b} = { < b}, и первые два события несовместны. Поэтому P{ < a} + P{a < b} = P{ < b}, или F(a) + P{a < b} = F(b), что и требовалось доказать.

Функция распределения дискретного распределения. Мы видели, как выглядят функции распределения некоторых дискретных распределений. Согласно определению дискретного распределения, его функция распределения может быть найдена по таблице распределения так:

F(x) = P( < x) = P( = ak).

k : ak

Свойство 8. Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения F(x) — ступенчатая функция. При этом значения суть точки ai скачков F(x), и pi = P( = ai) = F(ai + 0) - F(ai) — величины скачков.

Упражнение. Доказать, что любая функция распределения имеет не более чем счётное число точек разрыва (или «скачков»). Сколько скачков величиной более 1/2 может иметь функция распределения Не больше одного или не больше двух А скачков величиной более 1/3 Более 1/4 Свойства абсолютно непрерывного распределения. Пусть случайная величина имеет абсолюлютно непрерывное распределение с плотностью f(t). Тогда функция распределения в любой точке x может быть найдена по плотности распределения так:

x F(x) = P( < x) = P( (-, x)) = f(t) dt. (14) Поскольку функция распределения однозначно определяет распределение случайной величины, можно считать возможность представить функцию 62 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения распределения интегралом (14) от неотрицательной функции определением абсолютно непрерывного распределения.

(f3) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения всюду непрерывна.

Доказательство. Этот факт следует из свойства 7 и (F4). Заметим, что (f3) есть также следствие представления (14) и непрерывности интеграла как функции верхнего предела.

(f4) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то её функция распределения дифференцируема почти всюду, и d f(x) = F (x) = F(x) для почти всех x.

dx Замечание 15. Термин для «почти всех» означает «для всех, кроме (возможно) x из некоторого множества нулевой меры Лебега».

Заметим, что л ю б а я функция распределения дифференцируема почти всюду. Например, функции распределения равномерного распределения и распределения Бернулли дифференцируемы всюду, кроме двух точек.

Но у равномерного распределения плотность существует, а у распределения Бернулли — нет. Поэтому возможность дифференцировать функцию распределения никакого отношения к существованию плотности не имеет. Даже если мы дополнительно потребуем непрерывности функции распределения, этого не будет достаточно для абсолютной непрерывности распределения. Например, далее мы увидим, что функция распределения сингулярного распределения непрерывна и дифференцируема почти всюду, однако плотности у этого распределения нет, так как производная функции распределения почти всюду равна нулю.

Опираясь на свойства (f4) и (14), можно сформулировать такой критерий абсолютной непрерывности распределения: распределение с функцией распределения F(x) абсолютно непрерывно, если при всех x x F(x) = F (t) dt.

Из определения абсолютно непрерывного распределения и свойства сразу следует свойство:

(f5) Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то для любых a < b имеют место равенства:

b P(a < < b) = P(a < b) = P(a < b) = P(a b) = f(t) dt.

a ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Функция распределения сингулярного распределения. Для полноты картины посмотрим, какие свойства имеет функция распределения сингулярного распределения. Согласно определению 31, случайная величина с сингулярным распределением принимает с единичной вероятностью лишь значения из некоторого борелевского множества B с нулевой лебеговой мерой. Поэтому P( R \ B) = 0. Но согласно равенству (13), если P( [a, b)) = 0, то F(b) = F(a), т. е. расти функция распределения может лишь в точках множества B. На всём остальном множестве R \ B функция распределения имеет нулевую производную (в точках, где эта производная существует, т. е. почти всюду). Тем не менее, F(x) всюду непрерывна, поскольку P( = x) = 0 для любой точки x R. Примером такой функции распределения служит лестница Кантора:

F(x) 1 x 0 3 Функция распределения смешанного распределения. Функция распределения смешанного распределения есть линейная комбинация функций распределения дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.Если смешивать только дискретное и абсолютно непрерывное распределения, то функция распределения будет иметь разрывы в точках значений дискретного распределения и участки непрерывного роста, приращение функции на которых восстанавливается по её производной.

§ 7. Свойства нормального распределения Установим связь между функциями a, 2(x) и 0, 1(x).

Свойство 9. Для любого x R справедливо соотношение:

x - a a, 2(x) = 0, 1.

Доказательство.

x-a x -(t-a)2/ 22 x - a 1 1 a, 2(x) = e dt = e-y / 2dy = 0, 1.

2 - Мы сделали замену переменных y = (t - a) /, dt = dy, верхняя граница интегрирования t = x при такой замене перешла в y = (x - a) /.

То же самое для случайных величин можно сформулировать так:

64 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения - a = = Следствие 2. Если Na, 2, то = N0, 1.

Доказательство. Убедимся, что случайная величина имеет функцию распределения 0, 1(x):

- a F(x) = P( < x) = P < x = P( < x + a) = x + a - a = a, 2(x + a) = 0, 1 = 0, 1(x).

