WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |

(Ф3). Характеристическая функция случайной величины a + b связана с характеристической функцией случайной величины равенством:

a+b(t) = E eit(a+b) = eitaE ei(tb) = eita (tb).

Пример 72. Вычислим характеристическую функцию случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами a и 2. Мы знаем, что у «стандартизованной» случайной величины = ( -a)/ характеристическая функция равна (t) = e-t /2. Тогда характеристическая функция величины = a + равна (t) = a+(t) = eita (t) = eita e-(t) /2.

ГЛАВА 13. Характеристические функции (Ф4). Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: если случайные величины и независимы, то, по свойству (E7) математических ожиданий, +(t) = E eit(+) = E eit E eit = (t) (t).

Замечание 30. Чтобы характеристическая функция суммы n случайных величин распадалась в произведение их характеристических функций, попарной независимости слагаемых не хватит. То же самое можно сказать про свойство (E7) математических ожиданий.

Замечательным свойством (Ф4) мы сразу же воспользуемся, как обещали, для доказательства леммы 5, утверждающей устойчивость нормального распределения относительно суммирования.

= = Доказательство л е м м ы 5. Пусть Na, 2 и Na, 2 независи1 1 мы. Характеристическая функция суммы + равна ita1 -t22 / 2 ita2 -t22 / 2 it(a1+a2) -t2(2+2)/1 2 1 +(t) = (t) (t) = e e e e = e e.

Видим, что характеристическая функция суммы есть характеристическая функция нормального распределения с параметрами a1 +a2 и 2 + 2. Сле1 = довательно, + Na +a2, 2+2 по свойству (Ф2).

1 Доказательство л е м м 3, 4, 7. Докажем свойства устойчивости по суммированию биномиального распределения, распределения Пуассона и гамма-распределения, используя характеристические функции из примеров 66— 70.

Для независимых случайных величин с распределениями Пуассона и µ характеристическая функция суммы +(t) = exp eit - 1 exp µ eit - 1 = exp ( + µ) eit - равна характеристической функции распределения Пуассона +µ.

Для независимых случайных величин с биномиальными распределениями Bn,p и Bm,p характеристическая функция суммы n m n+m +(t) = (t) (t) = 1 - p + peit 1 - p + peit = 1 - p + peit равна характеристической функции биномиального распределения с параметрами n + m и p.

Для n независимых (в совокупности) случайных величин с показательным распределением E характеристическая функция суммы n n it -n 1+...+n(t) = 1(t) = = 1 - it равна характеристической функции гамма-распределения, n.

124 ГЛАВА 13. Характеристические функции (Ф5.) Пусть существует момент порядка k N случайной величины, т. е. E ||k <. Тогда характеристическая функция (t) непрерывно дифференцируема k раз, и её k-я производная в н у л е связана с моментом порядка k равенством:

dk (k) (0) = E eit = E ik k eit = ik E k.

d tk t=t=Существование и непрерывность k-й производной, равно как и законность переноса производной под знак математического ожидания мы доказывать не будем.

Упражнение. Доказать, что для случайной величины со стандартным нормальным распределением момент чётного порядка 2k равен E 2k = (2k - 1)!! = (2k - 1) · (2k - 3) ·... · 3 · 1.

Доказать по определению, что все моменты нечётных порядков стандартного нормального распределения существуют и равны нулю.

Как только появились производные высших порядков, самое время разложить функцию в ряд Тейлора24.

(Ф6). Пусть существует момент порядка k N случайной величины, т. е. E ||k <. Тогда характеристическая функция (t) в окрестности точки t = 0 разлагается в ряд Тейлора k k tj (j) ijtj (t) = (0) + (0) + o(|tk|) = 1 + E j + o(|tk|) = j! j! j=1 j=t2 iktk = 1 + it E - E 2 +... + E k + o(|tk|).

