WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |

Если событие A = {i1,..., ik} состоит из k элементарных исходов, то вероятность этого события равняется отношению k / N:

1 |A| P(A) = pi +... + pi = k · =, 1 k N || где символом |A| обозначено число элементов конечного множества A.

ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема Определение 7. Говорят, что эксперимент удовлетворяет «классическому определению вероятности», если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа || = N равновозможных исходов. В этом случае вероятность любого события A вычисляется по формуле |A| P(A) =, || называемой к л а с с и ч е с к и м о п р е д е л е н и е м в е р о я т н о с т и.

Формулу P(A) = |A| / || читают так: «вероятность события A равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу исходов». Полезно сравнить это определение с классической формулировкой Якоба Бернулли1: «Вероятность есть степень достоверности и отличается от неё как часть от целого» (Ars Conjectandi, 1713 г.) Мы видим, что вычисление вероятности в классической схеме сводится к подсчёту общего числа «шансов» и числа шансов, благоприятствующих событию. Число шансов считают с помощью формул комбинаторики.

Рассмотрим урновые схемы из параграфа 1. Будем исходить из предположения о том, что появление любого шара равновозможно. Тогда три схемы: с возвращением и с учётом порядка, без возвращения и с учётом порядка, а также без возвращения и без учёта порядка, удовлетворяют классическому определению вероятности. Общее число элементарных исходов в этих схемах подсчитано в теоремах 4, 2, 3 и равно соответственно nk, Ak, n k Cn. Четвёртая же схема — схема выбора с возвращением и без учёта порядка — имеет заведомо н е р а в н о в о з м о ж н ы е исходы.

Пример 5. Рассмотрим выбор двух шариков из двух или, что то же самое, дважды подбросим монету. Если учитывать порядок, то исходов получится четыре, и все они равновозможны, т. е. имеют вероятность по 1/4:

(г е р б, г е р б), (р е ш к а, р е ш к а), (р е ш к а, г е р б), (г е р б, р е ш к а).

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же результатом эксперимента, и получить не четыре, а три исхода:

(д в а г е р б а), (д в е р е ш к и), (о д и н г е р б и о д н а р е ш к а).

Первые два исхода имеют вероятности по 1/4, а последний — вероятность 1/4 + 1/4 = 1/2.

Упражнение. Посчитать число элементарных исходов в примере 2. Каким станет пространство элементарных исходов, если порядок костей не учитывать Посчитать число элементарных исходов в таком пространстве (пользуясь теоремой или прямым подсчётом). Убедиться, что их ровно C7 = 21. Равновозможны ли эти исходы Посчитать вероятность каждого.

Jacob Bernoulli (27.12.1654 — 16.08.1705, Basel, Switzerland) 16 ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема Гипергеометрическое распределение.

Пример 6. Из урны, в которой K белых и N-K чёрных шаров, наудачу и без возвращения вынимают n шаров, n N. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из n шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано k белых и n - k чёрных шаров.

Р е ш е н и е. При k > K или n - k > N - K искомая вероятность равна нулю, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k K и n - k N - K.

Результатом эксперимента является набор из n шаров. Можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров. Вероятность не должна зависеть от способа подсчёта.

Выбор без учёта порядка. Общее число элементарных исходов есть число n-элементных подмножеств множества, состоящего из N элементов:

n || = CN по теореме 3.

Обозначим через Ak событие, вероятность которого требуется найти.

Событию Ak благоприятствует появление любого набора, содержащего k белых шаров и n - k чёрных. Число благоприятных исходов равно произведению (по теореме 1) числа способов выбрать k белых шаров из K и числа n-k k способов выбрать n - k чёрных шаров из N - K, т. е. |Ak| = CK · CN-K.

Вероятность события Ak равна n-k k CKCN-K P(A) =. (1) n CN Выбор с учётом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить N элементов на n местах. По теореме || = An = N(N - 1) ·... · (N - n + 1).

