WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |

В следующей главе мы займёмся, следуя Колмогорову4, построением аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства, а также докажем сформулированные в параграфе 2 главы 1 свойства вероятности.

Андрей Николаевич Колмогоров (25.04.1903 — 20.10.1987) Г Л А В А Аксиоматика теории вероятностей Математик должен знать меру, норму и предел (фольклор ММФ НГУ) § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий Алгебра событий. Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (т. е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств, которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определённую т о л ь к о на множестве событий.

Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества, а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был з а м к н у т относительно обычных операций над событиями, т. е. чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры событий.

Определение 10. Множество A, элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется а л г е б р о й (алгеброй событий), если оно удовлетворяет следующим условиям:

(A1) A (алгебра событий содержит достоверное событие);

(A2) если A A, то A A (вместе с любым событием алгебра содержит противоположное событие);

(A3) если A A и B A, то A B A (вместе с любыми двумя событиями алгебра содержит их объединение).

Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество = также содержится в A. Из (A3) следует, что вместе с любым к о н е ч н ы м набором событий алгебра содержит их объединение: для любого n 2, для любых A1,..., An A выполнено A1... An A. Вместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.

Свойство 1. В определении 10 можно заменить (A3) на (A4):

(A4) если A A и B A, то A B A.

ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2) из (A3) следует (A4). Если A, B A, то A A, B A по свойству (A2). Тогда из (A3) следует, что A B A, и, по (A2), дополнение A B к этому множеству также принадлежит A. В силу формул двойственности, дополнение к объединению как раз и есть пересечение дополнений:

A B = A B A.

Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4) следует (A3), т. е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.

Пример 15. Пусть = {,,, } — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств являются алгебрами (проверьте это по определению):

1. A = {, } = {{,,, }, } — т р и в и а л ь н а я алгебра.

2. A = {,, {}, \ {}} = {{,,, },, {}, {,, }}.

3. A = {,, A, A} = {,,, },, A, A, где A — произвольное подмножество (в предыдущем примере A = {}).

4. A = 2 — множество всех подмножеств.

Упражнение. Доказать, что если состоит из n элементов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.

Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникает необходимость объединять счётные наборы событий и считать событием результат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре. Поэтому разумно наложить более суровые ограничения на класс событий.

Определение 11. Множество F, элементами которого являются подмножества множества (не обязательно все) называется -а л г е б р о й (алгеброй событий), если выполнены следующие условия:

(S1) F (-алгебра событий содержит достоверное событие);

(S2) если A F, то A F (вместе с любым событием -алгебра содержит противоположное событие);

(S3) если A1, A2,... F, то A1 A2... F (вместе с любым с ч ё т н ы м набором событий -алгебра содержит их объединение).

Упражнение.

а) Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества F.

б) Вывести из (S1) и (S2), что F.

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.

24 ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Свойство 2. В определении 11 можно заменить (S3) на (S4):

(S4) если A1, A2,... F, то A1 A2... F.

Как показывает следующее свойство, всякая -алгебра есть алгебра.

Свойство 3. Если F — -алгебра, то она удовлетворяет свойству (A3), т. е. для любых A F и B F выполняется A B F.

Доказательство. Превратим пару A, B в счётную последовательность событий так: A, B, B, B, B,..., т. е. положим A1 = A, Ai = B при всех i 2. Объединение A B совпадает с объединением всех множеств Ai из этой бесконечной последовательности. А так как F — -алгебра, то A B = Ai F.

i=Упражнение. Докажите, что для любых A, B F выполнено A \ B F.

Итак, всякая -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведём пример алгебры, не являющейся -алгеброй.

Пример 16. Пусть = R, и пусть A — множество, содержащее любые конечные подмножества R (т. е. состоящие из конечного числа точек, в том числе пустое) и их дополнения. В частности, множество {0, 2, } принадлежит A, множество (-, -7,2) (-7,2, 5) (5, ) принадлежит A.

Легко проверить, что множество A является алгеброй. Действительно, пустое множество и само = R там содержатся, дополнение к любому конечному подмножеству множества вещественных чисел содержится в A по определению, дополнение к множеству вида R \ A для конечных A совпадает с A и также принадлежит A по определению. Свойство (A3) проверяется непосредственно: объединение любых конечных множеств снова конечно и поэтому принадлежит A. Объединение конечного множества с множеством вида R \ A, где A конечно, есть снова множество вида R \ B, где B конечно (или пусто). Объединение двух множеств R \A и R \B, являющихся дополнениями до R конечных множеств A и B, есть снова множество такого же вида.

