WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 18 |

a a ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин Сделаем замену переменной в последнем интеграле. Переменную t заменим на новую переменную y так: t = (y - b) / a. Тогда dt = dy / a, верхняя граница области интегрирования t = (x - b) / a перейдёт в y = x, нижняя t = - перейдёт в y = -. Получим x y 1 - b F(x) = f dy.

a a Функция под интегралом — плотность распределения f(y) случайной величины = a + b при a > 0.

Пусть теперь a < 0.

+ x - b F(x) = P(a + b < x) = P > = f(t) dt.

a (x-b)/a Сделаем ту же замену переменной t = (y - b) / a, y = at + b. Но теперь граница интегрирования t = + перейдёт в y = -, поскольку a < 0.

Получим - x y y 1 - b 1 - b F(x) = f dy = f dy.

a a |a| a x Функция под интегралом и есть плотность распределения f(y) случайной величины = a + b при a < 0.

Для произвольной монотонной функции g справедливо утверждение:

Теорема 24. Пусть имеет плотность распределения f(x), и функция g : R R монотонна. Тогда случайная величина = g() имеет плотность распределения f(x) = g-1(x) f g-1(x).

Здесь g-1 — функция, обратная к g, и g-1(x) — её производная.

Упражнение. Доказать теорему 24.

Из теоремы 23 следуют уже знакомые нам утверждения:

= = Следствие 4. Если N0,1, то = + a Na,2.

Доказательство. Действительно, x (x-a)1 - a.

f(x) = f = e- = = Следствие 5. Если Na,2, то ( - a) / N0,1.

= = Следствие 6. Если U0, 1, то a + b Ub, a+b при a > 0.

= = Следствие 7. Если E, то E1.

68 ГЛАВА 7. Преобразования случайных величин Квантильное преобразование.

Теорема 25. Пусть функция распределения F(x) = F(x) непрерывна. Тогда случайная величина = F() имеет равномерное на отрезке [0, 1] распределение.

Доказательство. Найдём функцию распределения случайной величины. Заметим, что всегда 0 1. Предположим сначала, что функция F всюду возрастает. Тогда она обратима, и поэтому если x 0, 0, F(x) = P(F() < x) = P( < F-1(x)), если x (0, 1), (15) 1, если x 1.

= Но P( < F-1(x)) = F F-1(x) = x, т. е. U0,1.

Если функция F не является всюду возрастающей, то у неё есть участки постоянства. В этом случае просто обозначим через F-1(x) самую левую точку из замкнутого множества {t | F(t) = x} прообразов точки x (0, 1).

При таком понимании «обратной» функции равенства (15) остаются спра ведливыми вместе с равенством P( < F-1(x)) = F F-1(x) = x для любого x (0, 1).

Теорему 25 можно использовать для построения случайных величин с заданным распределением по равномерно распределённой случайной величине (например, по результату датчика случайных чисел). Следующее утверждение верно не только для непрерывных, но для любых функций распределения F. Обозначим через F-1(x) точную нижнюю грань множества тех t, для которых F(t) x:

F-1(x) = inf{t | F(t) x}.

Для непрерывной функции F это определение «обратной функции» совпадает с введённым в доказательстве теоремы 25.

= Теорема 26. Пусть U0,1, а F — произвольная функция распределения. Тогда случайная величина = F-1( ) («квантильное преобразование» над ) имеет функцию распределения F.

= Следствие 8. Пусть U0, 1. Верны соотношения:

= = = - ln(1 - ) E, a + tg( - /2) Ca,, -1() N0,1.

0, Упражнение. Доказать теорему 26 и следствие 8, а также продолжить список соотношений. Как получить случайную величину с распределением Парето А с нормальным распределением (Указание: так её никто не получает).

Г Л А В А Многомерные распределения Не следует множить сущности сверх необходимости.

Принцип «бритва У. Оккама» § 1. Совместное распределение Пусть случайные величины 1,..., n заданы на одном вероятностном пространстве, F, P.

