WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |

Стандартное графическое представление решения обычно отображается в координатах (q, t) (см. Рис.3). В этих координатах можно построить кривые безразличия для обоих типов U(H, q)-t = const и U(L, q)-t = const. При этом (в силу условия Спенса-Миррлиса) кривые безразличия высокого типа более крутые. Так как потребители предпочитают больше q и меньше t, они стремятся попасть на самые низкие кривые безразличия. По определению, угол наклона кривой безразличия низкого типа равен c при q = qL, а угол наклона кривой безразличия высокого типа равен c при q = qH.

Итак, графически задача решается следующим образом. Проводим кривую безразличия низкого типа из начала координат. Это множество контрактов, дающих низкому типу нулевую ренту. Выберем на ней некоторую точку qL, tL и проведем через нее кривую безразличия высокого типа до пересечения с вертикалью q = qH. Полученная точка и будет контрактом, предлагаемым высокому типу. Нетривиальной задачей является выбор точки qL, tL. Если она лежит слишком близко к началу координат, то контракт высокого типа обеспечивает производителю достаточно высокую цену tH, но с низкого типа про изводитель получает слишком мало (так как qL < qL, чем меньше qL, тем дальше от оптимума qL и тем меньше прибыль, получаемая с агента низкого типа). С другой стороны, если qL, tL лежит дальше от начала координат, то монополист получает большую прибыль с низкого типа, но меньшую прибыль с высокого типа. Таким образом, выбор qL, tL зависит от соотношения долей агентов низкого типа и высокого 1 -.

Другой, реже используемый, способ графического решения заключается в отображении предельных полезностей в координатах (q, p) (см. Рис.4). Выберем произвольную точку qL. Величина tL равна потребительскому излишку, получаемому низким типом от потребления qL, то есть площади EGqLO. При этом высокий тип получает qH и платит ровно столько денег, чтобы у него не было стимулов выдавать себе за агента низкого Рис. 3. Графическое решение задачи adverse selection. На рисунке изображены кривые безразличия каждого типа U(q, ) - t = const. Каждый агент стремится выбрать точку с наибольшим q и наименьшим t, то есть предпочитает более низкие кривые безразличия. Рента агента равна расстоянию от нуля до точки пересечения кривой безразличия, проходящей через точку контракта, с вертикальной осью координат.

Рис. 4. Графическое решение задачи adverse selection в координатах (q, p).

типа. Если высокий тип выдает себя за агента низкого типа, он получает полезность равную площади AF GE = AF qLO - EGqLO. Если же он говорит правду, то он полу чает ABqH O - tH. Чтобы агент высокого типа говорил правду, необходимо назначить tH = ABqH O - AF GE = DBqH O + EGC D + F BC. Чистая прибыль монополиста (за вычетом издержек производства) равна (tL-cqL)+(1-)(tH-cqH) =(EGC D)+(1-)(EGC D+F BC ) =EGC D+(1-)F BC При увеличении qL монополист выигрывает от увеличения EGC D, но проигрывает от уменьшения F BC. Таким образом, оптимум достигается, когда GC = (1 - )F C, GC /GF =(1 - ) :.2.9 Последние штрихи к решению.

Изложенное выше меню контрактов является оптимальным из всех разделяющих. Для полноты картины необходимо также проверить, что оптимальная прибыль 1 - =(1 - )(U(H, qH ) - cqH ) + max U(L, qL) - cqL - (U(H, qL) - U(L, qL)) qLбольше той, которую монополист может получить, ничего не продавая или предлагая один и тот же контракт обоим типам, или продавая только высокому типу.

Если монополист ничего не продает, он получает 0. Если монополист хочет продавать только высокому типу, то он предлагает ему контракт, отбирающий всю ренту q = qH, t = U(H, qH ). При этом прибыль равна (1 - )(U(H, qH ) - cqH ) (2) (потребители низкого типа ничего не покупают). Отметим, что если U(, 0) = 0, то нирешение ничего не продавать, ни решение исключить низкий тип не приносят монополисту больше денег, чем.Рассмотрим ситуацию, когда монополист предлагает один и тот же контракт (q, t) обоим типам. Аналитически решение можно найти следующим образом. Так как контракт всего лишь один, необходимо лишь проверить, что (q, t) удовлетворяет ограничениям индивидуальной рациональности. Так как высокий тип получает большую полезность, он по-прежнему получает положительную ренту, а ограничение индивидуальной рациональности низкого типа выполняется как равенство t = U(L, q)

Решение исключить низкий тип, то есть предложить qL =0, tL =0 может быть частным случаем разделяющего равновесия.

предпочитает разделяющий контракт. Это ясно и из анализа графика в координатах t, q.

