WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |

k=7 k=Сформулируем теорему о приближённом вычислении вероятности какого-либо числа успехов в большом числе испытаний схемы Бернулли Simeon Denis Poisson (21.06.1781 — 25.04.1840, France) 44 ГЛАВА 5. Схема Бернулли с маленькой вероятностью успеха. Термин «большое число» должен означать n. Если при этом p = pn 0, то, очевидно, вероятность получить любое конечное число успехов при растущем числе испытаний стремится к нулю. Необходимо чтобы вероятность успеха p = pn стремилась к нулю одновременно с ростом числа испытаний. Но от испытания к испытанию вероятность успеха меняться не может (см. определение схемы Бернулли). Поэтому нам придётся рассмотреть так называемую «схему серий»:

если испытание одно, то вероятность успеха в нём равна p1, если испытаний два, то вероятность успеха в каждом — p2, и т. д. Если испытаний n, то в каждом из них вероятность успеха равна pn. Вероятность успеха меняется не внутри одной серии испытаний, а от серии к серии, когда меняется общее число испытаний.

Теорема 15 (т е о р е м а П у а с с о н а). Пусть n и pn 0 так, что npn > 0. Тогда для любого k 0 вероятность получить k успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха pn стремится к величине k e- / k! :

k k Cn pk (1 - pn)n-k - e-.

n k! Доказательство. Положим n = n · pn > 0. Тогда pn = n/n и n-k k n k k Cnpk(1 - pn)n-k = Cn n 1 - = n nk n n -k n(n-1)... (n-k+1) k n n k n = 1 - 1 - - e-. (8) nk k! n n k! e- В соотношении (8) мы воспользовались тем, что k k и замечательn ным пределом (1 - n/n)n e-. Докажем последнее свойство:

n n n n n ln 1 - = n ln 1 - = n - + O -.

n n n n k Определение 25. Набор чисел e-, k = 0, 1, 2,... называется k! р а с п р е д е л е н и е м П у а с с о н а с параметром > 0.

По теореме 15 можно приближённо посчитать вероятность получить не менее семи успехов в тысяче испытаний схемы Бернулли с вероятностью успеха 0,003, с вычисления которой мы начали. Поскольку n = 1 000 «велико», а pn = 0,003 «мало», то, взяв = npn = 3, можно записать приблиГЛАВА 5. Схема Бернулли жённое равенство 6 3k 3k k 1 - C1 000 (0,003)k (0,997)1 000-k 1 - e-3 = e-3 = k! k! k=0 k=0 k== табличное значение 3(7) 0,034. (9) Осталось решить, а достаточно ли n = 103 велико, а pn = 0,003 мало, чтобы заменить точную вероятность P(n = k) на приближённое значение ke- / k! Для этого нужно уметь оценивать разницу между этими двумя вероятностями.

Следующую очень полезную теорему мы, исключительно из экономии времени, доказывать не станем.

Теорема 16 (уточнённая теорема Пуассона). Пусть A — произвольное множество целых неотрицательных чисел, n — число успехов в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p, и пусть = np. Cправедливо неравенство:

k k k P(n A) - e- = Cnpk(1 - p)n-k - e- np2.

k! k! kA kA kA Таким образом, теорема 16 предоставляет нам возможность самим решать, достаточно ли n велико, а p мало, руководствуясь полученной величиной погрешности. Какова же погрешность в формуле (9) Взяв A = = {0, 1,..., 6}, имеем:

3k P(1000 7) - 0,034 = 1 - P(1000 6) - 1 - e-3 = k! k= 3k = P(1000 6) - e-3 np2 = 0,009.

k! k=Можно утверждать, что искомая вероятность заключена в границах (0,034 - 0,009, 0,034 + 0,009) = (0,025, 0,043).

На самом деле можно уточнить оценку в теореме 16. Например, можно доказать, что погрешность даже меньше, чем min(p, np2). В нашем примере это втрое уменьшает оценку для погрешности — 0,003 вместо 0,009, уточняя границы для истинной вероятности: (0,031, 0,037).

Г Л А В А Случайные величины и их распределения Абстрагировать — это, по-видимому, значит переходить к сути дела. Это значит освобождаться от случайных черт и сосредотачивать внимание на особо важных свойствах.

M. Кац, Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел § 1. Случайные величины Мы уже видели, что для многих экспериментов нет никаких различий в подсчёте в е р о я т н о с т е й событий, тогда как элементарные исходы в этих экспериментах очень различаются. Но нас и должны интересовать именно вероятности событий, а не структура пространства элементарных исходов. Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. Иначе говоря, каждому элементарному исходу поставить в соответствие некоторое вещественное число, и работать только с числами.

Пусть задано вероятностное пространство, F, P.

Определение 26. Функция : R называется с л у ч а й н о й в е л и ч и н о й, если для любого борелевского множества B B(R) множество -1(B) является событием, т. е. принадлежит -алгебре F.

