WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |

Теорема 18. Если функция f обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина на нём, для которой f является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть есть область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции f. Площадь области равна единице по свойству (f2). Пусть F — множество борелевских подмножеств, а P — мера Лебега (площадь) на множествах из F. И пусть случайная величина есть абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда для любого B B(R) выполнено:

площадь DB P( B) = P(точка попала в DB) = = f(x) dx. (10) площадь B f(x) DB x B Здесь область DB есть криволинейная трапеция под графиком плотности, с основанием B. По определению, равенство (10) означает, что функция f является плотностью распределения случайной величины.

Свойство 7. Если случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение, то P( = x) = 0 для любого x R.

Д о к а з а т е л ь с т в о сразу следует из определения 30 и замечания 12, так как интеграл по области интегрирования, состоящей из одной точки, равен нулю.

Можно выделить ещё один особый класс распределений, сосредоточенных, в отличие от абсолютно непрерывных распределений, на множестве нулевой меры Лебега, но не имеющих, в отличие от дискретных, атома ни в одной точке этого множества.

52 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Определение 31. Говорят, что случайная величина имеет с и н г у л я р н о е распределение, если существует борелевское множество B с нулевой лебеговой мерой (B) = 0 такое, что P( B) = 1, но при этом P( = x) = 0 для любой точки x B.

Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений.

Множество B, на котором сосредоточено всё распределение, не может состоять из конечного или счётного числа точек. Действительно, если B ко нечно или счётно, то P( B) = P( = xi), где суммирование ведётся по всем xi B. Последняя сумма равна нулю как сумма счётного числа нулей, что противоречит предположению P( B) = 1.

Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено на несчётном множестве с нулевой мерой Лебега. Примером такого множества может служить канторовское совершенное множество, а примером такого распределения — лестница Кантора (выяснить, что это такое!).

Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинацией дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.

Определение 32. Говорят, что случайная величина имеет с м е ш а н н о е распределение, если найдутся такие случайные величины 1, 2 и 3 — с дискретным, абсолютно непрерывным и сингулярным распределениями соответственно (или такие три распределения), и числа p1, p2, p3 [0, 1), p1 + p2 + p3 = 1, что для любого B B(R) имеет место равенство:

P( B) = p1P(1 B) + p2P(2 B) + p3P(3 B).

По заданным на одном вероятностном пространстве случайным величинам 1, 2, 3 и числам p1+p2+p3 = 1 можно построить случайную величину со смешанным распределением так: пусть — случайная величина с дискретным распределением на том же вероятностном пространстве такая, что P( = k) = pk для k = 1, 2, 3, и при любом k и любом B B(R) события { = k} и {k B} независимы.

Построим случайную величину так: () = k(), если () = k, где k = 1, 2, 3. Её распределение найдём по формуле полной вероятности:

P( B) = P(1 B, = 1) + P(2 B, = 2) + P(3 B, = 3).

В силу независимости событий под знаком каждой из вероятностей, P( B) = p1P(1 B) + p2P(2 B) + p3P(3 B).

Никаких других видов распределений, кроме перечисленных выше, не существует (доказано Лебегом).

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения § 3. Функция распределения Описание распределения набором вероятностей P( B) не очень удобно: слишком много существует борелевских множеств. Мы описали дискретные распределения таблицей распределения, абсолютно непрерывные — плотностью распределения. Попробуем поискать какой-нибудь универсальный способ описать любое возможное распределение.

Можно поставить вопрос иначе: распределение есть набор вероятностей попадания в любые борелевские множества на прямой. Нельзя ли обойтись знанием вероятностей попадания в какой-нибудь меньший набор множеств на прямой Борелевская -алгебра B(R) порождается интервалами (равно как и лучами (-, x)), поэтому можно ограничиться только вероятностями попадания в такие лучи для всех x R. А уже с их помощью можно будет определить и вероятность попасть в любое борелевское множество.

Замечание 13. Можно с таким же успехом ограничиться набором вероятностей попадания в интервалы (-, x], или в (x, ), или в [x, ).

Определение 33. Ф у н к ц и е й р а с п р е д е л е н и я случайной величины называется функция F : R [0, 1], при каждом x R равная вероятности случайной величине принимать значения, меньшие x:

F(x) = P( < x) = P{ : () < x}.

Перечислим основные дискретные и абсолютно непрерывные распределения и найдём их функции распределения.

§ 4. Примеры дискретных распределений Вырожденное распределение. Говорят, что случайная величина = имеет вырожденное распределение в точке c R, и пишут: Ic, если принимает единственное значение c с вероятностью 1, т. е. P( = c) = 1.

Функция распределения имеет вид:

F (x) 0, x c;

F(x) = P( < x) = P(c < x) = 1, x > c.

c x Распределение Бернулли. Говорят, что случайная величина имеет = распределение Бернулли с параметром p, и пишут: Bp, если принимает значения 1 и 0 с вероятностями p и 1 -p соответственно. Случайная величина с таким распределением равна ч и с л у у с п е х о в в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью успеха p : ни одного успеха или один 0 успех. Таблица распределения имеет вид:.