Действительно, смешивающий контракт соответствует ситуации, когда qL = qH = qL (то есть контракты обоих типов — пересечение вертикали q = qL и кривой безразличия низкого типа, выходящей из нуля). Очевидно, что если предложить еще один контракт q = qH, t = U(H, qH ) - U(H, qL ) +U(L, qL ), то высокий тип предпочтет второй контракт (это контракт, лежащий на пересечений кривой безраличия высокого типа, вы ходящей из точки первого контракта, и вертикали q = qH ). При этом продавец получит ту же прибыль с низкого типа и более высокую прибыль с высокого типа). Поэтому смешивающий контракт доминируется некоторым разделяющим контрактом, который, в свою очередь, доминируется оптимальным разделяющим контрактом.

2.10 Общая модель неблагоприятного отбора.

2.10.1 Модель с конечным количеством типов.

Модель с двумя типами является самой простой моделью, которая, хотя и иллюстрирует основные качественные характеристики решения, все же слишком далека от действительности, так как рассматривает лишь возможность двух типов агентов. Рассмотрим модель с несколькими типами. Оказывается, что модель с несколькими дискретными типами сложнее, чем модель с континуумом типов (в первом случае приходится использовать перебор, а во втором — дифференцирование и условие первого порядка). Поэтому сначала (без доказательства) обсудим результаты для дискретного случая, а потом полностью решим задачу с континуумом типов. Допустим, что агент максимизирует U(, q) - t, где N тип принимает значения i с вероятностями i, i =1...N, i =1. Для простоты i=будем считать, что i возрастает по i.

Предположим, что условие Спенса-Миррлиса по-прежнему имеет место, то есть и полезность, и предельная полезность возрастают по. Тогда задача монополиста имеет следующий вид: выбрать меню контрактов (qi, ti), i =1...N, которое максимизирует N i(ti - cqi) i=при ограничениях индивидуальной рациональности U(i, qi) - ti для всех i и ограничениях совместимости стимулов U(i, qi) - ti U(i, qj) - tj для всех i, j. Ограничения индивидуальной рациональности необходимы для того, чтобы все агенты предпочитали участвовать (а не уходить), а ограничения совместимости стимулов побуждает тип i отказаться от желания выдавать себя за тип j.

Если условие Спенса-Миррлиса имеет место, то решение очень напоминает решение в случае двух типов: ограничение индивидуальной рациональности выполняется как равенство только у самого низкого типа, ограничения совместимости по стимулам выполняются как равенства для пар i, i-1 — необходимо предоставить каждому типу стимулы не выдавать себя за соседний снизу тип, и тогда каждый честно выберет свой контракт. В результате все типы, кроме самого нижнего, получают информационную ренту, причем чем выше тип, тем больше рента. Все типы, кроме самого высокого, получают количество товара, меньшее, чем в общественном оптимуме, и лишь самый высокий тип получает эффективное количество.

Если условие Спенса-Миррлиса не выполняется, то решение данной задачи становится очень сложным, так как в общем случае необходимо перебрать слишком много случаев.

2.10.2 Модель с континуумом типов.

Предположим, что тип агента распределён на множестве [, ] в соответствии с функцией распределения F (). Будем также предполагать, что функция распределения диф ференцируема и f() =F (). Принципал максимизирует функцию [t() - cq()] f()d max t(·), q(·) на множестве возможных контрактов (t(·), q(·)), при ограничениях U(, q()) - t() 0 (IR) U(, q()) - t() U(, q( )) - t( ), (IC) Решая эту задачу, мы используем альтернативную технику решения, часто применяемую в теории разработки оптимальных механизмов (mechanism design). Выигрыш агента, если он выдает себя за, равен V (, ) =U(, q( )) - t( ). Условия (IC), (IR) принимают вид V (, ) 0 (IR) = arg max V (, ) (IC) Функции V (, ) достигает максимума по в точке, если V 2V =0, = = Запишем более подробно условия первого и второго порядка dt() dq() = Uq(, q()), d d d2t() dq() d2q() Uqq(, q()) + Uq(, q()).

d2 d dЭти условия выполняются для всех типов [, ], поэтому можно продифференцировать условие первого порядка по. Полученное выражение для второй производной d2t() dq() dq() d2q() = Uq(, q()) + Uqq(, q()) + Uq(, q()) d2 d d dподставим в уравнение второго порядка:

dq() Uq(, q()) 0.

d Из условия Спенса—Миррлиса (условия однократного пересечения) Uq > 0 следует dq() 0. Обозначим выигрыш агента в равновесии через R() = V (, ). В новых d обозначениях условия первого порядка имеют вид dR() = U(, q()) 0.

d Следовательно, R() = U(, q()) d.

Заметим, что R() возрастает по, поэтому для самого нижнего типа верно R() =и R() R() для всех >.

Осталось подставить найденную функцию t() =U(, q())-R() в функцию прибыли принципала: -cq() +U(, q()) - U(, q()) d dF () = 1 - F () U(, q()) - cq() - U(, q()) f() d.

f() Обозначим виртуальный излишек H(q(), ) =U(, q()) - cq() - U(, q()), h() При интегрировании последнего члена необходимо поменять порядок интегрирования — сначала интегрировать по от до, а затем по от до.

f() где h() = — коэффициент выбытия (hazard rate).1-F () Итак, принципал должен решить задачу max = H(q(), )f() d, (3) q() при условии, что q() — неубывающая по функция, то есть dq/d 0. (4) Возможны два случая: ограничение (4) выполняется всюду как строгое неравенство или при некоторых ограничение (4) выполняется как равенство.

