WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |

Поскольку х принадлежит последнему множеству, то оно является подмножеством исходного множества (1.3) (по определению подмножеств), т.е.

Аналогично доказывается и соотношение В соответствии с определением равенства множеств приходим к требуемому тождеству [4]:

1.4. УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО При рассмотрении множеств порядок следования элементов в них не учитывается, однако во многих случаях необходимо рассматривать упорядоченный набор элементов в множестве, например, порядок цифр при записи конкретного числа или последовательность букв в слове [1,3].

Кортежем, или вектором, называется множество, содержащее упорядоченный набор элементов, которые в этом случае называются компонентами или координатами.

В кортеже место каждой компоненты является строго фиксированным и не может быть изменено, в отличие от обычного множества в кортеже могут быть и одинаковые компоненты.

Например, одинаковые буквы в слове или одинаковые операции в технологическом процессе. Задание кортежа производится так же, как и обычных множеств, отличие состоит лишь в том, что используются круглые скобки.

Например: A=(a1, a2,... an) для детали, изображенной на рис. 1.1, последовательность операций технологической обработки также может быть записана в виде кортежа:

А = (токарная обработка, нарезание резьбы, фрезерование шпоночного паза, изготовление зубчатого колеса).

Число элементов кортежа называется его длиной, кортежи длиной часто называют упорядоченными парами,или просто парами, длиной 3 тройками, длиной 4 - четверками и т.д., длиной п - ми.

Частным случаем кортежа является кортеж длиной называемый пустым кортежем и обозначаемый ( ) или.

Кортеж длиной 2 А=(a1, a2) можно рассматривать как точку на плоскости или вектор, проведенный из начала координат в данную точку, как это показано на рис. 1.7.

Компоненты a1, a2 кортежа А= (a1, a2) будут его проекциями на оси 1 и Аналогичным образом кортеж длиной 3 можно представить пространственным вектором, проекции которого на оси координат являются его компонентами Однако в данном случае можно говорить о проекции кортежа сразу на две оси, т.е. на координатные плоскости:

1.5. ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ Произведением множеств (его также называют прямым или Декартовым произведением) АхВ называется множество, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар (кортежей), первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - В Например, если А={a1, a2, a3}, B= {b1, b2}, то Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре определяется порядком следования перемножаемых множеств, поэтому Произведение множеств может обобщаться на любое их количество В результате получается множество кортежей, длина которых равна n.

Произведение двух или трех множеств имеет простую геометрическую интерпретацию - это множество точек в прямоугольных координатах на плоскости или в пространстве, заданных кортежами, компонентами которых являются координаты этих точек. Так, геометрическая интерпретация рассмотренного выше примера имеет вид, показанный на рис. 1.8.

Таким образом, в результате произведения множеств получаются кортежи, образованные из элементов исходных множеств по правилу "каждый с каждым" в порядке следования перемножаемых множеств.

Произведение множеств часто используется на практике, например, два станка a1, a2 образующих множество А={a1, a2}, сравниваются по точности и стоимости, при этом из элементов множества А необходимо образовать упорядоченные пары, состоящие в данном случае из его элементов a1, a2.

(первый и второй станок). При этом на первом месте в упорядоченной паре будет находиться станок лучший по точности, а на втором - по стоимости.

Результаты анализа отражаются следующим множеством :

элементы которого имеют следующее значение :

a1, a2 - станок 1 точнее, станок 2 дешевле;

a1, a2- станок 1 точнее и дешевле;

a1, a2 - станок 2 точнее, станок 1 дешевле;

a1, a2 - станок 2 точнее и дешевле.

Заметим теперь, что А* =АхА, т.е. проведенный анализ может быть выполнен с помощью, произведения множеств.

1.6. ОТОБРАЖЕНИЯ, ФУНКЦИИ, ФУНКЦИОНАЛЫ, ОПЕРАТОРЫ Отношения между множествами не исчерпываются только отношениями включения, объединения, пересечения, дополнения и т. д. Между элементами множеств могут существовать также отношения соответствия, когда элементы множеств могут сопоставляться друг с другом [1,3].

Отображением F множества А в множество В называется правило, по которому каждому элементу a A сопоставляется элемент b B, что записывается следующим образом :

Часто при этом множество А называют прообразом, а множество элементов b, находящихся в соответствии с элементами a A,- образом, который обозначают ImF, причем ImF B.

Геометрическая интерполяция отображения может быть при этом такой, как показано на рис. 1.9.

Наиболее просто задать отображение с помощью перечисления (списка значений).