Определение 34. Функция F,..., n(x1,..., xn) = P(1 < x1,..., n < xn) называется функцией распределения вектора (1,..., n) или функцией с о в м е с т н о г о распределения случайных величин 1,..., n.

Перечислим свойства функции совместного распределения. Для простоты обозначений ограничимся вектором (1, 2) из двух величин.

(F0) Для любых x1, x2 верно неравенство: 0 F, 2(x1, x2) 1.

(F1) F, 2(x1, x2) не убывает по каждой координате вектора (x1, x2).

(F2) Для любого i = 1, 2 существует lim F, 2(x1, x2) = 0. Сущеxiствует двойной предел lim lim F, 2(x1, x2) = 1.

x1+ x2+ (F3) Функция F, 2(x1, x2) по каждой координате вектора (x1, x2) непрерывна слева.

(F4) Чтобы по функции совместного распределения восстановить функции распределения 1 и 2 в отдельности, следует устремить мешающую переменную к +:

lim F, 2(x1, x2) = F (x2), lim F, 2(x1, x2) = F (x1). (16) 1 2 1 x1+ x2+ Доказательство всех этих свойств совершенно аналогично одномерному случаю. Но теперь свойств (F0)—(F3) не хватает для описания класса функций совместного распределения. Т. е. выполнение этих свойств для некоторой функции F : R2 R не гарантирует, что эта функция является функцией распределения некоторого случайного вектора.

70 ГЛАВА 8. Многомерные распределения Упражнение. Доказать, что функция 0, если x1 0 или x2 0 или x1 + x2 1;

F (x1, x2) = 1, если одновременно x1 > 0, x2 > 0, x1 + x2 > 1.

удовлетворяет всем свойствам (F0)—(F3), но не является функцией распределения никакого вектора (1, 2) хотя бы потому, что, найдись такой вектор, найдётся и прямоугольник [a1, b1) [a2, b2), «вероятность» попасть в который (вычисленная с помощью этой «функции распределения») отрицательна:

P(a1 1 < b1, a2 2 < b2) < 0.

Легко доказать (убедиться, что легко), что для любых a1 < b1, a2 < bсправедливо равенство: P(a1 1 < b1, a2 2 < b2) = F, 2(b1, b2) + + F, 2(a1, a2) - F, 2(a1, b2) - F, 2(b1, a2).

1 1 Дополнительно к свойствам (F0)—(F3) от функции F требуют неотрицательности этого выражения (при любых a1 < b1, a2 < b2).

§ 2. Типы многомерных распределений Ограничимся рассмотрением двух типичных случаев: когда с о в м е с т н о е распределение координат случайного вектора (1, 2) либо дискретно, либо абсолютно непрерывно. Заметим, что сингулярные совместные распределения тоже не являются редкостью, в отличие от одномерного случая: стоит бросить точку наудачу на отрезок на плоскости, и мы получим сингулярное совместное распределение (доказать).

Дискретное совместное распределение.

Определение 35. Говорят, что случайные величины 1, 2 имеют дискретное совместное распределение, если существует конечный или счётный набор {ai, bj} такой, что P(1 = ai, 2 = bj) = 1.

i=1 j=Таблицу, на пересечении i-й строки и j-го столбца которой стоит вероятность P(1 = ai, 2 = bj), называют таблицей совместного распределения случайных величин 1 и 2.

Таблицы распределения каждой из случайных величин 1, 2 в отдельности (таблицы частных, или м а р г и н а л ь н ы х распределений) восстанавливаются по таблице совместного распределения с помощью формул:

P(1 = ai) = P(1 = ai, 2 = bj), P(2 = bj) = P(1 = ai, 2 = bj).

j=1 i=Так, первое равенство следует из того, что набор {2 = b1}, {2 = b2},...