N При подсчёте числа благоприятных исходов нужно учесть число способов выбрать k белых и n - k чёрных шаров и число способов расположить эти шары среди n. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k k мест среди n, равное Cn, затем число способов разместить на этих k местах K белых шаров, равное Ak, и затем число способов разместить на оставK шихся n - k местах N - K чёрных шаров, равное An-k. Перемножив (поN-K чему) эти числа, получим n-k k k CnAk An-k CKCN-K K N-K k |Ak| = Cn · Ak · An-k, P(Ak) = =.

K N-K n An CN N В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k белых и n - k чёрных шаров вероятность P(Ak) получить этот набор при выборе n шаров из урны, содержащей K белых и N - K чёрных шаров.

ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема Определение 8. Соответствие между числом k и вероятностью n-k k CKCN-K P(Ak) =, n CN где k таково, что 0 k n, k K и n - k N - K, называется г и п е р г е о м е т р и ч е с к и м р а с п р е д е л е н и е м.

Здесь мы в первый, но далеко не в последний раз встретились с термином «распределение» вероятностей. Это слово всегда обозначает некий способ разделить (распределить) общую единичную вероятность между какими-то точками или множествами на вещественной прямой.

В гипергеометрическом распределении единичная вероятность распределена между подходящими целыми числами k неравномерно. Каждому целому числу k сопоставлена своя вероятность P(Ak). На вещественной прямой можно единичную вероятность распределить по-разному. Этим одно распределение отличается от другого: тем, на каком множестве чисел «распределена» общая единичная вероятность, и тем, какие веса, или вероятности, присвоены отдельным точкам или частям этого множества.

Упражнение. Понять последний абзац.

Задание вероятностей на дискретном пространстве. Если пространство элементарных исходов счётно, но не конечно, нельзя всем элементарным исходам присвоить одинаковые вероятности (почему). Приведём примеры того, какими могут быть вероятности на таком пространстве.

Пример 7. Пусть = N. Зададим вероятность элементарного исхода i N так: pi = 1/2i. Проверим, что набор таких вероятностей удовлетворяет определению 6. По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1/2 и знаменателем 1/2 < 1 имеем:

1 1/pi = = = 1.

2i 1 - 1/iN i=Пример 8. На том же самом множестве = N зададим вероятности так: p1 =... = p100 = 0,01, pi = 0 для i > 100.

Пример 9. На том же = N положим p1 = 0,3, p1372 = 0,7, остальные pi равны нулю. Читатель легко найдёт вероятность события A = = {1000, 1001,..., 1500}.

7i Пример 10. Пусть теперь = N {0}. Положим pi = e-7 для i = i! = 0, 1, 2,... Проверим, равна ли единице сумма вероятностей всех элементарных исходов. Собрав разложенную в ряд Тейлора экспоненту, получим:

7i pi = e-7 = e-7e7 = 1.

i! i i=Г Л А В А Геометрическая вероятность Пусть будет поставлен следующий вопрос: если кто-нибудь стреляет наудачу, то какова вероятность, чтобы центр пули на пути своём прошел точно через центр того яблока, которое висит на этом дереве. Каждый должен признать, что многообразие всех возможных здесь случаев, отвечающих подобной... вероятности, будет бесконечно, откуда следует, что степень этой вероятности имеет величину, которая равна 1/.

Б. Больцано, Парадоксы бесконечного § 1. Определения и примеры Рассмотрим какую-нибудь область в Rm (на прямой, на плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» (длина, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в эту область точку. Термин «наудачу» означает, что вероятность попадания точки в любую часть A A не зависит от формы или расположения A внутри.

Определение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы м о ж н о изобразить точками некоторой области в Rm так, что вероятность попадания точки в лю бую часть A не зависит от формы или расположения A внутри, а зависит лишь от меры области A и пропорциональна этой мере:

µ(A) P(A) =, µ() где µ(A) обозначает меру области A (длину, площадь, объем и т.д.).

Если для точки, брошенной в область, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка р а в н о м е р н о р а с п р е д е л е н а в области.

Пример 11. Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. Вероятность ей попасть в точку 0,5 равна нулю, так как равна нулю мера множества, состоГЛАВА 2. Геометрическая вероятность ящего из одной точки («длина точки»). Но попадание в точку 0,5 не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента. Общее число элементарных исходов здесь бесконечно, но все они по-прежнему «равновозможны» — уже не в смысле классического определения вероятности, применить которое здесь нельзя из-за бесконечности числа исходов, а в смысле определения 9.