Множество -1(B) = { | () B}, состоящее из тех элементарных исходов, для которых () принадлежит B, называется полным прообразом множества B.

Замечание 10. Вообще, пусть функция f действует из множества X в множество Y, и заданы -алгебры F и G подмножеств X и Y соответственно. Функция f называется измеримой, если для любого множества B G его полный прообраз f-1(B) принадлежит F.

Замечание 11. Читатель, не желающий забивать себе голову абстракциями, связанными с -алгебрами событий и с измеримостью, может смело считать, что любое множество элементарных исходов есть событие, и, следовательно, случайная величина есть произвольная функция из в R. Неприятностей на практике это не влечёт, так что всё дальнейшее в этом параграфе можно пропустить.

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Теперь, избавившись от нелюбопытных читателей, попробуем понять, зачем случайной величине нужна измеримость.

Если задана случайная величина, нам может потребоваться вычислить вероятности вида P( = 5) = P{ | () = 5}, P( [-3, 7]), P( 3,2), P( < 0) (и вообще самые разные вероятности попадания в борелевские множества на прямой). Это возможно лишь если множества, стоящие под знаком вероятности, являются событиями — ведь вероятность есть функция, определённая только на -алгебре событий. Требование измеримости равносильно тому, что для любого борелевского множества B определена вероятность P( B).

Можно потребовать в определении 26 чего-нибудь другого. Например, чтобы событием было попадание в любой интервал: { | () (a, b)} F, или в любой полуинтервал: { | () < x} F.

Убедимся, например, что эквивалентны определения 26 и 27:

Определение 27. Функция : R называется случайной величиной, если для любых вещественных a < b множество { | () (a, b)} принадлежит -алгебре F.

Доказательство э к в и в а л е н т н о с т и о п р е д е л е н и й 26, 27.

Если — случайная величина в смысле определения 26, то она будет случайной величиной и в смысле определения 27, поскольку любой интервал (a, b) является борелевским множеством.

Докажем, что верно и обратное. Пусть для любого интервала (a, b) выполнено -1((a, b)) F. Мы должны доказать, что то же самое верно и для любых борелевских множеств. Соберём в множестве A = {B R | -1(B) F} все подмножества вещественной прямой, прообразы которых являются событиями. Множество A уже содержит все интервалы (a, b). Покажем теперь, что множество A является -алгеброй.

По определению, B A тогда и только тогда, когда множество -1(B) = = { | () B} принадлежит F.

1. Убедимся, что R A. Но -1(R) = F и, следовательно, R A.

2. Убедимся, что B A для любого B A. Пусть -1(B) F. Тогда -1(B) = { | () B} = \ -1(B) F, так как F — -алгебра.

3. Убедимся, что B1 B2... A для любых B1, B2,... A.

Пусть -1(Bi) F для всех i 1. Но F — -алгебра, поэтому -1 Bi = () Bi = -1(Bi) F.

i=1 i=1 i=Мы доказали, что A — -алгебра и содержит все интервалы на прямой.

Но B(R) — наименьшая из -алгебр, содержащих все интервалы на пря мой. Следовательно, A содержит все множества из B(R) : B(R) A.

48 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Приведём примеры измеримых и неизмеримых функций.

Пример 30. Подбрасываем кубик. Пусть = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, и две функции из в R заданы так: () =, () = 2. Пока не задана -алгебра F, нельзя говорить об измеримости. Функция, измеримая относительно какой-то -алгебры F, может не быть таковой для другой F.

1. Если F есть множество в с е х подмножеств, то и являются случайными величинами, поскольку любое множество элементарных исходов принадлежит F, в том числе и { | () B} или { | () B}. Можно записать соответствие между значениями случайных величин и и вероятностями принимать эти значения в виде «таблицы распределения вероятностей» или, коротко, «таблицы распределения»:

1 2 3 4 5 6 1 4 9 16 25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Здесь P( = 1) =... = P( = 6) = P( = 1) =... = P( = 36) =.

2. Пусть -алгебра событий F состоит из четырёх множеств:

F =,, {1, 3, 5}, {2, 4, 6}, т. е. событием является, кроме достоверного и невозможного событий, выпадение чётного или нечётного числа очков. Убедимся, что при такой сравнительно бедной -алгебре ни, ни не являются случайными величинами, поскольку они неизмеримы. Возьмём, скажем, B = {4}. Видим, что { | () = 4} = {4} F и { | () = 4} = {2} F.

Упражнение.

а) Какие функции измеримы относительно F =,, {1, 3, 5}, {2, 4, 6} б) Доказать, что и не являются случайными величинами, если F = {, }.

в) Доказать, что относительно тривиальной -алгебры измеримы только функции вида () = c (постоянные).

Пример 31. Пусть = [0, 2], F = B(R) [0, 2] — сигма-алгебра борелевских подмножеств отрезка [0, 2], P(·) = (·) — мера Лебега на F и A — неизмеримое множество Витали, построенное нами в примере 14.