Первый случай очень прост: множитель Лагранжа при ограничении (4) равен нулю H(q(),) и q() определяется из условия =0, то есть c = Uq(, q()) - Uq(, q()) (5) h() Каждый тип агентов получает свой контракт (q() строго возрастает по ). Вновь имеют место сформулированные выше свойства: все типы, кроме самого высокого, получают уровень q меньше оптимального, а самый высокий тип получает эффективное количество (для него 1/h() =0).

Если же хотя бы при некоторых ограничение (4) выполняется как равенство, ситуация гораздо сложнее. Для решения задачи нужно использовать принцип максимума Понтрягина. Рассмотрим динамическую задачу максимизации (3), где — аналог времени, q — фазовая переменная, изменяющаяся по закону dq/d =, а — управление, ограниченное снизу 0.

Как правило, задачу решают следующим образом. Сначала предполагают, что контракт разделяющий и вычисляют q() из (5). Если полученная функция q() неубывает, то задача решена, оптимальный контракт разделяющий. Если же полученная функция имеет убывающие участки, но необходимо решать изложенную выше задачу оптимального управления. При этом некоторые агенты с различными типами получат одинаковые контракты, то есть равновесие частично смешивающее.

3 Информативные сигналы.

В данном разделе мы рассматриваем ситуацию, в которой агент знает свой тип и пытается доказать принципалу, что он высокого типа.16 Что может быть использовано в качестве Термин «коэффициент выбытия» объясняется следующим образом. Допустим, что F () — функция f() распределения времени поломки оборудования. Тогда есть не что иное, как вероятность того, что 1-F () оборудование сломается в следующий момент времени при условии, что в момент времени оно еще цело.

Вообще говоря, из изложенной выше модели adverse selection следует, что агент высокого типа не заинтересован в выявлении своего типа. Действительно, если принципал не знает тип агента, агент сигнала Один из способов — образование: очень часто при найме на работу важна не специальность, полученная в университете, а высокие оценки, которые дают работодателю сигнал о высокой производительности и обучаемости кандидата. В данном разделе мы обсуждаем лишь основные свойства модели информативных сигналов (см. намного более подробное изложение в Salanie, 1997, или работах Спенса, например, Spence, 1973) с тем, чтобы продемонстрировать ее связь с базовой моделью adverse selection.

Рассмотрим следующую задачу: производительность известна только агенту (работнику), но не работодателю (принципалу). При этом, = L с вероятностью и = H с вероятностью 1 - (и это работодатель знает). Работник имеет возможность затратить время и усилия на образование и достичь верифицируемого уровня образования e.

Издержки усилий по достижению этого уровня равны c(e, ), причем dc(e, ) d2c(e, ) dc2(e, ) > 0, > 0, < 0 (условие Спенса-Миррлиса).

de de2 ded 3.1 Свойства модели.

1. Образование не влияет на производительность.

2. Уровень образования наблюдаем и верифицируем.

3. Между работодателями имеет место совершенная конкуренция (или конкуренция по Бертрану) w = E = µ(e)L +(1- µ(e))H, где µ(e) — доля работников = L среди работников с образованием e.

Последнее предположение выглядит несколько странно. Действительно, в предыдущем разделе мы рассматривали модель, где принципал был монополистом. Очень важно понимать, что если работодатель является монополистом, то стимулы к получению образования будут отсутствовать — монополист-работодатель отберет у работника всю ренту.

Поэтому модель информативных сигналов нетривиальна тогда и только тогда, когда либо имеет место некоторая конкуренция между работодателями, либо у агента имеется некоторая переговорная сила.

3.2 Разделяющее равновесие.

Полезности рабочих имеют вид:

UH = W - c(e, H), UL = W - c(e, L).

высокого типа получает информационную ренту. С другой стороны, это следствие того, что принципал обладает полной переговорной силой. См. раздел 3.1.

Рис. 5. Пример разделяющего равновесия. На рисунке показаны кривые безразличия агентов в пространстве (e, W ). С точки зрения низкого типа оптимальный выбор e =0, W = w(0) = L. Высокий тип выбирает e = eH, W = w(eH) =H.

В разделяющем равновесии хороший работник должен выбирать уровень обучения не ниже, чем e. На рисунке 5 приведена такая функция w(e), что оптимальным уровнем обучения для хорошего работника является eH. В разделяющем равновесии плохим работникам нет смысла учиться. Действительно, в модели всего два типа, поэтому, если равновесие разделяет типы, рынок платит низкому типу самую низкую зарплату w = L.

3.3 Смешивающее равновесие.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.