WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |
Что было, а также чего не было, но что вполне могло бы быть прочитано в курсе лекций под названием Т Е О Р И Я В Е Р О Я Т Н О С Т Е Й Чернова Н.И.

— Знаете что, милый Арамис — сказал д’Артаньян, ненавидевший стихи почти так же сильно, как латынь. — Добавьте к достоинству трудности достоинство краткости, и вы сможете быть уверены в том, что ваша поэма будет иметь никак не менее двух достоинств.

Содержание Введение................................... 4 Г л а в а 1. Классическая вероятностная схема............ 6 § 1. Основные формулы комбинаторики............... 6 § 2. Элементарная теория вероятностей............... 11 Г л а в а 2. Геометрическая вероятность................ 18 § 1. Определения и примеры...................... 18 § 2. Существование неизмеримых множеств............. 20 Г л а в а 3. Аксиоматика теории вероятностей............ 22 § 1. Алгебра и сигма-алгебра событий................ 22 § 2. Мера и вероятностная мера.................... 27 Г л а в а 4. Условная вероятность, независимость.......... 33 § 1. Условная вероятность....................... 33 § 2. Независимость........................... 34 § 3. Формула полной вероятности................... 36 § 4. Формула Байеса.......................... 37 2 ОГЛАВЛЕНИЕ Г л а в а 5. Схема Бернулли....................... 39 § 1. Распределение числа успехов в n испытаниях.......... 39 § 2. Номер первого успешного испытания.............. 40 § 3. Независимые испытания с несколькими исходами....... 41 § 4. Приближение гипергеометрического распределения биномиальным............................... 42 § 5. Теорема Пуассона для схемы Бернулли............. Г л а в а 6. Случайные величины и их распределения........ § 1. Случайные величины........................ § 2. Распределения случайных величин................ § 3. Функция распределения...................... § 4. Примеры дискретных распределений............... § 5. Примеры абсолютно непрерывных распределений....... § 6. Свойства функций распределения................ § 7. Свойства нормального распределения.............. Г л а в а 7. Преобразования случайных величин........... § 1. Измеримость функций от случайных величин.......... § 2. Распределения функций от случайных величин......... Г л а в а 8. Многомерные распределения............... § 1. Совместное распределение.................... § 2. Типы многомерных распределений................ § 3. Примеры многомерных распределений.............. § 4. Роль совместного распределения................. § 5. Независимость случайных величин................ § 6. Функции от двух случайных величин............... § 7. Примеры использования формулы свёртки........... Г л а в а 9. Числовые характеристики распределений........ § 1. Математическое ожидание случайной величины........ § 2. Свойства математического ожидания.............. § 3. Дисперсия и моменты старших порядков............ § 4. Свойства дисперсии........................ § 5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распределений............................... Г л а в а 10. Числовые характеристики зависимости........ § 1. Ковариация двух случайных величин............... § 2. Коэффициент корреляции..................... ОГЛАВЛЕНИЕ § 3. Свойства коэффициента корреляции............... § 4. Примеры.............................. Г л а в а 11. Куда и как сходятся последовательности случайных величин................................ § 1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности»....... § 2. Неравенства Чебышёва...................... § 3. Законы больших чисел....................... § 4. Примеры использования ЗБЧ Чебышёва............ Г л а в а 12. Центральная предельная теорема............ § 1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию......................... § 2. Слабая сходимость......................... § 3. Центральная предельная теорема................ § 4. Предельная теорема Муавра — Лапласа............ § 5. Примеры использования ЦПТ.................. Г л а в а 13. Характеристические функции.............. § 1. Примеры вычисления....................... § 2. Свойства характеристических функций............. § 3. Доказательство ЗБЧ Хинчина.................. § 4. Доказательство центральной предельной теоремы....... Приложение................................. Простые и непростые задачи........................ Предметный указатель........................... Литература.................................. Введение Студентам первого курса ЭФ читать введение строго воспрещается! Учебное пособие практически дословно повторяет курс лекций по теории вероятностей, читаемый автором студентам первого курса отделения экономики экономического факультета НГУ.

