WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |

при выборе усилий a. В случае же, когда возможных исходов хотя бы три, из MLRP следует FOSD, но не наоборот. Поэтому FOSD (достаточно естественное предположение, выполняющееся, например, для x = g(, a), где — случайная величина, g возрастает по a) в общем случае недостаточно для монотонности w(x) (как показано выше).

Заметим, что зарплата определяется только отношением правдоподобия, то есть в данном случае отношение правдоподобия является достаточной статистикой для x. Это один из главных результатов теории контрактов. Он показывает, какие именно переменные должны быть записаны в контракт. Если принципал хочет стимулировать тот или иной уровень усилий, вознаграждение при заданном исходе x должно зависеть только от условной вероятности того, что был выбран именно желаемый уровень при условии, что имеет место x, то есть от отношения правдоподобия.

5.6 Moral hazard: ещё более общий случай.

Будем теперь предполагать, что и усилия a непрерывны. Агент выбирает уровень a и несет издержки c(a). Функция c(a) дважды дифференцируема, строго возрастает и выпукла. Функция распределения дохода имеет вид F (x, a), функция плотности f(x, a) = f(x, a)/x. Условие совместимости по стимулам принимает вид u(w(x))f(x, a) dx - c(a) u(w(x))f(x, b) dx - c(b) b.

- Это условие выполняется, если имеет место условие первого порядка f(x, a) u(w(x)) dx = c (a).

a Условие индивидуальной рациональности имеет вид u(w(x))f(x, a) dx - c(a) U.

Выпишем Лагранжиан задачи f(x, a) L = w(x)f(x, a) - µu(w)f(x, a) - u(w) dx - µc(a) - µU - c (a).

a Решение этой задачи похоже на полученное ранее:

1 f(x, a) = µ + f(x, a).

u (w(x)) a f(x,a) Отношение f(x, a) является дифференциальным аналогом отношения правдопоa добия. В отличие от предыдущей постановки задачи, агент выбирает усилия из континуума; при заданном исходе x принципал оценивает, насколько вероятен выбор агентом равновесного уровня усилий a или небольшое отклонение a da. Отметим, что найти + f(x,a) нетривиальную функцию с монотонным отношением f(x, a) несколько сложнее, a чем в случае дискретного набора уровней усилий. Одним из способов построить такую функцию является следующее семейство функций распределения f(x, a) =af1(x) +(1- a)f0(x), где распределение f1(x) доминирует f0(x) по MLRP.

6 Moral hazard: обобщения и расширения.

6.1 Линейные контракты.

Вышеизложенная модель приводит к крайне сложной формуле оптимального контракта.

В реальности контракты устроены гораздо проще. Как правило, используются линейные или кусочно-линейные зависимости. Неужели издержки составления сложных контрактов настолько высоки, что стороны согласны пожертвовать дополнительной прибылью и ограничиться простой формулой контракта Нет ли у линейных контрактов дополнительных преимуществ Ответ выглядит достаточно очевидным: преимущество линейного контракта в том, что он позволяет сгладить ненужные изменения уровня усилий в зависимости от внешних воздействий.

Типичный пример: поведение менеджера-собственника фирмы, находящейся на грани банкротства. До того как долговое бремя стало чрезмерным, стимулы собственника были фактически линейными: каждый дополнительный доллар прибыли доставался ему (выплаты по долгу по определению фиксированы). Однако, как только менеджер начинает понимать, что вероятность банкротства становится существенной, его «контракт» становится выпуклым: если банкротства не произойдет (прибыли превысят необходимые долговые выплаты), то он по-прежнему получает каждый дополнительный доллар, если же прибыль ниже необходимых выплат по долгу, он получает ноль, и каждый дополнительный доллар достается кредиторам. Естественно, искаженные (нелинейные) стимулы приводят к тому, что менеджер предпринимает очень рискованные (и не обязательно прибыльные, в смысле математического ожидания дохода) проекты: он получает выигрыш в случае положительного исхода, но не заботится о проигрыше в случае отрицательного исхода.

Для того, чтобы смоделировать такого рода соображения, Holmstrm и Milgrom (1987) предложили следующую модификацию изложенной выше модели. Доход принципала попрежнему зависит от усилий агента и внешних (случайных воздействий), однако вместо одномоментного соотношения x = a+ рассмотрим динамику выбора усилий и случайных факторов в течение данного периода t [0, 1]. Предположим, что доход накапливается со временем по закону dx = adt + dW, где a(t) — уровень усилий в момент времени t, а W — винеровский случайный процесс (иначе говоря, единичное броуновское случайное блуждание). За время dt приращение винеровского процесса dW — это нормально распределенная случайная величина со средним 0 и дисперсией dt (среднеквадратичное отклонение равно dt). Таким образом, в конце периода x(1) = x(0) + adt +, где N(0, 2). Полож им x(0) = 0 и введем обозначение a = adt для среднего уровня усилий). Тогда в конце периода доход принципала опять-таки равен среднему уровню усилий плюс нормально распределенная случайная величина: x(1) = a +. Следующее (естественное) предположение заключается в том, что принципал наблюдает x только в конце периода (например, получает годовой отчет, но не может следить за ежедневными результатами деятельности агента).