Рис. 1.9. Геометрическая интерпретация отображения с помощью понятия областей Например: определив множество А как множество операций по изготовлению шестерни (см. рис. 1.1), т.е.

А = (токарная обработка= a1, нарезание резьбы= a2, фрезерование шпоночного паза= a3, изготовление зубчатого колеса= a4), а множество В как множество металлообрабатывающего оборудования на участке, т.е.

В= (токарные станки = b1, b2, фрезерные станки = b3, b4, шлифовальный станок = b5, зуборезный станок = b6), то изготовление шестерни (см. рис. 1.1) на участке можно представить изображением Последнее выражение иллюстрируется рис. 1.10.

Причем отображение F из А в В может быть различным Отображение называется функцией f (f:A—>B), если устанавливает соответствие между числовыми множествами.

Например: определим А как множество движений при перегрузке палеты транспортным механизмом на металлорежущий станок А= {a1, - вертикальное перемещение, a2 - горизонтальное перемещение, a3 - вращение}, а множество В как множество механизмов, реализующих различные виды движений, например:

В={ b1 - рейка-реечное колесо, b2 - винтгайка, b3 - кулачок-толкатель, b4 зубчатые колеса, b5 - гидромотор).

Тогда отображение F:A—>B, устанавливающее связь между движением и механизмом, реализующим движение, можно представить, например, как показано на рис. 1.11, что описывается выражением Причем отображение F из А в В может быть различным, например, Таким образом, отображение F определяет и конструкцию транспортного механизма. При этом необходимо учитывать механизмы, взаимодействующие с этим устройством, точность работы, быстродействие, наличие конкретных приводов и энергоносителей.

Часто функциональная зависимость элементов b B от элементов a A записывается в виде b=f(a). Функция может задаваться с помощью перечисления, однако чаще всего задается в виде математического выражения. Например: b=sin a.

Функционалом Ф называется отображение множества функций А в числовое множество В, например:

Оператором р называется отображение множества функций А в множество функций В.

Например р =d/dx, тогда для предыдущего примера получим 1.7. КОМПОЗИЦИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ. ОБРАТНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Композицией отображений F:A—> В и G:B—> С называется отображение Н:А —> С, полученное последовательным применением отображений F и G, при этом записывают H=F·G[1,3].

Графическая интерпретация комбинации отображений показана на рис. 1.12. Так например:

Графически эту комбинацию отражений H=F·G можно представить так, как это показано на рис. 1.13.

Рис. 1.13. Диаграмма отображений Отображение можно интерпретировать как операции обработки, выполняемые последовательно с одного установа заготовки, а их комбинацию как выполнение их за один проход, например, фасонным резцом.

Отображение F1:В—>А называется обратным к отображениюF:B—>A, если их комбинация обеспечивает возвращение к любому исходному элементу, принадлежащему множеству А и В, т.е.

На диаграмме отображений, например на рис. 1.13, обратное отображение характеризуется противоположным направлением стрелок. Отсюда следует, что обратное отображение существует лишь для однозначных отображений. Так, для предыдущего примера F не имеет обратного отображения, a G имеет.

1.8. БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ Бинарные отношения являются частным случаем отображения.

Бинарным отношением между множествами А и В называется закон, выделяющий в произведении множеств АхВ некоторое подмножество, называемое графиком бинарного отношения, состоящее из упорядоченных пар (кортежей), первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая - В, и устанавливающее определенное соответствие между этими компонентами, Если компоненты a A и b B находятся в бинарном отношении, записывают ab.

В качестве примера бинарного отношения можно привести рассматривавшиеся ранее отображения, устанавливающие связь между типом металлорежущего станка и операциями, выполненными на нем при изготовлении определенной детали. Если A={множество гаек}, В= {множество болтов}, то в качестве бинарного отношения может выступать определенный тип резьбы, обеспечивающий резьбовое соединение между гайкойиболтом, например, множество болтов и гаек, имеющих резьбу М8.

Бинарные отношения имеют очень большое практическое значение.

Они позволяют с математической точки зрения исследовать работу различных устройств, производить их конструирование. К таким устройствам относятся управляющие вычислительные комплексы, системы числового программного управления, различные автоматические устройства дискретного действия, автоматические склады, роботы и т.п.

Все тригонометрические и арифметические операции, устанавливающие связь между двумя величинами, являются частным случаем бинарных отношений. Поскольку связь между ними на координатной плоскости отображается графиком, то этот термин получил распространение для обозначения бинарных отношений между двумя элементами множеств.

В том случае, если между элементами множеств бинарные отношения отсутствуют, отношение называют пустым с графиком =.

