WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 26 |

Таким образом, ложное равновесие – это такое стабильное информационное равновесие, которое не является равновесием в случае одинаковой информированности агентов (в условиях общего знания).

Пример 3. Пусть в рефлексивной биматричной игре, где = {1, 2}, выигрыши заданы биматрицами (агент 1 выбирает строку, агент 2 – столбец, то есть X1 = X2 = {1; 2}) на рисунке 29.

= 1 = (2,2) (4,1) (2,2) (0,3) (1,4) (3,3) (3,0) (1,1) Рис. 29. Матрицы выигрышей в примере Пусть, далее, в реальности = 2, однако оба агента считают общим знанием = 1. Каждый агент наблюдает пару (x1, x2), которая и является функцией наблюдения.

Информационным равновесием является выбор каждым агентом действия 1. Если бы общим знанием было бы реальное состояние природы, равновесным был бы выбор каждым агентом действия 2. Таким образом, выигрыши агентов в информационном равновесии оказываются большими, чем если бы общим знанием было реальное состояние природы. • 3.3. СЛУЧАЙ НАБЛЮДАЕМЫХ ДЕЙСТВИЙ АГЕНТОВ В разделе 2.2 приведено определение информационного равновесия, которое может интерпретироваться как набор субъективных равновесий – i-й (реальный) агент, i N, обладающий структурой информированности Ii, определяет набор действий * ( xi (Ii)), который является равновесием с его субъективной точки зрения. В частности, он ожидает от j-го реального агента, * j N, выбора действия xij (Iij) (напомним, что фантомный ij-агент является образом j-го агента в представлениях i-го).

В этом разделе мы рассмотрим случай, когда функцией наблюдения является вектор действий всех агентов:

wi (, x1,…, xn) = (x1,…, xn).

Тогда стабильным является информационное равновесие * x* = ( xi )i N,, удовлетворяющее следующему соотношению:

* (1) i N, xi = xi*.

Соотношение (1) означает, что действие любого реального агента совпадает с действием, ожидаемым от него любым другим (реальным или фантомным) агентом.

Введем следующее предположение относительно целевых функций fi() и множеств, Xi:

А1. Для любых i N,, любых представлений i и 'i таких, что i 'i, и для любой обстановки игры * xi,-i X-i = X j j i * * (2) BRi(i, xi,-i ) BRi('i, xi,-i ) =, * * * * * где BRi(i, xi,-i ) = Arg max fi(i, xi1,..., xi,i-1, yi, xi,i +1,..., xin ).

yi X i Утверждение 13. Пусть выполнено предположение А1 и существует информационное равновесие x*. Тогда x* является стабильным информационным равновесием в том и только том случае, если структура информированности игры такова, что (3) i N, i = i.

Доказательство. Пусть выполнено (3). Тогда структура информированности игры имеет единичную глубину и i N, * * Ii = Ii, откуда сразу следует равенство xi = xi (см.

второе условие в определении информационного равновесия).

Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть выполнено условие (1), но существуют такие i N и, что i i.

* Поскольку xi* и xi являются компонентами информационного равновесия x*, они удовлетворяют соотношениям * BRi (i, xi*-i ), xi, * * i x BRi (i, xi,-i ).

С учетом (1) последнюю систему можно записать в виде * * x BRi (i, x-i ), i * * BRi (i, x-i ), xi * * откуда следует, что BRi(i, x-i ) BRi('i, x-i ).

Пришли к противоречию с (2). • Следствие. Если выполнено предположение А1, то стабильные информационные равновесия могут возникать только в рамках структур информированности, удовлетворяющих (3), то есть в рамках структур информированности единичной глубины. При этом, в частности, невозможны ложные равновесия.

Уместно отметить аналогию между условием А1 и «условием равноправия функций предпочтения» в [16, с. 259].

При ослаблении требования (1) результат утверждения 13 теряет силу. Например, если считать «стабильным» информационное равновесие x*, удовлетворяющее свойству (4) i, j N x* = xi* ji (действие любого реального агента совпадает с действием, ожидаемым от него любым другим реальным агентом), то в рамках предположения А1 существуют структуры информированности, не удовлетворяющие (3), при которых соответствующие информационные равновесия «стабильны» в смысле (4).

Утверждение 13 важно как с точки зрения задач анализа, так и с точки зрения задач синтеза. Действительно, оно позволяет при исследовании свойств информационных равновесий для определенного класса ситуаций (определяемых предположением А1) выделять при помощи условия (3) множества информационных структур, при которых информационные равновесия могут быть стабильными. С точки зрения задачи информационного управления, утверждение 13 накладывает ограничения на множество управляющих воздействий, приводящих к стабильному равновесию игры управляемых субъектов.

Пусть теперь по-прежнему действия агентов наблюдаемы, т.е.

стабильность определяется условием (1). Однако каждый из n агентов характеризуется своим типом ri 0, i N, и тип агента достоверно ему известен, но, вообще говоря, не известен остальным агентам. Будем считать, что целевая функция i-го агента имеет вид fi(ri, x), т. е. зависит от его собственного типа, но не от типов оппонентов. Относительно типов каждый из агентов имеет иерархию представлений Ii, состоящую из следующих компонент:

rij – представление i-го агента о типе j-го агента, rijk – представление i-го агента о представлениях j-го агента о типе k-го агента и т.д., i, j, k N.