Функция 1, если A, () = IA() = 0, если A не является случайной величиной, поскольку, например, прообраз единицы -1({1}) = { | () = 1} = A не принадлежит F. И вероятность для попасть в единицу P( = 1) = (A) просто не существует.

Познакомимся с важным понятием — «распределение» случайной величины и опишем различные типы распределений случайных величин.

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения § 2. Распределения случайных величин Определение 28. Распределением случайной величины называется вероятностная мера µ(B) = P( B) на множестве борелевских подмножеств R.

Можно представлять себе распределение случайной величины как соответствие между множествами B B(R) и вероятностями P( B).

Распределения случайных величин суть основные объекты изучения в теории вероятностей. Мы не будем, как правило, интересоваться тем, из какого множества действует функция и каким именно элементарным исходам сопоставляет свои возможные значения. Нас будет интересовать лишь, с к а к о й в е р о я т н о с т ь ю эти значения принимаются. Приведём несколько примеров совершенно разных случайных величин, имеющих одно и то же распределение (одинаково распределённых).

Пример 32.

1. Один раз бросается правильная монета. Пространство состоит из двух элементарных исходов — герб и решка. В качестве -алгебры рассмотрим множество всех подмножеств. Вероятность зададим как в классической схеме. Построим две случайные величины и так: положим () = 1, если = герб, и () = 0, если = решка;

() = 0, если = герб, и () = 1, если = решка.

Очевидно, что для любого множества B R вероятности принадлежать B для и одинаковы. Тем не менее ни для одного элементарного исхода значения () и () не совпадают. Т. е. и одинаково распределены, но не одинаковы как функции.

2. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. В этом случае есть отрезок [0, 1] с -алгеброй борелевских подмножеств [0, 1] и мерой Лебега в качестве вероятности. Предлагаю читателю убедиться, что две совершенно разные функции: () = и () = 1 - (расстояния до упавшей точки от левого и от правого концов отрезка соответственно) обладают одинаковыми вероятностями принимать значения внутри любых борелевских множеств B. Вероятности эти равны мере Лебега пересечения множеств B и [0, 1]. Таким образом, эти случайные величины снова одинаково распределены, но не одинаковы: их значения совпадают лишь при одном элементарном исходе = 0,5 (нарисовать графики функций () и ()).

3. На том же отрезке [0, 1] построим две функции: () = 0 при всех ;

() = 0 при всех, кроме = 0,5, а в точке = 0,5 положим () = -17.

Поскольку мера Лебега точки (она же — вероятность) равна нулю, распределения величин и одинаковы. Теперь () и () снова не совпадают как функции, но отличаются их значения лишь на множестве нулевой веро50 ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения ятности — только в точке = 0,5. В этом случае говорят, что и совпадают «почти наверное»: P( = ) = 1.

Опишем различные типы распределений случайных величин. Вся вероятностная масса может быть сосредоточена в нескольких точках прямой, может быть «размазана» по некоторому интервалу или по всей прямой.

В зависимости от типа множества, на котором сосредоточена вся единичная вероятностная масса, распределения делят на дискретные, абсолютно непрерывные, сингулярные и их смеси.

Определение 29. Cлучайная величина имеет д и с к р е т н о е распределение, если существует конечный или счётный набор чисел {a1, a2,... } такой, что P( = ai) = 1.

i=Итак, случайная величина имеет дискретное распределение, если она принимает не более чем счётное число значений. Значения эти иначе называют а т о м а м и: имеет атом в точке x, если P( = x) > 0.

Если случайная величина имеет дискретное распределение, то для лю бого B R P( B) = P( = ai).

aiB Дискретное распределение удобно задавать следующей таблицей, в которой pi = P( = ai):

a1 a2 a3...

P p1 p2 p3...

Определение 30. Cлучайная величина имеет а б с о л ю т н о н е п р е р ы в н о е распределение, если существует неотрицательная функция f(x) такая, что для любого борелевского множества B имеет место равенство:

P( B) = f(x) dx.

B Функцию f(x) называют плотностью распределения величины.

Замечание 12. Интеграл выше есть интеграл Лебега, а не Римана. Вполне достаточно, если читатель, не знакомый с интегралом Лебега, будет представлять его себе просто как площадь под графиком подынтегральной функции над множеством B. При этом площадь над множеством B, имеющим нулевую меру Лебега, равна нулю. Заметим, что любая функция, отличающаяся от функции f(x) лишь в конечном или счётном числе точек (или на множестве нулевой меры Лебега), будет являться плотностью того же распределения, так как интеграл не изменится от изменения подынтегральной функции на множестве меры нуль.

ГЛАВА 6. Случайные величины и их распределения Теорема 17. Плотность распределения обладает свойствами:

(f1) f(x) 0 для любого x; (f2) f(t) dt = 1.

Доказательство. (f1) выполнено по определению плотности, (f2) также следует из определения:

P( R) = 1 = f(x) dx.

R Эти два свойства полностью характеризуют класс плотностей:

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.