есть полная группа событий, и поэтому событие {1 = ai} раскладывается ГЛАВА 8. Многомерные распределения в объединение попарно несовместных событий:

{1 = ai} = {1 = ai, 2 = bj}.

j=Абсолютно непрерывное совместное распределение.

Определение 36. Говорят, что случайные величины 1, 2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, если существует неотрицательная функция f, 2(x1, x2) такая, что для любого множества B B(R2) имеет место равенство P((1, 2) B) = f, 2(s1, s2) ds1 ds2.

B Если такая функция f, 2(x1, x2) существует, она называется плотностью совместного распределения случайных величин 1, 2.

Достаточно, если двойной интеграл по множе- ству B читатель будет понимать как объём обx ласти под графиком функции f, 2(x1, x2) над множеством B в плоскости переменных (x1, x2), x1 B как показано на рисунке справа.

Если случайные величины 1, 2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение, то для любых x1, x2 имеет место равенство:

x1 x F, 2(x1, x2) = P(1 < x1, 2 < x2) = f, 2(s1, s2) ds2 ds1.

1 - Плотность совместного распределения обладает такими же свойствами, как и плотность распределения одной случайной величины:

(f1) Неотрицательность: f, 2(x1, x2) 0 для любых x1, x2 R;

(f2) Нормированность: f, 2(x1, x2) dx1 dx2 = 1.

RСправедливо и обратное: любая функция, обладающая этими свойствами, является плотностью некоторого совместного распределения. Доказательство этого факта ничем не отличается от одномерного случая.

По функции совместного распределения его плотность находится как смешанная частная производная:

(f3) f, 2(x1, x2) = F (x1, x2) для почти всех (x1, x2).

1 x1x2, Из существования плотностей 1 и 2 не следует абсолютная непрерывность совместного распределения этих случайных величин. Например, век72 ГЛАВА 8. Многомерные распределения тор (, ) принимает значения только на диагонали в R2 и уже поэтому не имеет плотности совместного распределения (его совместное распределение сингулярно). Обратное же свойство, как показывает следующая теорема, всегда верно: если совместное распределение абсолютно непрерывно, то и частные распределения тоже таковы.

Теорема 27. Если случайные величины 1 и 2 имеют абсолютно непрерывное совместное распределение с плотностью f(x1, x2), то 1 и 2 в отдельности также имеют абсолютно непрерывное распределение с плотностями:

f (s1) = f(s1, s2) ds2; f (s2) = f(s1, s2) ds1.

1 - Для n > 2 плотности случайных величин 1,..., n по плотности их совместного распределения f(x1,..., xn) находятся интегрированием функции f по всем «лишним» координатам.

Доказательство. Например, в силу равенств (16), x1 x F (x1) = lim F, 2(x1, x2) = f(s1, s2) ds2ds1 = f (s1) ds1.

1 1 x2+ - - Аналогично устанавливается и справедливость второго равенства.

§ 3. Примеры многомерных распределений Приведём два наиболее употребительных примера абсолютно непрерывных многомерных распределений.

Равномерное распределение. Пусть S Rn — борелевское множество с конечной лебеговой мерой (S). Говорят, что вектор (1,..., n) имеет равномерное распределение в области S, если плотность совместного распределения f,..., n(x1,..., xn) постоянна в области S и равна нулю вне этой области:

, если (x1,..., xn) S, (S) f,...,n(x1,..., xn) = (17) 0, если (x1,..., xn) S.

Убедимся, что эта функция является плотностью распределения:

1 f,..., n(x1,..., xn) dx1... dxn = dx1... dxn = (S) = 1.

(S) (S) Rn S Как и в одномерном случае, вектор (1,..., n) с равномерным распределением в области S есть просто вектор координат точки, брошенной наудачу в область S.