Содержательное различие между обсуждениями в терминах неопределенного параметра и в терминах вектора типов r = (r1, r2, …, rn) n состоит в следующем. В первом случае + более естественным является предположение о том, что значение (состояние природы) так или иначе наблюдается агентом (является значимым аргументом функции наблюдения). Во втором случае, напротив, типы оппонентов, предположительно, не являются наблюдаемыми (не являются аргументами функции наблюдения).

При этом, согласно утверждению 12, все стабильные равновесия являются истинными. Поэтому сосредоточим внимание на исследовании стабильности.

В рассматриваемом случае предположение А1 и утверждение 13 перепишем следующим образом.

А1r. Для любых i N,, любых представлений ri и r'i * таких, что ri r'i, и для любой обстановки игры xi,-i X-i * * BRi(ri, xi,-i ) BRi(r'i, xi,-i ) =, * * * * * где BRi(ri, xi,-i ) = Arg max fi(ri, xi1,...,xi,i-1, yi, xi,i+1,...,xin).

yi X i Утверждение 13r. Пусть выполнено предположение А1r и существует информационное равновесие x*. Тогда x* является стабильным информационным равновесием в том и только в том случае, если структура информированности игры такова, что i N, ri = ri.

Доказательство утверждения 13r дословно повторяет доказательство утверждения 13, надо лишь заменить на r и А1 на А1r.

Определим следующие множества:

– множество пар (x, I) таких, что x X', I и вектор действий реальных агентов x является равновесным1 при структуре информированности I, где – множество всевозможных структур информированности.

– множество X(I) X' векторов действий реальных агентов, являющихся равновесными при структуре информированности I;

– множество I(x) информационных структур, при которых вектор действий реальных агентов x является равновесным (решение обратной задачи).

Определим также подмножества этих множеств, выделяемые требованием стабильности информационного равновесия:

– множество s пар (x, I) таких, что x X', I и вектор x является стабильно-равновесным2 при структуре информированности I;

– множество Xs(I) X' векторов действий агентов, являющихся стабильно-равновесными при структуре информированности I;

– множество Is(x) информационных структур, при которых вектор действий реальных агентов x является стабильно-равновесным.

Обозначим через I0 структуру информированности единичной глубины, которая соответствует тому, что вектор r истинных типов агентов является общим знанием. Заметим, что Xs(I0) = X(I0) – То есть является «реальной» частью информационного равновесия, являющегося набором действий как реальных, так и фантомных агентов.

То есть является «реальной» частью стабильного информационного равновесия.

любой равновесный вектор, соответствующий общему знанию, – является стабильно-равновесным.

В терминах введенных множеств истинное равновесие образует любая пара (x, I) s такая, что (x, I0). Содержательно это означает, что вектор действий x останется (стабильно-)равновесным, если вектор типов станет общим знанием.

Ложное равновесие образует любая пара (x, I) s такая, что (x, I0). Содержательно это означает, что вектор действий x перестанет быть равновесным, если вектор типов станет общим знанием.

* * Пусть вектор x* = ( x1,…, xn ) является стабильно-равновесным.

Определим для каждого i N следующие множества:

* * i = {ri+ | xi BRi (ri, x-i ) }.

Эти множества не зависят от структуры информированности.

Поэтому они позволяют сформулировать два утверждения, проясняющие связь между структурой информированности и стабильностью равновесия.

Утверждение 14. Пусть x* – стабильно-равновесный вектор действий реальных агентов. Если для любого i N множество i состоит ровно из одного элемента, то вектор типов является общим знанием (и, соответственно, равновесие истинное).

Доказательство. Пусть x* – стабильно-равновесный вектор и для любого i N множество i состоит ровно из одного элемента.

Предположим, что существуют такие i и, что ri ri. Из стабильности равновесия вытекает, что * xi* BRi (ri, x-i ), * xi* BRi (ri, x-i), откуда по определению множества i вытекает, что несовпадающие ri и ri принадлежат этому множеству. Получили противоречие с тем, что оно состоит из одного элемента. • Утверждение 15. Если вектор действий реальных агентов x* является стабильно-равновесным при некоторой структуре информированности, то для элементов этой структуры при любых i N и выполняется ri i.

Доказательство. Пусть равновесие является стабильным. Тогда * i N выполняется xi* BRi (ri, x-i ), т. е. ri i. • Утверждение 15 накладывает довольно жесткие требования на структуру информированности: если равновесие является стабильным, то все типы реальных агентов, а также представления о типах принадлежат множествам i.

3.4. РЕФЛЕКСИВНЫЕ ИГРЫ И БАЙЕСОВЫ ИГРЫ Наряду с рефлексивными играми возможным методом теоретико-игрового моделирования в условиях неполной информированности являются байесовы игры, предложенные в конце 60-х годов XX в. Дж. Харшаньи [170]. В байесовых играх вся частная (т.е. не являющаяся общим знанием) информация, имеющаяся у агента на момент выбора им своего действия, называется типом агента. При этом каждый агент, зная свой тип, имеет и предположения о типах остальных агентов (в виде вероятностного распределения). Формально байесова игра описывается следующим набором:

– множеством N агентов;

– множествами Ri возможных типов агентов, где тип i-го агента ri Ri, i N, вектор типов r = (r1, r2, …, rn) R’ = Ri ;

iN – множеством X’ = X допустимых векторов действий i iN агентов;

– набором целевых функций fi: R’ X’ 1 (целевая функция агента зависит в общем случае от типов и действий всех агентов);

– представлениями Fi(|ri) (R-i), i N, агентов (здесь через R-i обозначено множество всевозможных наборов типов всех агентов, кроме i-го, R-i = