WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |

- отношение размеров при посадке х больше или равно отношению размеров при посадке у в множестве посадок;

- х делитель у, если 6. Покажите, что приведенное ниже отношение является отношением толерантности: х имеет общие точки с у в множестве деталей, составляющих механизм.

7. Покажите, что отношение х рядом с у в множестве деталей механизма является отношением доминирования.

2. АЛГЕБРА ЛОГИКИ Аппарат математической логики сложился в значительной мере под влиянием прикладных проблем анализа и синтеза различных автоматических устройств дискретного действия: механических, пневматических, гидравлических, электрических и электронных и в частности контактных электрических схем. Разработанные в рамках алгебры логики положения позволяют обоснованно подходить к созданию алгоритмов работы указанных устройств, их конструкции, а также оптимизации.

2.1. ЛОГИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Логической функцией называется отображение из одного конечного упорядоченного множества в другое.

Компоненты хi образующие множество Х аргумента, и компоненты уi образующие множество Y, значений логической функции f(x)=Y, называются буквами соответствующих алфавитов Х или Y[2].

Таким образом, в теоретико-множественном смысле логическая функция представляет собой отображение множества кортежей (х1, х2,..., хn) называемых словами длиной п и являющихся аргументами логической функции на множество её значений, являющихся кортежами и называемых словами (y1, y2,…, ym) длиной т, т.е.

Если буквы xi слов аргумента и буквы yi слов логической функции принимают значение из одного алфавита, то логическая функция является однородной.

Рассмотрим для примера однородную логическую функцию с алфавитом А={0,1,2}, содержащим k символов, и установим длину п слов аргумента, равную двум, п =2. При этом слова аргумента будут состоять из двух букв: (x1, x2), а сами буквы x1 и x2 будут принимать значения из алфавита, т.е. либо 0, либо 1, либо 2.

В трехзначном алфавите {0,1,2} словами длиной 2 будут все возможные комбинации из букв алфавита длиной 2, т.е.

Отсюда видно, что число N слов длиной п из алфавита, содержащего k символов, определяется следующим выражением :

иравно 32=9.

Поставив каждому слову аргумента (2.2) в соответствие одну из букв алфавита А={0,1,2}, получим некоторую однородную логическую функцию двух переменных (букв x1 и x2) -f(x1, x2).

Часто логические функции задаются в виде матрицы или таблицы соответствий, столбцы которой соответствуют словам аргумента (x1, x2), а строки функции yi=f(x1, x2).

Такая матрица для рассматриваемого примера имеет вид Таблица 2.Таблица соответствий Как видно из этой матрицы, функция Y=f(x1, x2) представляет собой слово длиной, равной числу слов аргумента функции, т.е. kn (2.3) или в данном случае слово Y имеет длину 9. Поскольку рассматриваемая функция однородна и имеет один алфавит для Х и Y, содержащий k символов (А={0,1,2}, k=3), то число слов функции, подсчитываемое по (2.3), будет равно и составит в данном случае значение З9 =19683.

2.2. БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ ОДНОЙ И ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Наиболее простым и в то же время наиважнейшим классом однородных функций являются булевы, т.е. двузначные функции, имеющие в алфавите два символа А = {0,1}. С помощью булевых функций моделируется работа различных автоматических устройств, имеющих два состояния, например: покоя и движения, устойчивых состояний и т.п. К этим устройствам могут быть отнесены устройства числового программного управления (ЧПУ), различные механизмы переключения коробок скоростей, обгонные муфты станков, автоматические резцедержки, магазины инструментов и т.д. Булевы функции позволяют описать их работу, смоделировать функционирование при работе с другими механизмами, обоснованно подойти к выбору конструкции, оптимизировать работу.

Аргументами булевых функций от п переменных являются слова Х длиной п, представляющие собой наборы из п двоичных цифр алфавита А={0,1} [2].

Таблица 2.Общая таблица соответствия булевой функции одной переменной Две функции y0 = 0 - тождественный нуль, y1 = 1- тождественная единица представляют собой функции константы, т.к. они не изменяют своих значений при изменении аргумента.

Функция y1 =х повторяет значения аргумента х и просто совпадает с ней. Единственная нетривиальная функция x2= х отрицание (инверсия), читаемая как "не х", равна противоположному (инверсному) значению х.

Например, булевы функции констант "1 - есть вращение" и "0 - нет вращения" реализует кулачковая муфта или предохранительная при усилии, не превышающем нормы, муфта замкнута - 1, и при усилии, превышающем норму - 0.

Как правило, одно простое устройство реализует одну - две булевых функции, а их соединение в более сложное устройство позволяет реализовать большее количество функций, но и имеет большее количество переменных.

При двух переменных п =2 имеется 22 =16 различных булевых функций, которые сведены в общую таблицу соответствий.

Таблица 2.Общая таблица соответствия булевой функции двух переменных Продолжение таблицы 2.Продолжение таблицы 2.2.3. СВЯЗЬ МЕЖДУ БУЛЕВЫМИ ФУНКЦИЯМИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ Шесть из приведённых в таблице 2.3 функций не зависят от аргументов x1 или x2 (или от обоих вместе) [2] :

Из оставшихся десяти функций две y4, y11 отличаются от соответствующих им y3, y13 лишь порядком следования символов аргументов (крайние аргументы имеют одинаковое значение, а средние взаимно-обратное).

Поэтому эти функции не являются самостоятельными.

Таким образом, из 16 булевых функций двух переменных только восемь являются ортогональными :

Из таблицы 2.3 видно, что между функциями имеются зависимости Из этих зависимостей следует, что любая функция двух переменных (включая константы) выражается в аналитической форме через совокупность шести функций, содержащих отрицание х, и любую функцию каждой их пары :

Выбранная таким образом совокупность шести функций является избыточной, т.к. импликация и эквиваленция выражается через остальные функции этой совокупности:

Для доказательства этого достаточно построить таблицу соответствия и сравнить ее с таблицей 2.3.

Таблица 2.Таблица соответствия булевых функций импликации и эквиваленции Таким образом, комплект элементарных функций сокращается до четырёх:

Этот комплект обладает существенными удобствами и часто применяется на практике, но и он может быть сокращен. Так, из законов де Моргана и свойства двойного отрицания вытекают тождества:

Отсюда следует, что булевы функции двух переменных выражаются через:

Более того, для записи любой булевой функции достаточно только одной из двух элементарной функций:

y8 - стрелки Пирса или y14 - штриха Шефера.

2.4. ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Высказывание - это утверждение, которое принимает два значения: 0 ложь и 1- истина.

Причем необходимо отметить, что значения "ложь" и "истина" толкуются в широком смысле, например, с помощью этого высказывания можно устанавливать наличие 1 - "истина" или отсутствие 0 -"ложь" чеголибо: движения ( вращается или нет шпиндель станка ), материального объекта ( есть или нет подачи СОЖ ) ит.д.

Булевы функции можно рассматривать как логические операции над какими-то высказываниями, которые могут обозначаться различным образом, например, с помощью букв А, а. В, b, х, у ит.п.

Основными логическими операциями, как видно из ранее рассмотренного, являются:

1. Отрицание (техническое название НЕ), обозначающееся как —.

2. Дизъюнкция, или логическое сложение (техническое обозначение ИЛИ), обозначающееся "".

3. Конъюнкция, или логическое умножение (техническое обозначение И), обозначающееся "".

Наиболее просто эти операции определяются с помощью таблиц истинности.

Таблица 2.5 Таблица 2.Таблица истинности Таблица истинности отрицания конъюнкции Таблица 2.Таблица истинности дизъюнкции Выражения, состоящие из букв, соединенных с помощью символов логических операций, называются логическими формулами, например (a Ъ) с =z.

С помощью логических формул из простых высказываний, относящихся к одному множеству, формируют составные высказывания, относящиеся к нескольким множествам. Например, составное высказывание:

можно представить с помощью простых высказываний и логических операций над ними:

Составное высказывание z - аварийная остановка вращения шпинделя в этом случае интерпретируется с помощью простых высказываний: с - износ инструмента превысил норму, но это пока сказывается на качестве обработки, однако приводит к повышению усилия резания выше нормы b, а вместе эти два фактора, т.е. связанные логической операцией конъюнкции "И" - с, b, приводят к высказыванию аварийной остановки. В это сложное высказывание входит в любом случае высказывание а - произошла поломка режущего инструмента, т.е. случилась ли ситуация с b или ситуация а станок должен быть остановлен.

Аналогичным образом могут быть получены и более сложные составные высказывания.

2.5. НЕОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРЕДИКАТЫ Неоднородные функции имеют аргументы, которые могут принимать значения из различных множеств, однако множество значений неоднородной функции одно.

Важной разновидностью неоднородных функций является предикат двузначная n-местная неоднородная функция. Предикат принимает одно из двух значений 0- "ложь" и 1- "истина".

Например, предикат P(x1, x2,..., xn) является n-местным (п аргументов x1, x2,..., xn) предикатом, принимающим значения 0 или 1 в зависимости от значений аргументов. Причем значения x1, x2,... могут быть любыми:

принимать дискретные числовые значения 1, 2, 3,,..., непрерывно изменяться в каком-то диапазоне 0.5 - 2.8 ит.п.

Типичным примером предиката является запись какого-либо условия в программе работы ЭВМ:

IF SIN(x)<0 THEN y=1 ELSE y=0, означающий, если SIN(x)<0, то у=1, иначе у=0.

Другим примером технической реализации предикатов являются различные механические упоры, путевые электрические выключатели и т.п.

Пока, например, суппорт станка не наедет на путевой выключатель, его выходной сигнал 0, в противном случае 1. Такого рода предикаты изменяют свое значение при изменении аргумента и выходе его значения из какой-то области.

Оба рассмотренных выше примера относятся к одноместным (один аргумент) двузначным предикатом (значение 0 и 1).

В общем случае одноместный предикат Р(х) задаёт некоторое свойство элементов множества М и вполне определяется подмножеством тех объектов, на которых он принимает значение 1- "истина", что иллюстрируется рис.2.1.

Рис.2.1. Геометрическая интерпретация операций над предикатами (область истинных значений заштрихована) Множество объектов, на которых предикат Р(х) принимает значение "ложно", соответствует дополнению множества Р (см. рис.2.1).

Подмножество, на котором предикат Р(х) принимает значение "истина", называется характеристическим множеством.

Пусть на М определены два предиката Р(х) и Q(x), характеристическими подмножествами которых являются соответственно множества Р и Q.

Рассматривая предикаты как двузначные функции, можно с помощью операций алгебры логики строить новые одноместные предикаты на множестве М.

Подобным образом вводятся и другие логические операции дизъюнкции, импликации и др.

2.6. ЗАКОНЫ И ТОЖДЕСТВА БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ Неформально под булевой алгеброй понимают совокупность всех булевых функций. Причем зачастую на практике ограничиваются тремя булевыми функциями И, ИЛИ, НЕ. В булевой алгебре выполняются следующие законы и тождества:

1. Идемпотентность 2. Коммутативность 3. Ассоциативность 4. Дистрибутивность 5. Универсальность верхней и нижней границы 6. Закон де Моргана 2.7. ДВОЙСТВЕННОСТЬ И РАВНОЗНАЧНОСТЬ ФОРМУЛ БУЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ Причем, если две формулы равносильны, то двойственные им формулы также равносильны.

Указанные положения позволяют в ряде случаев упростить логические формулы или их преобразование.

2.8. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется [2] дизъюнкция конечного числа различных членов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию отдельных переменных или их отрицаний, входящих в данный член не более одного раза, например Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция конечного числа различных членов, каждый из которых представляет собой дизъюнкцию отдельных переменных или их отрицаний, входящих в данный член не более одного раза, например Приведение булевых формул к нормальной форме проводится следующим образом:

1. С помощью законов де Моргана (2.14) формула преобразуется к такому виду, чтобы знаки отрицания относились только к отдельным переменным.

2. На основе первого или второго дистрибутивного законов (2.12) формула сводится к дизъюнкции конъюнкций или конъюнкции дизъюнкций.

3. Полученное выражение упрощается в соответствии с тождествами идемпотентности (2.9) и универсальности верхней и нижней границ (2.13).

Для примера рассмотрим преобразование формулы к ДНФ.

С помощью законов де Моргана (2.14) преобразуем конъюнкцию последних двух членов (2.17) к следующемувиду:

подставив в (2.17) выражение (2.18), получим Раскрыв вторые скобки, найдем преобразуем это выражение еще раз, раскрыв оставшиеся скобки Упростив полученное выражение за счет первого его члена, к которому применим законы идемпотентности (2.9), запишем:

Применив к этому выражению второй закон дистрибутивности (2.12) получим и сделав обратную подстановку b = yz, запишем :

Применив к скобкам этого выражения второй закон дистрибутивности, преобразуем последнее выражение к виду подставив это выражение в (2.19) вместо первой скобки, запишем :

с учетомтого, что у у =1, окончательно получаем Полученное выражение является конъюнктивной нормальной формой.

Если исходная формула содержит другие операции, то перед преобразованием они предварительно выражаются через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

2.9. СОВЕРШЕННЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ Если в каждом члене нормальной формы представлены все переменные либо в прямом, либо в инверсном виде, то она называется совершенной нормальной формой [2].

Доказано, что любая булева функция имеет одну и только одну совершенную дизъюнктивную (СДНФ) иконъюнктивную(СКНФ) нормальную форму.

Например:

Если какой-нибудь член дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы не содержит какой-либо переменной х1 то она вводится тождественным преобразованием.

ВСДНФ В СКНФ Правильность такого преобразования основывается на следующем свойстве:

что подтверждается таблицей истинности Таблица 2.Таблица истинности булевых функций х x, хх На основании же свойств универсальности верхней и нижней границы (2.13) В качестве примера приведения формул к совершенной форме рассмотрим два случая:

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.