В чем же отличие от стандартной постановки Дело в том, что в данном случае агент выбирает уровень усилий в промежуточные моменты времени, зная реализацию случайных факторов к данному моменту. Поэтому, выбор a(t) существенно зависит от наблюдаемой им (но не принципалом) величины x(t): если агент знает, что в предыдущие момент времени ему повезло, то его шансы добиться более высоких результатов в конце периода выше (даже при том же уровне усилий). Поэтому агент будет ориентироваться на ту часть контракта w(x(1)), которая оговаривает зарплату в случае высоких результатов.

Если же агенту не повезло и величина x(t) не так велика, то более вероятны низкие значения x(1), и он будет скорее рассматривать ту часть контракта w(x(1)), которая определяет платежи в случае плохих результатов.

Насколько такая волатильность хороша для принципала, агента и общего благостояния Как и в предыдущей модели, агент получает нулевую ренту, поэтому максимизация выигрыша принципала соответствует задаче максимизации общего благосостояния. С этой же точки зрения, гибкость — это плохо. Действительно, агент боится риска, поэтому, если его усилия будут меняться в зависимости от промежуточных реализаций случайных величин, принципалу придется повысит его среднюю зарплату в качестве компенсации за риск. Следовательно, принципал заинтересован в том, чтобы агент выбирал один и тот же уровень усилия. Этого можно добиться тогда и только тогда, когда предельные стимулы, предоставляемые контрактом не будут зависеть от реализации случайных величин. Другими словами, у линейного контракта w(x(1)) = x(1) + есть серьезные преимущества.

Holmstrm и Milgrom доказывают оптимальность линейных контрактов для следующего примера. Принципал нейтрален к риску, а агент обладает постоянной абсолютной несклонностью к риску r, то есть его функция полезности CARA (constant absolute risk aversion): u(w) =1 - e-r(w-c(a)). Для простоты предположим, что функция издержек от усилий c(a) =a2/2.21 Даже для этой (вообще говоря, простейшей возможной) постановки доказательство оказывается достаточно сложным, поэтому мы не будем его обсуждать, но рассмотрим оптимальный контракт.

В равновесии агент получает линейный контракт w(x(1)) = x(1) + и выбирает один и тот же уровень усилий a(t) = a в каждый момент времени. Чтобы вычислить Очень важно, что издержки от усилий входят в аргумент функции полезности. Именно поэтому изменчивость усилий по времени дорого обходится принципалу. Результаты будут другими, если агент максимизирует матожидание выражения 1 - e-rw - c(a).

оптимальные параметры,, необходимо вернуться к исходной (статической постановке) и решить задачу об оптимальном контракте при ограничении линейности контракта.

Другими словами, необходимо искать не оптимальный контракт в общем виде, а всего лишь максимизировать по,.

Ограничения индивидуальной рациональности и совместимости по стимулам имеют следующий вид.

E 1 - e-r(w(x)-a /2) 1 - e-ru (IR) a2/E 1 - e-r(w(x)-a /2) E 1 - e-r(w(x)- ) (IC) Здесь u — доход, который агент получит (с вероятностью 1), отказавшись от заключения контракта.

Вследстие нормальности Ee = e-, поэтому ожидаемую полезность агента можно записать в виде:

a2 a2 r2 2 E 1 - e-r a+- e-r = E 1 - e-r a+- + Для того, чтобы побудить агента к выбору заданного уровня усилий a, принципал выбирает,. Из условия IC непосредственно следует = a,, а из IR определяется a2 ra = u - +.

2 Затем принципал решает, какой именно уровень усилий a максимизирует его полезность:

a2 ra2 aE [x - x - ] =a - a2 - u + - = -u + a - 1+r2 (6) 2 22 Из условия первого порядка получаем a = 1+rНалицо уже знакомый нам конфликт между стимулами и страховкой: с одной стороны, нейтральному к риску принципалу следует застраховать избегающего риска агента, то есть, выбрать поменьше (ведь дисперсия вознаграждения агента пропорциональна 2). С другой стороны — агенту следует создать стимулы прикладывать усилия, то есть выбрать побольше (ведь = a). Полученная выше формула для оптимального a описывает компромисс между этими двумя факторами. Заметим, что с ростом r (чувствительности подчиненного к риску) или 2 (неопределенности результата) мотивация страхования усиливается, так что оптимальное значение a уменьшается. Отметим еще, что a всегда строго меньше единицы, и это тоже не случайно: ведь если чуть-чуть отступить вниз от a =1 (безусловного оптимума), то потери в выпуске будут второго порядка малости, а выигрыш в страховке — первого. Поэтому a =1 не может быть оптимальным решением.

6.2 Многомерные усилия (multi-tasking).