Курс теории вероятностей продолжается далее полугодовым курсом математической статистики. Затем студентам предстоит полугодовой курс регрессионного анализа, полугодовой курс теории временных рядов (в рамках курса эконометрии), знакомство в ряде дальнейших курсов с основами теории игр и теории принятия решений.

Объём курса ограничен рамками не более чем пятнадцати лекций короткого весеннего семестра и слабой подготовленностью слушателей, за плечами которых к моменту начала изучения предмета имеется лишь один семестр математического анализа и линейной алгебры.

Несмотря на это, читаемый автором курс не избегает, в том числе, таких абсолютно не знакомых студентам абстрактных понятий, как сигма-алгебры и меры, и вообще стремится быть корректным, полным и доказательным, в отличие от чисто рецептурных курсов, читаемых на экономических факультетах и отделениях остальных вузов.

Такое содержание курса сложилось в последние пять-шесть лет, и автор пока не видит необходимости в упрощении материала. Оправданием сложности курса могут служить два обстоятельства: во-первых, постоянный семестровый контроль работы студентов приводит к тому, что более четверти слушателей усваивают материал полностью в течение семестра на отличном или близком к нему уровне. Ещё примерно половина студентов вполне справляется с материалом после дополнительных летних месяцев подготовки. Во-вторых, студенты первого курса, не будучи ещё расслаблены «лёгкими» предметами, способны воспринять как должное курс лекций практически любой (разумной) сложности и насыщенности.

Основная проблема, которую читатель отметит для себя в данном пособии, заключается в сжатости материала. Несмотря на стремление к строВВЕДЕНИЕ гости изложения в целом, математическое ожидание излагается так, как это принято на нематематических факультетах — в дискретном и непрерывном случаях, без изложения общей теории интеграла Лебега. Не только недостаточный в сравнении с механико-математическим факультетом объём курса математического анализа тому причиной, но и глубокая уверенность автора, что во всём — в том числе и в уровне серьёзности материала — следует знать меру.

С нежеланием перегрузить студентов неподъёмным для их возраста и опыта материалом связано и отсутствие в курсе важной для экономистов темы про условные распределения и условные математические ожидания.

В 2004/5 уч. г. этой теме была посвящена последняя лекция «для любителей», но в пособие она не вошла. И напротив, в тексте присутствует ряд утверждений и примеров, которые не входят обычно в курс лекций,— например, теорема 13, доказательство теоремы 5, пример 13.

Читателю, желающему освоить курс, стоит выполнять все содержащиеся в тексте упражнения и отвечать на заданные вопросы. В конце имеется список полезных задач по тем разделам курса, которые не вполне покрываются практическими занятиями, либо дополняющих (но не заменяющих) материал практических занятий.

Автор искренне признателен своим коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики ММФ НГУ, в течение многих лет вынужденным терпеть рассказы автора о высоком уровне обучения математике на ЭФ. Автор снимает шляпу перед самоотверженным трудом своих друзей и ассистентов Е. А. Бакланова и В. В. Милосердова, по зову души и долгу службы этот уровень обеспечивающих за счёт своего времени, сил и нервов.

Н. И. Чернова Г Л А В А Классическая вероятностная схема... Да, первые страницы рассказа обнаруживают, что я очень плохо думаю о публике. Я употребил обыкновенную хитрость романистов:

начал повесть эффектными сценами, вырванными из средины или конца её, прикрыл их туманом. Ты, публика, добра, очень добра, а потому ты неразборчива и недогадлива. На тебя нельзя положиться, что ты с первых страниц можешь различить, будет ли содержание повести стоить того, чтобы прочесть её, у тебя плохое чутьё, оно нуждается в пособии, а пособий этих два: или имя автора, или эффектность манеры.

Н.Г.Чернышевский, Что делать § 1. Основные формулы комбинаторики В данном разделе мы займёмся подсчётом числа «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (извлечение карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки).