= Следствие 3. Если Na, 2, то x - a x - a P(x1 < < x2) = a, 2(x2) - a, 2(x1) = 0, 1 2 - 0, 1 1.

Видим, что вычисление любых вероятностей для нормально распределённой случайной величины сводится к вычислению функции распределения 0, 1(x). Она обладает следующими свойствами (нарисуйте их на графике п л о т н о с т и стандартного нормального распределения):

Свойство 10. 0, 1(0) = 0,5, 0, 1(-x) = 1 - 0, 1(x).

= Свойство 11. Если N0,1, то для любого x > P(|| < x) = 1 - 20, 1(-x) = 20, 1(x) - 1.

Доказательство. При x > 0 имеем:

P(|| < x) = P(-x < < x) = 0, 1(x) - 0, 1(-x) = = 1 - 20, 1(-x) = 20, 1(x) - 1.

= Свойство 12 (п р а в и л о т р е х с и г м). Если Na, 2, то P(| - a| 3) = 0,0027 (совсем мало).

Доказательство. Перейдём к противоположному событию:

- a P | - a| 3 = 1 - P | - a| < 3 = 1 - P < 3.

Но величина = ( - a) / имеет стандартное нормальное распределение, и можно использовать свойство 11: 1 - P(|| < 3) = 1 - (1 - 20, 1(-3)) = = 20, 1(-3) = 2 · 0,00135 = 0,0027 (найти в таблице!).

Большого смысла в запоминании числа 0,0027 нет, но полезно помнить, что почти вся масса нормального распределения сосредоточена в границах от a - 3 до a + 3.

Г Л А В А Преобразования случайных величин... По данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями.

И. Ньютон, Метод флюксий и бесконечных рядов...

Пусть на вероятностном пространстве, F, P задана случайная величина. Если функция g : R R такова, что g() — случайная величина, то нужно уметь находить распределение g() по распределению. Эта проблема возникает, например, при моделировании случайных величин с заданным распределением. Датчик случайных чисел может генерировать лишь значения случайных величин с равномерным распределением. А если нам необходимы значения показательно распределённой случайной величины, нужно знать, какое преобразование применить, чтобы из равномерного распределения получить показательное.

§ 1. Измеримость функций от случайных величин Вопрос об измеримости g() решает следующая теорема.

Теорема 22. Пусть — случайная величина, а g : R R — б о р е л е в с к а я (измеримая по Борелю) функция, т. е. такая, что для всякого борелевского множества B его прообраз g-1(B) есть снова борелевское множество. Тогда g() — случайная величина.

Доказательство. Проверим, что прообраз любого борелевского множества при отображении g() : R является событием. Возьмём произвольное B B(R) и положим B1 = g-1(B). Множество B1 борелевское, так как функция g измерима по Борелю. Найдём (g())-1(B):

{ | g(()) B} = { | () g-1(B) = B1} = -1(B1) F, поскольку B1 B(R) и — случайная величина.

Борелевскими являются все привычные нам функции. Функцией, неизмеримой по Борелю, будет, например, индикаторная функция неизмеримого множества Витали. Вообще говоря, неизмеримые функции суть объекты экзотические, в обычной жизни не встречающиеся.

66 ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин § 2. Распределения функций от случайных величин Линейные и монотонные преобразования. Если имеет дискретное распределение, то для любой борелевской функции g величина g() также имеет дискретное распределение, и таблица её распределения находится просто по определению. Поэтому мы будем рассматривать преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями.

Пусть случайная величина имеет функцию распределения F(x) и плотность распределения f(x). Построим с помощью борелевской функции g : R R случайную величину = g(). Требуется найти функцию распределения и, если существует, плотность распределения величины.

Замечание 16. Плотность распределения случайной величины = g() существует далеко не при любых функциях g. Так, если функция g кусочно-постоянна, то имеет дискретное распределение, и плотность её распределения не существует.

Упражнение. Привести пример плотности распределения случайной величины и н е п р е р ы в н о й функции g таких, что = g() имеет:

а) дискретное распределение; б) невырожденное дискретное распределение.

Плотность распределения величины = g() заведомо существует, если, например, функция g (строго) монотонна. В общем случае мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существует ли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения. Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютной непрерывности распределения. Если, согласно равенству (14), можно для любого x представить функцию распределения величины в виде x F(x) = h(y) dy, где h(y) 0, то плотность распределения величины существует и равна подынтегральной функции: f(x) = h(x). Другой путь — продифференцировать функцию распределения и убедиться, что производная является плотностью распределения, т. е. обладает свойствами (f1) и (f2).

Теорема 23. Пусть имеет функцию распределения F(x) и плотность распределения f(x), и постоянная a отлична от нуля. Тогда случайная величина = a + b имеет плотность распределения x 1 - b f(x) = f.

|a| a Доказательство. Пусть сначала a > 0.

(x-b)/a x - b x - b F(x) = P(a + b < x) = P < = F = f(t) dt.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.