2 k! Ряды Тейлора бывают особенно полезны в теории пределов. Следующее основное свойство характеристических функций потребуется нам для доказательства предельных теорем, и это свойство — последняя теорема, оставленная нами без доказательства.

Теорема 41 (т е о р е м а о н е п р е р ы в н о м с о о т в е т с т в и и25).

Случайные величины n слабо сходятся к случайной величине тогда и только тогда, когда для любого t характеристические функции n(t) сходятся к характеристической функции (t).

Сформулированная теорема устанавливает непрерывное соответствие между классами F, функций распределения со слабой сходимостью и, характеристических функций со сходимостью в каждой точке.

Brook Taylor (18.08.1685 — 29.12.1731, England) Paul Pierre Levy (15.09.1886 — 15.12.1971, France) ГЛАВА 13. Характеристические функции «Непрерывность» этого соответствия — в том, что пределу в одном классе относительно заданной в этом классе сходимости соответствует предел в другом классе относительно сходимости, заданной в этом другом классе.

Осталось воспользоваться теоремой о непрерывном соответствии и доказать ЗБЧ в форме Хинчина и ЦПТ.

§ 3. Доказательство ЗБЧ Хинчина Пусть 1, 2,... — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечным п е р в ы м моментом E |1| <. Обозначим через a математическое ожидание E 1. Требуется доказать, что Sn 1 + · · · + n p = - a.

n n По свойству 20 сходимость по вероятности к п о с т о я н н о й эквивалентна слабой сходимости. Так как a — постоянная, достаточно доказать слабую сходимость Sn/n к a. По теореме о непрерывном соответствии, эта сходимость имеет место тогда и только тогда, когда для любого t R сходятся характеристические функции Sn/n(t) a(t) = E eita = eita.

Найдём характеристическую функцию случайной величины Sn/n. Пользуясь свойствами (Ф3) и (Ф4), получим n t t Sn/n(t) = Sn = 1.

n n Вспомним, что первый момент 1 существует, поэтому свойство (Ф6) позволяет разложить 1(t) в ряд Тейлора в окрестности нуля:

1(t) = 1 + it E 1 + o(|t|) = 1 + ita + o(|t|).

В точке t/n, соответственно,, t ita t 1 = 1 + + o n n n n ita t n t.

Sn/n(t) = 1 = 1 + + o n n n n x При n, пользуясь «замечательным пределом» 1 + ex, полуn чим n ita t Sn/n(t) = 1 + + o eita, n n что и требовалось доказать.

126 ГЛАВА 13. Характеристические функции § 4. Доказательство центральной предельной теоремы Пусть 1, 2,... — последовательность независимых в совокупности и одинаково распределённых случайных величин с конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через a математическое ожидание E 1 и через 2 — дисперсию D 1. Требуется доказать, что Sn - na 1 +... + n - na = N0,1.

n n Введём «стандартизованные» случайные величины i = (i - a)/ — независимые случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и единичными дисперсиями (проверить). Пусть Zn есть их Zn = сумма = 1 + · · · + n = (Sn - na)/. Требуется доказать, что Zn/ n N0,1.

Характеристическая функция величины Zn/ n равна n t t (t) = Zn = 1. (28) Zn / n n n Характеристическую функцию случайной величины 1 можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные моменты E 1 = 0, E 2 = D 1 = 1. Получим t2 t1(t) = 1 + it E 1 - E 2 + o(t2) = 1 - + o(t2).

2 Подставим это разложение, взятое в точке t/ n, в равенство (28) и устремим n к бесконечности. Ещё раз воспользуемся замечательным пределом.

n t2 t n t (t) = 1 = 1 - + o e-t /2 при n.

Zn / n n 2n n В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального распределения. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой сходимости Z Sn - na n N0,1.

= n n Попробуйте теперь сами:

Упражнение. Пусть при любом > 0 случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром. Используя теорему о непрерывном соответствии, доказать, что случайные величины ( - )/ слабо сходятся к стандартному нормальному распределению при. Характеристическая функция случайной величины вычислена в примере 68.