Однако алгебра A не содержит ни одного счётного множества точек.

Действительно, объединяя конечные множества в конечном числе, мы можем получить только конечное множество. Например, натуральный ряд N не принадлежит A. Поэтому A не является -алгеброй: для бесконечной, но счётной последовательности одноточечных множеств Ai = {i} из A их объединение N = A1 A2... не принадлежит A.

Все алгебры из примера 15 являются -алгебрами, поскольку содержат лишь конечное число элементов. Вообще, на конечном множестве понятия алгебры и -алгебры совпадают. Множество всех подмножеств является -алгеброй для любого.

ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Борелевская5 -алгебра в R. Приведём пример -алгебры, которая нам будет необходима в дальнейшем,— -алгебры б о р е л е в с к и х множеств на вещественной прямой.

Борелевской сигма-алгеброй в R называется самая маленькая среди всех возможных -алгебр, содержащих любые интервалы на прямой. Разумеется, -алгебры, содержащие все интервалы, существуют. Например, множество всех подмножеств R — это -алгебра, и она содержит все интервалы. Что же такое «самая маленькая -алгебра» из нескольких данных Обратимся к примерам.

Пример 17. Пусть = R — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.

1. Множество A = {R,, [0, 1], {0}} не является -алгеброй, так как, например, [0, 1] = R \ [0, 1] = (-, 0) (1, ) A. Самый маленький набор множеств, содержащий A и являющийся -алгеброй (м и н и м а л ь н а я -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств из A:

F = { R,, [0, 1], {0}, (-, 0) (1, ), (0, 1], (-, 0] (1, ), (-, 0) (0, )}. Более точно:

Определение 12. Минимальной -алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех -алгебр, содержащих A.

Ещё раз напомним, что пересекать в определении 12 есть что: хотя бы одна -алгебра, содержащая данный набор множеств, всегда найдётся — это -алгебра всех подмножеств (в данном случае = R).

Упражнение. Доказать, что пересечение д в у х -алгебр, содержащих набор множеств A, снова является -алгеброй (невероятно!), содержащей A.

Упражнение. Найти минимальную -алгебру, содержащую следующий набор подмножеств R : A = {R,, [0, 1], {3}}.

2. Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоит из в с е в о з м о ж н ы х открытых интервалов (a, b), где a < b:

A = {(a, b) | - < a < b < }.

Упражнение. Проверить, что множество A всех интервалов ни в коем случае не является ни алгеброй, ни -алгеброй! Указание: привести примеры двадцати множеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пяти множеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.

Определение 13. Минимальная -алгебра, содержащая множество A всех интервалов на вещественной прямой, называется б о р е л е в с к о й алгеброй в R и обозначается B(R).

Flix Edouard Justin Emile Borel (7.01.1871 — 3.02.1956, France) 26 ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B(R) по определению. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B(R), требуются специальные построения.

Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B(R), и B(R) — -алгебра. Отсюда сразу следует, что B(R) содержит любое множество, которое можно получить из интервалов с помощью счётного числа операций объединения или пересечения, а также взятием дополнения.

В частности, R принадлежит B(R). Это сразу следует из свойства (S1) -алгебры, но может быть доказано и исходя из свойств (S2), (S3).

Интервал (-n, n) принадлежит A, а значит, принадлежит и B(R) при любом n N, т. е. (-n, n) B(R). Но B(R) — -алгебра, и содержит счётное объединение любых своих элементов, поэтому R = (-n, n) B(R).

n=Далее, любой интервал вида (a, b ] (или [a, b), или [a, b ]), где a < b, принадлежит B(R).

Интервал (a, b + 1/ n) принадлежит B(R) при любом n N. Тогда счётное пересечение этих интервалов (a, b ] = a, b + n n=по свойству (S4) также принадлежит B(R).

Упражнение. Докажите, что (a, b ] = (a, b + 1/n) по определению переn=сечения множеств: x A B тогда и только тогда, когда x A и x B.

Любое одноточечное подмножество {b} R принадлежит B(R).