Задача о встрече.

Пример 12. Два лица X и Y условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого Р е ш е н и е. Будем считать интервал с 14 до 15 часов отрезком [0, 1] длиной в 1 час. Пусть («кси») и («эта») — моменты прихода X и Y — точки отрезка [0, 1]. Пространством элементарных исходов будет квадрат со стороной 1: = {(, ) | 0 1, 0 1} = [0, 1][0, 1]. Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества A:

A = {(, ) | | - | 1/6} (10 минут = 1/6 часа). Попадание в множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна µ(A) 1 - (5/6)2 1/ P(A) = = =.

µ() 1 Задача Бюффона2.

Пример 13. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2a. Какова вероятность того, что игла пересечёт какую-нибудь прямую Р е ш е н и е. Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла».

Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причём две эти переменные (полоGeorges Louis Leclerc Comte de Buffon (7.09.1707 — 16.04.1788, France) 20 ГЛАВА 2. Геометрическая вероятность жение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

Обозначим через x [0, a] расстояние от се редины иглы до ближайшей прямой, а через l [0, ] — угол между каким-то направлением 2a прямых и иглой. Множество возможных положе- l x ний иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника = [0, ] [0, a].

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x l sin. Площадь области x A, точки которой удовлетворяют та a кому неравенству, равна x = l · sin µ(A) = l · sin d = -l · cos = 2l.

Поделим на µ() = a и получим, что ис комая вероятность равна P(A) = 2l / a.

§ 2. Существование неизмеримых множеств Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.

Замечание 5. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому опре делению вероятности, далеко не для всех множеств A вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере. Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, т. е. множеств, мера которых не существует. Не путать с точкой — множеством нулевой меры! Пример 14 (м н о ж е с т в о В и т а л и3). В этом примере мы построим множество на отрезке, «длина» которого не существует. Нам понадобятся лишь следующие очевидные свойства «длины» множества: длина множества остается неизменной при сдвиге всех точек этого множества; длина множества, составленного из счётного объединения попарно непересекающихся множеств, равняется сумме длин этих множеств.

Рассмотрим окружность единичного радиуса (то же, что отрезок [0, 2]).

Возьмём любое иррациональное число. Поскольку оно иррационально, число n не является целым ни при каком целом n = 0 (т. е. число 2n равно 2k лишь при n = k = 0).

Поэтому если взять произвольную точку x [0, 2] на окружности и перечислить все точки, которые получаются поворотом точки x на угол 2n, n = ±1, ±2,..., то мы ни разу не вернёмся в точку x. Точек, получившихся из точки x такими поворотами, счётное число. Объединим их в один класс Giuseppe Vitali (26.08.1875 — 29.02.1932, Italy) ГЛАВА 2. Геометрическая вероятность точек. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из неё поворотами на 2n при целых n. Таким образом, вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счётное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Разные классы не пересекаются. Заметим, что таких классов несчётное число, т. к. объединением счётного числа счётных множеств нельзя получить несчётное число точек окружности.

Искомое множество A0 определим так: возьмём из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество An получается поворотом всех точек множества A0 на угол 2n, n = ±1, ±2,....

Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол 2n, n = ±1, ±2,..., а в множестве A0 собрано по одной точке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точки окружности.

Очевидно, что An = [0, 2]. Предположим, что «длина» l(A0) мноn=жества A0 существует. Тогда все множества An имеют ту же длину, так как получены из A0 поворотом. И так как все эти множества не пересекаются, то «длина» их объединения равна сумме их длин:

, если l(A0) > 0, 2 = l An = l(An) = l(A0) = 0, если l(A0) = 0.

n=- n=- n=Полученное противоречие означает, что длина множества A0 просто н е с у щ е с т в у е т.

Итак, мы построили множество на отрезке, длина которого не существует (неизмеримое множество). Пользуясь геометрическим определением вероятности, мы не можем определить вероятность попадания точки в такое неизмеримое множество. А если не для всех подмножеств мы можем определить вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, вероятность которых определена.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.