Часто бывает, что один агент должен работать сразу над несколькими задачами, которые перед ним ставит принципал.22 Например, профессор одновременно занимается научной, преподавательской, а иногда и административной деятельностью; следователь ведет несколько дел; чиновник обеспечивает работу над несколькими проектами; менеджер контролирует несколько подразделений. Соответственно возникает вопрос: как правильно построить систему стимулов для агента, с учетом того, что, решая (многомерную) задачу оптимального выбора уровней усилий на всех направлениях деятельности агент будет учитывать взаимное влияние этих уровней усилий При моделировании задачи multi-tasking следует уточнить, в каком именно смысле разные направления деятельности агента связаны одно с другим (чтобы задача не распалась на набор независимых задач). В модели, предлагаемой в этом параграфе, такая связь осуществляется через фунцию издержек агента.Пусть агент работает над двумя заданиями, прикладывая усилия ai и производя продукт xi = ai + i, i =1, 2, где i N(0, i ) и случайные величины 1, 2 независимы.

a2 a1 Функция издержек агента от усилий предполагается равной C(a1, a2) = + +ka1a2;

2 его функция полезности, как и выше, u(w) = 1 - e-r(w-c(a)), а гарантированный доход равен u.

Параметр k характеризует, являются ли первый и второй вид деятельности взаимодополняющими (k <0), взаимозаменяющими (k >0) или независимыми (k =0). При этом предполагается, что |k| < 1. (необходимое и достаточное условие выпуклости функции издержек).

Найдем оптимальный линейный контракт: w(x1, x2) =1x1 + 2x2 +.

Из условий первого порядка получаем 1 = a1 + ka2, 2 = a2 + ka1, r 2 = u - (1a1 + 2a2) +C(a1, a2) + (a1 + ka2)2 1 +(a2 + ka1)2 Принципал выбирает, какой именно уровень усилий a нужно реализовать с тем, чтобы максимизировать a2 a2 r 1 2 2 E [x1 + x2 - w(x1, x2)] = -u+a1+a2- + + ka1a2 - (a1 + ka2)2 1 +(a2 + ka1)2 2.

2 2 Условия первого порядка 2 1 = 1(1 + r1) +kr2 1 = 2(1 + r2) +kr11.

Бывает еще, что один агент работает сразу на несколько принципалов — такая ситуация называется по-английски common agency и тоже рассмотрена в литературе.

Можно также было бы предположить зависимость через функцию выигрыша принципала или коррелированные шумы.

Разрешая относительно 1, 2, получаем 2 kr2 kr1 - 1 2 1+r2 1+r1 =, 2 =.

2 2 2 k2r212 k2r2 1+r1 - 1+r2 2 1+r2 1+rЕсли 2, то 2 0 и 2 2 1 - k 1 k(1 + r1)(1 + r1 - kr1) 1 = -.

2 2 2 2 2 1+r1 - k2r1 1+r1 (1 + r1)(1 + r1 - k2r1) Последний результат имеет следующий смысл: 2 = означает, фактически, что выпуск x2 не несет никакой информации об усилиях a2. Если бы коэффициент 2 был отличен от нуля, то агент сталкивался бы с «бесконечным» риском, что недопустимо.

Однако, даже отказываясь от использования этого бесконечно шумного сигнала, принципал не должен забывать, что агент все-таки может выбрать (и наверняка выберет при ненулевом k) ненулевое значение a2. При этом, в силу соотношения a1 = -ka2, принципал заинтересован дополнительно (по сравнению с ситуацией одномерных усилий, рассмотренной в предыдущем параграфе) стимулировать a1 при отрицательном k и, наоборот, сократить стимулы при положительном k. Именно это означает последняя формула.

6.3 Rank Order Tournaments (Турниры).

В этом параграфе разбирается альтернативная линейному контракту схема вознаграждения работников по результатам их труда, а именно внутрикорпоративный турнир:

выплата сотруднику зависит только от того, как результат его труда выглядит на фоне результатов остальных сотрудников, а не собственно от результата. На практике такая организация оплаты труда соответствует распространенной схеме, в которой каждый сотрудник, занимающий определенную позицию, получает фиксированный оклад, соответствующий этой позиции, а вознаграждение за хорошую работу – по сравнению с остальными – реализуется в виде продвижения по службе (сопровождающимся дискретным повышением оклада). В работе Lazear, Rosen ([23]) предлагается следующая модель.

Как и выше, пусть результат работы каждого из двух агентов описывается формулой yi = ai + i, i = 1, 2, где ai – усилия агента, а i – независимые случайные величины, ai N(0, 2). Полезность агента i составляет u(w) = 1 - e-r(w- ), а его альтернативная полезность равна -1. Агенту, показавшему более высокий результат, выплачивается вознаграждение W, а другому агенту – вознаграждение L, и пусть P = W - L > 0.

Посмотрим, как равновесные усилия агента и доход принципала зависят от W и L.

Рассмотрим оптимизационную задачу первого агента. Он выбирает усилия a1, считая усилия второго агента a2 заданными. Первый агент получит W в случае, если a1 + 1 > a2 + 2 или 2 - 1 < a2 - a1, что произойдет с вероятностью G(a1 - a2), где G(·) – функция распределения случайной величины 2 - 1 (которая является нормальной с нулевым средним и дисперсией 22).

Таким образом, первый агент максимизирует по a1 выражение a2 a2 G(a1 - a2) -e-r(W - ) +(1- G(a1 - a2)) -e-r(L- ).

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.