Полным бинарным отношением называют график, полностью определенный на произведении множеств А и В =АхВ.

Бинарное отношение может быть также задано на одном множестве АхА, ={(а,а)/ a A}, в этом случае часто выделяют бинарное отношение, называемое диагональным, 1.9. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ Бинарное отношение задается с помощью графика несколькими способами в зависимости от того, между какими элементами и какая устанавливается связь.

Задание с помощью перечисления (списка) не отличается от рассмотренного ранее.

Например, если то при этом график имеет вид Задание с помощью матрицы состоит в том, что в случае конечных множеств А={a1, a2, … am }, B= {b1, b2, … bm } бинарное отношение между ними можно задать соответствующей матрицей, которая имеет вид Для предыдущего примера матрица имеет вид Заметим, что отрицание отношения также устанавливает бинарное отношение, при этом его матрица для предыдущего примера имеет вид Для диагонального бинарного отношения, заданного на одном множестве ={(аi, аi)/ a A}, матрица квадратная, ее диагональ заполнена На рис. 1.15 ирис. 1.16приведены диаграммы графиков диагонального бинарного отношения и полного бинарного отношения для множеств При рассмотрении бинарных отношений, заданных графиком, часто используют понятие сечения (аi) по аi, которое является множеством элементов b B таких, что (аi b).

Так, для примера (1.5) имеем В матрице элементы сечения отмечены единицами в строках, соответствующих компонентам аi по которым производится сечение, в диаграммах - концами стрелок, исходящих из одинаковых компонент аi.

1.10. ОПЕРАЦИИ НАД БИНАРНЫМИ ОТНОШЕНИЯМИ Поскольку бинарные отношения являются разновидностью множеств, то для них справедливы все теоретико-множественные операции, рассмотренные ранее.

Бинарное отношение между А и В устанавливается исходя из закона функционирования робота, обслуживающего эти станки, который подает детали из накапливающих устройств к станкам в двух технологических режимах, каждый из которых характеризуется своим бинарным отношением и. Например:

или в форме диаграмм, показанных на рис. 1.17, рис. 1.18,или в табличной форме Рис.1.17. Диаграмма графика Рис.1.18. Диаграмма графика Объединением отношений и называется множество упорядоченных пар, которое принадлежит или Это объединение изображено на диаграмме, показанной на рис.1.19.

В данном случае операция объединения U охватывает все возможные движения робота по передаче заготовок в обоих технологических процессах.

Другие теоретико-множественные операции с отношениями выполняются аналогично этим операциям с множествами. Так, операция пересечения множеств имеет вид Для выполнения этой операции при табличной форме задания графиков и необходимо матрицы поэлементно умножить. Операция разности отношений имеет вид Операция дополнения (отрицания отношения) имеет вид При матричной форме задания и эта операция выполняется следующим образом :

Нередко бинарные отношения устанавливаются между тремя множествами Для (1.9), (1.10) имеем Композиция отношений иллюстрируется приведенными ниже диаграммами на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Диаграмма композиции отношений В том случае, если элемент матрицы · не равен единице, но отличается от нуля, он заменяется единицей.

1.11. СВОЙСТВА БИНАРНЫХ ОТНОШЕНИЙ Бинарные отношения обладают рядом свойств, основные из них следующие:

1. Рефлексивность.

Бинарное отношение на множестве АхА называется рефлексивным, если любой элемент этого множества а находится сам с собой в бинарном отношении, т.е.

Например, отношение "равно" рефлексивно.

Главная диагональ матрицы рефлексивного бинарного отношения содержит только единицы.

2. Антирефлексивность.

Бинарное отношение на множестве АхА называется антирефлексивным, если ни один элемент а этого множества не находится в бинарном отношении сам с собой (не выполняется свойство рефлексивности).

Например, отношение "больше" антирефлексивно.

Главная диагональ матрицы антирефлексивного бинарного отношения содержит только нули.

3. Симметричность.

Например, расстояние между двумя точками.

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали -Отсюда следует, что для симметричности достаточно, чтобы =, т.е. прямое и обратное отношения были равны, т.к.

Например, - "меньше или равно", тогда Например, отношение "больше" асимметрично а>b.

Матрица асимметричного отношения несимметрична и имеет нули в главной диагонали.

Свойства 3-5 легко распространяются на множество АхА.

6. Транзитивность.

1.12. БИНАРНОЕ ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ Эквивалентность - строгое математическое обоснование понятий "одинаковость", "неразличимость", обозначается "~", удовлетворяет следующим свойствам бинарных отношений:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 7 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.