P 1 - p p 54 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Функция распределения случайной величины такова:

F (x) 0, x 0;

F(x) = P( < x) = - p, 0 < x 1-p 1, x > 1.

x 0 Биномиальное распределение. Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами n N и p (0, 1), и пи= шут: Bn,p, если принимает значения k = 0, 1,..., n с вероятностями k P( = k) = Cnpk(1 - p)n-k. Случайная величина с таким распределением имеет смысл ч и с л а у с п е х о в в n и с п ы т а н и я х схемы Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения имеет вид:

0 1... k... n.

k P (1 - p)n np(1 - p)n-1... Cnpk(1 - p)n-k... pn Распределение Бернулли совпадает с распределением B1, p.

Геометрическое распределение. Говорят, что случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром p (0, 1), и пи= шут Gp, если принимает значения k = 1, 2, 3,... с вероятностями P( = k) = p(1 -p)k-1. Случайная величина с таким распределением имеет смысл н о м е р а п е р в о г о у с п е ш н о г о и с п ы т а н и я в схеме Бернулли с вероятностью успеха p. Таблица распределения имеет вид:

1 2... k...

.

P p p(1 - p)... p(1 - p)k-1...

Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величина имеет = распределение Пуассона с параметром, где > 0, и пишут:, если k принимает значения k = 0, 1, 2,... с вероятностями P( = k) = e-.

k! Таблицу распределения читатель может нарисовать самостоятельно.

Гипергеометрическое распределение. Говорят, что случайная величина имеет гипергеометрическое распределение с параметрами n, N и K, где K N, n N, если принимает целые значения k такие, что n-k k n 0 k K, 0 n-k N-K, с вероятностями P( = k) = CKCN-K / CN.

Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа белых шаров среди n шаров, выбранных наудачу и без возвращения из урны, содержащей K белых шаров и N - K не белых.

Упражнение. Построить графики функций распределения для распределения Пуассона, биномиального и геометрического распределения.

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений Равномерное распределение. Говорят, что имеет равномерное рас= пределение на отрезке [a, b], и пишут: Ua,b, если плотность распределения постоянна на отрезке [a, b] и равна нулю вне него:

f (x), если x [a, b], b-a f(x) = b - a 0, если x [a, b].

a x b Очевидно, что площадь под графиком этой функции равна единице и f(x) 0. Поэтому f(x) является плотностью распределения.

= Случайная величина Ua,b имеет смысл к о о р д и н а т ы т о ч к и, в ы б р а н н о й н а у д а ч у на отрезке [a, b]. Вычислим по определению функцию распределения случайной величины :

x 0 dt, x < a, x 0 x 0 dt + dt, a x b, F(x) = P( < x) = f(t) dt = b - a - a a b x 0 dt + dt + 0 dt, x > b.

b - a - a b Получим следующую непрерывную функцию распределения:

F (x) 0, если x < a;

x - a F(x) =, если a x b b 1,- a если x > b.

a x b Показательное распределение. Говорят, что имеет показательное = (экспоненциальное) распределение с параметром > 0, и пишут: E, если имеет следующую плотность распределения:

f (x) 0, если x < 0, f(x) = e-x, если x 0.

x Функция распределения случайной величины непрерывна:

F(x) 0, если x < 0, F(x) = P( < x) = 1 - e-x, если x 0.

x 56 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Показательное распределение является единственным абсолютно непрерывным распределением, для которого выполнено свойство «нестарения» (и в этом смысле оно является непрерывным аналогом дискретного геометрического распределения).

= Теорема 19. Пусть E. Тогда для любых x, y > P( > x + y | > x) = P( > y). (11) Упражнение. Доказать теорему 19. Доказать далее, что если неотрицательная случайная величина с абсолютно непрерывным распределением обладает свойством (11) при любых x, y > 0, то она имеет показательное распределение с некоторым параметром.

Нормальное распределение. Говорят, что имеет нормальное (гауссовское11) распределение с параметрами a и 2, где a R, > 0, и пишут:

= Na, 2, если имеет следующую плотность распределения:

f(x) (x-a), x R.

f(x) = e- a x Убедимся, что f(x) является плотностью распределения. Так как f(x) > 0 для всех x R, то свойство (f1) выполнено. Проверим (f2):

(x-a)2 замена переменных f(x) dx = e- dx = x - a = t =, dx = dt - 1 2 1 2 I = e-t /2 dt = e-t /2 dt = = 1, 2 2 - где через I обозначен табличный интеграл (интеграл Пуассона12) I = e-x /2 dx = 2.