Приложение В этом разделе, который никогда не будет прочитан на лекциях, поскольку эта тема подробно разбирается на практических занятиях, мы поговорим о максимуме и минимуме из n случайных величин. Вдумчивый читатель уже догадался, что ничего общего с клубом «Максимин» ЭФ НГУ эта тема не имеет. Нам необходимо уметь обращаться с минимумом и максимумом из нескольких случайных величин хотя бы потому, что при изучении математической статистики мы не раз о них вспомним.

Пусть случайные величины 1, 2,... независимы в совокупности и одинаково распределены, F (x) — их общая функция распределения.

О п р е д е л е н и е № N. Случайную величину n = max{1,..., n} назовём максимумом, а случайную величину n = min{1,..., n} — минимумом из n случайных величин 1,..., n.

З а м е ч а н и е № N. Заметим, что n() = max{1(),..., n()}, т. е. n на каждом элементарном исходе совпадает с одной из i, 1 i n, но ни с одной из них не совпадает при всех (если величины независимы).

У п р а ж н е н и е № N. Доказать, что вероятность максимуму из первых n независимых и одинаково распределённых случайных величин, имеющих абсолютно непрерывное распределение, равняться первой из них, равно как и любой другой, есть 1/n:

P(max{1,..., n} = 1) = = P(1 > 2,..., 1 > n).

n Для доказательства воспользоваться соображениями симметрии, разбив пространство на несколько равновероятных событий вида {1 > 2,..., 1 > n} и несколько событий нулевой вероятности, включающих возможные равенства.

Вспомнить, с какой вероятностью две (или больше) из 1,..., n совпадают (нарисовать событие {1 = 2} на плоскости).

Т е о р е м а № N. Функции распределения случайных величин n = max{1,..., n} и n = min{1,..., n} равны соответственно n n F (x) = F (x) и F (x) = 1 - 1 - F (x).

n 1 n Доказательство. Найдём функцию распределения F (x). Максимум n из n величин меньше x тогда и только тогда, когда каждая из этих величин меньше x. Поэтому событие {n < x} равносильно пересечению n неза128 ПРИЛОЖЕНИЕ висимых событий {1 < x},..., {n < x}, имеющих одну и ту же вероятность F (x):

F (x) = P max{1,..., n} < x = P 1 < x,..., n < x = n n n = P 1 < x ·... · P n < x = P 1 < x = F (x).

Найдём функцию распределения F (x). Минимум из n величин не n меньше x тогда и только тогда, когда каждая из этих величин не меньше x:

F (x) = P min{1,..., n} < x = 1 - P min{1,..., n} x = n = 1 - P 1 x,..., n x = 1 - P 1 x ·... · P n x = n n = 1 - P 1 x = 1 - 1 - F (x).

П р и м е р № N. Пусть случайные величины 1, 2,... независимы в совокупности и имеют равномерное распределение на отрезке [0, 1].

Докажем, что последовательность случайных величин 1 = 1, 2 = = max{1, 2}, 3 = max{1, 2, 3},... сходится по вероятности к правому концу отрезка — к единице. Можно произнести это утверждение так:

«максимум из первых n случайных величин с ростом n сходится к единице по вероятности». Есть как минимум два способа доказательства.

Способ 1. По определению. Зафиксируем произвольное число > 0.

Заметим, что n 1, поскольку это максимум из случайных величин, принимающих значения на отрезке [0, 1] п. н. Поэтому P |n - 1| = P 1 - n.

Для того, чтобы установить сходимость последней вероятности к нулю, можно её либо найти, либо оценить с помощью неравенства Маркова. Сделаем и то, и другое.

(А) Найдём эту вероятность.

P 1 - n = P n 1 - = F (1 - ).

n Для равномерного распределения на отрезке [0, 1] x < 0, 0, x < 0, n 0, F (x) = x, 0 x 1, F (x) = F (x) = xn, 0 x 1, 1 n 1, x > 1; 1, x > 1.