Действительно, {b} = (a, b ] \ (a, b), а разность A \ B = A B двух множеств из -алгебры снова принадлежит -алгебре.

Упражнение. Докажите, что множества вида (a1, b1) (a2, b2) принадлежат B(R), что множество натуральных чисел N принадлежит B(R), множество рациональных чисел Q принадлежит B(R).

3. Борелевская -алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R.

Это должна быть минимальная -алгебра, содержащая все множества вида (a1, b1)... (an, bn) — уже не интервалы, как в R, а прямоугольники в R2, параллелепипеды в R3 и т. д. Вместе с ними B(Rn) содержит любые множества, являющиеся «предельными» для объединений измельчающихся прямоугольников. Например, круг в R2 является борелевским множеством — можно изнутри или снаружи приблизить его объединениями прямоугольников.

ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Итак, мы определили специальный класс F подмножеств пространства элементарных исходов, названный -алгеброй событий, причём применение счётного числа любых операций (объединений, пересечений, дополнений) к множествам из F снова дает множество из F, т. е. не выводит за рамки этого класса. С о б ы т и я м и будем называть только множества A F.

Определим теперь понятие в е р о я т н о с т и как функции, определённой на множестве событий (функции, которая каждому событию ставит в соответствие число — вероятность этого события).

А чтобы читателю сразу стало понятно, о чём пойдёт речь, добавим: вероятность мы определим как н е о т р и ц а т е л ь н у ю н о р м и р о в а н н у ю м е р у, заданную на -алгебре F подмножеств. Следующий параграф познакомит нас с понятиями меры и вероятностной меры.

§ 2. Мера и вероятностная мера Мера как неотрицательная -аддитивная функция множеств.

Определение 14. Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Функция µ : F R {+} называется м е р о й на (, F), если она удовлетворяет условиям:

(µ1) для любого множества A F его мера неотрицательна: µ(A) 0;

(µ2) для любого счётного набора попарно непересекающихся множеств A1, A2, A3,... F (т. е. такого, что Ai Aj = при всех i = j) мера их объединения равна сумме их мер:

µ Ai = µ(Ai) i=1 i=(«счётная аддитивность» или «-аддитивность» меры).

Упражнение. Зачем в свойстве (µ2) требуется, чтобы события не пересекались Может ли какая-нибудь функция µ : F R удовлетворять свойству µ(A B) = µ(A) + µ(B) при любых событиях A и B Упражнение. Указать область определения и область значений функции µ.

Для каких A определено значение µ(A) Пример 18. Пусть = {a, b, c}, F = 2 — множество всех подмножеств. Зададим меру µ на F так: µ{a} = 3, µ{b} = 17, µ{c} = 1, µ{a, b} = 20, µ{a, c} = 4, µ{b, c} = 18, µ{a, b, c} = 21, µ() = 0. Для краткости записи мы вместо µ({a}) писали всюду µ{a}.

Пример 19. Пусть = N, F = 2N — множество всех подмножеств натурального ряда. Зададим меру µ на F так: µ(A) = |A| — число элементов в множестве A (µ(A) =, если множество A не является конечным).

Henri Lon Lebesgue (28.06.1875 — 26.07.1941, France) 28 ГЛАВА 3. Аксиоматика теории вероятностей Пример 20 (м е р а Л е б е г а6). Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин «мера области A в Rm», имея в виду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объем» в трёхмерном пространстве. Являются ли все эти «длины-площади-объемы» настоящими мерами в смысле определения 14 Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.

Замечание 6. Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз «длину-площадь-объем», так что всё в порядке, дальнейшее до п. 2 можно смело пропустить.

Рассмотрим вещественную прямую с -алгеброй борелевских множеств. Эта -алгебра, по определению, есть наименьшая -алгебра, содер жащая любые интервалы. Для каждого интервала (a, b) R число b - a назовём д л и н о й интервала (a, b).

Мы не станем доказывать следующее утверждение:

Лемма 1. Существует единственная м е р а на (R, B(R)), значение которой на любом интервале равно его длине: (a, b) = = b - a. Эта мера называется м е р о й Л е б е г а.

Замечание 7. Это утверждение является следствием теоремы Каратеодори7 о продолжении меры с алгебры на -алгебру, применительно к (R, B(R)).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.