Johann Carl Friedrich Gauss (30.04.1777 — 23.02.1855, Germany) Этот интеграл вычисляется так:

2 2 I2 = e-x /2 dx e-y /2 dy = e-(x +y2)/2 dx dy.

- - - Далее полярная замена переменных: x = r cos, y = r sin, dx dy = r dr d, x2 + y2 = r2:

2 2 I2 = re-r /2 dr d = e-r /2 d(r2/2) d = 2, I = 2.

0 0 0 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Нормальное распределение N0, 1 с параметрами a = 0 и 2 = 1 называется с т а н д а р т н ы м н о р м а л ь н ы м распределением. Плотность стандартного нормального распределения равна f(x) = e-x /2.

Ввиду особой роли нормального распределения в теории вероятностей (мы ещё узнаем о ней) существует даже специальное обозначение a, 2(x) для функции распределения нормального закона Na, 2. Из курса математического анализа читателю известно, что первообразная функции e-x не может быть выражена через элементарные функции. Поэтому функцию a, 2(x) можно записать лишь в виде интеграла:

x (t-a)a, 2(x) = e- dt, 0,x t0, 1(x) = e- dt.

a x Функция 0, 1(x) табулирована, т. е. её значения при различных вещественных x вычислены. Их можно найти в соответствующих таблицах.

Гамма-распределение. Говорят, что имеет гамма-распределение = с параметрами > 0, > 0, и пишут:,, если имеет следующую плотность распределения:

0, если x 0, f(x) = c · x-1e-x, если x > 0, где постоянная c вычисляется из свойства (f2) плотности так:

c c 1 = f(x) dx = c x-1e-x dx = (x)-1e-x d(x) = (), - 0 откуда c = / (). Здесь через () обозначен интеграл () = x-1e-x dx = ( - 1)( - 1), называемый гамма-функцией Эйлера13; (k) = (k - 1)! при целых поло жительных k, (1) = 1. Замена в интеграле Пуассона даст (1/2) =.

Полезно отметить, что показательное распределение есть частный случай гамма-распределения: E =, 1.

Leonhard Euler (15.04.1707 — 18.09.1783, Switzerland, Россия) 58 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Упражнение. Нарисовать график плотности распределения, при < 1, при = 1 и при > 1, отметить на этом графике точки экстремума, точки перегиба и иные особенности графика.

Функцию распределения гамма-распределения можно записать, вообще говоря, только в виде интеграла:

x F(x) = t-1e-t dt.

() Но при целых значениях параметра интегрированием по частям этот интеграл можно превратить в сумму:

- (x)k (x)k F(x) = 1 - e-x = e-x. (12) k! k! k=0 k= Упражнение. Доказать первое из равенств (12) при целых значениях.

=.

Доказать следующее забавное равенство: F(x) = P( ), где x Распределение Коши. Говорят, что имеет распределение Коши= с параметрами a R, > 0, и пишут: Ca,, если имеет следующую плотность распределения:

f(x) = для любого x R.

2 + (x - a)Плотность распределения Коши симметрична относительно прямой x = = a и похожа на плотность нормального распределения, но имеет более толстые «хвосты» на ±. Функция распределения случайной величины 1 1 x - a с распределением Коши равна F(x) = + arctg при всех x.

Распределение Парето. Говорят, что имеет распределение Паретос параметром > 0, если имеет следующие плотность и функцию распределения:

1 -, если x 1,, если x 1, x+f(x) = F(x) = x 0, 0, если x < 1;

если x < 1.

Часто рассматривают более широкий класс распределений Парето, сосредоточенных не на [1, ), а на [c, ) при c > 0.

С другими абсолютно непрерывными распределениями (хи-квадрат Пирсона, распределениями Стьюдента, Фишера, Колмогорова, Лапласа) мы познакомимся при изучении математической статистики. С распределеAugustin Louis Cauchy (21.08.1789 — 23.05.1857, France) Vilfredo Pareto (15.07.1848 — 20.08.1923, France, Italy, Switzerland) ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения ниями Вейбулла, логарифмически нормальным и некоторыми другими читатель познакомится в дальнейших курсах.

§ 6. Свойства функций распределения Общие свойства функций распределения. Функцией распределения случайной величины мы назвали функцию F(x) = P( < x). Основные свойства этой функции заключены в теореме:

Теорема 20. Любая функция распределения обладает следующими свойствами:

(F1) она не убывает: если x1 < x2, то F(x1) F(x2);

(F2) cуществуют пределы lim F(x) = 0 и lim F(x) = 1;

x- x+ (F3) она в любой точке непрерывна слева:

F(x0 - 0) = lim F(x) = F(x0).

xx0-Доказательство с в о й с т в а (F1). Для любых чисел x1 < x2 собы{ тие { < x1} влечёт событие { < x2}, т. е. { < x1} < x2}. Но вероятность — монотонная функция событий, поэтому F(x1) = P{ < x1} P{ < x2} = F(x2).

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.