А если ещё заметить, что 1 - < 1, то 0, 1 - < 0, т. е. > 1, F (1 - ) = n (1 - )n, 0 1 - < 1, т. е. 0 < 1.

Видно, что P |n - 1| = F (1 - ) 0 при n.

n ПРИЛОЖЕНИЕ (Б) Оценим вероятность сверху. Поскольку 1 - n 0 п. н. и > 0, то по неравенству Маркова E (1 - n) 1 - E n P 1 - n =. (29) Найдём плотность распределения n и математическое ожидание E n:

x < 0;

0, f (x) = F (x) = nxn-1, 0 x n n 0, x > 1;

n E n = x nxn-1 dx =.

n + Подставляя математическое ожидание в неравенство (29), получим n 1 1 - E n n + P 1 - n = = 0 при n.

(n + 1) Способ 2. Используем связь со слабой сходимостью. Сходимость по вероятности к п о с т о я н н о й равносильна слабой сходимости (свойство 20). Докажем, что n слабо сходится к единице. Требуется доказать, что функция распределения F (x) сходится к F1(x) = P(1 < x) для любоn го x = 1 (почему кроме 1).

При любом x < 0 имеем: F (x) = 0 F1(x) = 0 при n. При n любом 0 x < 1 имеем: F (x) = xn F1(x) = 0 при n. При любом n x > 1 имеем: F (x) = 1 F1(x) = 1. И только при x = 1 сходимости нет:

n F (1) = 1, тогда как F1(1) = 0. Но сходимости в точке x = 1 и не требуетn ся — в этой точке предельная функция распределения терпит разрыв:

0, x 1;

F1(x) = 1, x > 1;

Таким образом, n слабо сходится к единице, и, следовательно, сходится к ней же по вероятности.

У п р а ж н е н и е № N + 1. Доказать (способами (1А), (1Б) и (2), что, в условиях примера (N), последовательность 1, 2, 3,... сходится по вероятности к нулю (мы будем говорить «минимум из первых n случайных величин с ростом n сходится к нулю по вероятности»).

Красивых задач, связанных с максимумом и минимумом, слишком много. Предлагаю вам решить, например, следующие:

130 ПРИЛОЖЕНИЕ Пусть случайные величины 1, 2,... независимы в совокупности и имеют равномерное распределение на отрезке [a, b], n = max{1,..., n}, n = min{1,..., n}. Доказать, что:

1) последовательность n(b - n)/(b - a) при n слабо сходится к показательному распределению с параметром 1;

2) точно так же себя ведёт последовательность n(n - a)/(b - a);

3) это не удивительно, поскольку случайные величины b - n и n - a одинаково распределены;

n 4) посчитав вероятность P(n x, n < y) = P(x 1 < y), можно легко найти функцию совместного распределения случайных величин n, n, и с её помощью, например, доказать зависимость этих величин.

Зависимость, впрочем, и так очевидна, достаточно рассмотреть пустое пересечение двух событий {n < (a + b)/2} и {n > (a + b)/2}, вероятность которых положительна.

Простые и непростые задачи 1. Построить какую-нибудь вероятность на множестве натуральных чисел как на дискретном пространстве элементарных исходов.

2. Вероятность события A равна нулю. Верно ли, что тогда A — невозможное событие 3. Являются ли события «выпал герб при первом броске монеты» и «выпал герб при втором броске монеты» несовместными 4. Пусть = {1, 2, 3, 4}. Является ли алгеброй набор множеств, {1, 2, 3, 4}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {2} 5. Задать какую-нибудь алгебру на множестве = {0, 1,..., 10}.

6. Пусть = {1, 2}. На множестве 2 задана функция: µ{1, 2} = = 3, µ{1} = 1, µ{2} = 1. Является ли µ мерой 7. Задать какую-нибудь вероятностную меру на множестве всех подмножеств множества = {0, 1,..., 10}.

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.