Число шансов — это число способов проделать это действие или, что то же самое, число возможных результатов этого действия.

Теорема о перемножении шансов. Пусть одно действие можно проделать пятью способами, а другое — двумя. Каким числом способов можно проделать пару этих действий Теорема 1. Пусть множество A состоит из k элементов: A = = {a1,..., ak}, а множество B — из m элементов: B = {b1,..., bm}.

Тогда можно образовать ровно km пар (ai, bj), взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

Замечание 1. Можно сформулировать утверждение теоремы 1 так: если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то пару элементов можно выбрать km способами.

Доказательство. С элементом a1 мы можем образовать m пар:

(a1, b1), (a1, b2),..., (a1, bm). Столько же пар можно составить с элементом a2, столько же — с элементом a3 и с любым другим из k элементов ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема множества A. Т. е. всего возможно km пар, в которых первый элемент выбран из множества A, а второй — из множества B.

Упражнение. С помощью теоремы 1 доказать, что:

а) при подбрасывании трёх монет возможно 2 · 2 · 2 = 8 различных результатов;

б) бросая дважды игральную кость, получим 6 · 6 = 36 различных результатов;

в) трёхзначных чисел бывает 9 · 10 · 10 = 900;

г) трёхзначных чисел, все цифры которых различны, существует 9 · 9 · 8;

д) чётных трёхзначных чисел возможно 9 · 10 · 5;

Урны и шарики. Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров; результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шаров из n, или с к о л ь к о р а з л и ч н ы х р е з у л ь т а т о в может получиться. На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся: а) с тем, как организован выбор (можно ли шары возвращать в урну), и б) с тем, что понимается под р а з л и ч н ы м и результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора.

1. Выбор с в о з в р а щ е н и е м: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из k номеров шаров могут встречаться одни и те же номера.

2. Выбор б е з в о з в р а щ е н и я: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же номера.

Условимся, какие результаты выбора (наборы из k номеров шаров) мы будем считать р а з л и ч н ы м и. Есть ровно две возможности.

1. Выбор с у ч ё т о м п о р я д к а: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом или порядком номеров.

Так, при выборе трёх шаров из урны, содержащей 5 шаров, наборы (1, 5, 2), (2, 5, 1) и (4, 4, 5) различны, если порядок учитывается.

2. Выбор б е з у ч ё т а п о р я д к а: два набора номеров шаров считаются различными, если они отличаются составом. Наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми.

Так, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

Подсчитаем, сколько возможно различных результатов для каждой из четырёх схем выбора (выбор с возвращением или без, и в каждом из этих случаев — с учётом порядка или без).

Упражнение. Перечислить все возможные результаты в каждой из четырёх схем при выборе двух шаров из четырёх.

Например, при выборе с возвращением и без учёта порядка: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4).

8 ГЛАВА 1. Классическая вероятностная схема Выбор без возвращения, с учётом порядка.

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе k элементов из n без возвращения и с учётом порядка равняется n! Ak = n(n - 1) ·... · (n - k + 1) = n (n - k)! и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Доказательство. Первый шар можно выбрать n способами, его номер — любой из n возможных. При любом выборе первого шара есть n - способ выбрать второй шар. По теореме 1, число возможных пар (номер первого шара, номер второго шара) равно n(n - 1). Для каждой такой пары есть n - 2 способа выбрать третий шар. По теореме 1, число возможных троек (номер первого шара, номер второго шара), номер третьего шара равно произведению числа пар n(n - 1) и числа способов выбора третьего шара, т. е. равно n(n - 1)(n - 2). Продолжая рассуждения, получим, что общее число возможных наборов из k шаров равно n(n-1) ·...· (n-k+ 1).

В этом произведении k сомножителей последний множитель n - k + 1 есть число способов выбора k-го шара, когда уже выбраны предыдущие.

Следствие 1. Если в множестве n элементов, то существует ровно n! перестановок этих элементов.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 18 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.