ГЛАВА 8. Многомерные распределения Многомерное нормальное распределение. Пусть > 0 — положительно определённая симметричная матрица (nn), матрица -1 — обратная к, и Rn — n-мерный вектор-столбец. Транспонированный вектор a мы будем обозначать так: T = (a1,..., an).

a Говорят, что вектор (1,..., n) имеет многомерное нормальное распределение N с вектором средних и матрицей ковариаций, если плотa a, ность совместного распределения f,..., n(x1,..., xn) равна 1 f ( = n - ( - · -1 · ( -.

x) exp x a)T x a) det Мы не будем проверять, что эта функция является плотностью совместного распределения, поскольку для этого требуется умение заменять переменные в многомерном интеграле. Выражение ( - -1( - в показателе x a)T x a) экспоненты является квадратичной формой от переменных (xi - ai): действительно, для матрицы B = -1 с элементами bij n n ( - x - = bij(xi - ai)(xj - aj).

x a)TB( a) i=1 j=Подробно с многомерным нормальным распределением мы познакомимся в курсе математической статистики, и там же выясним, что означают слова «с вектором средних и матрицей ковариаций ».

a В частном случае, когда — диагональная матрица с элементами 2,..., 2 на диагонали, совместная плотность превращается в произве1 n дение плотностей нормальных случайных величин:

n 1 1 f ( = n - (xi - ai)2 = x) exp 2 1... n i i=(x-a)2 (x-a)1 - 1 22 1 n = e ·... · e.

1 2 n Скоро мы увидим, что это равенство означает независимость случайных величин 1,..., n.

§ 4. Роль совместного распределения Если нам известно совместное распределение двух или нескольких случайных величин, становится возможным отыскать распределение суммы, разности, произведения, частного, иных функций от этих случайных величин. Заметим (но не будем доказывать), что применение к набору случайных величин многих привычных нам функций не выводит нас из класса случайных величин. Интересующийся читатель может попробовать доказать, например, что сумма двух случайных величин есть снова случайная величина.

74 ГЛАВА 8. Многомерные распределения Следующие два простых примера показывают, что знания только частных распределений двух случайных величин недостаточно для отыскания распределения, например, суммы этих величин. Для этого необходимо знать их совместное распределение. Распределение суммы (и любой иной функции) н е о п р е д е л я е т с я, вообще говоря, распределениями слагаемых:

при одних и тех же распределениях слагаемых распределение суммы может быть разным в зависимости от с о в м е с т н о г о распределения слагаемых.

Пример 33. Рассмотрим две случайные величины и с одним и тем же распределением Бернулли с параметром p = 1/2 и следующей таблицей совместного распределения: для 0 r 1/2 положим P( = 0, = 0) = r, P( = 0, = 1) = - r, P( = 1, = 0) = - r, P( = 1, = 1) = r, Если r = 0, то P( + = 1) = P( = 0, = 1) + P( = 1, = 0) = 1, т. е. распределение + вырождено в точке 1.

Если r = 1/2, то P(+ = 0) = P(+ = 2) = 1/2, т. е. + имеет невырожденное дискретное распределение, принимая значения 0 и 2 с равными вероятностями.

Взяв r = 1/4, получим P( + = 0) = 1/4, P( + = 2) = 1/4 и P( + + = 1) = 1/2, т. е. + имеет биномиальное распределение с параметрами 2 и 1/2.

Если взять r = 1/3, получим уже P( + = 0) = 1/3, P(+ = 1) = 1/и P( + = 2) = 1/3, т. е. + принимает значения 1, 2 и 3 с равными вероятностями (это н е биномиальное распределение).

Ещё раз отметим, что частные распределения и от r не зависят. Распределение суммы меняется вместе с совместным распределением и при неизменных частных распределениях величин и.

Пример 34. Пусть случайная величина имеет стандартное нормальное распределение.

Возьмём = -. Тогда тоже имеет стандартное нормальное распределение, а сумма + = 0 имеет вырожденное распределение.

Возьмём теперь =. Тогда сумма + = 2 имеет уже не вырожденное, а нормальное распределение N0, 4 (проверить!).

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.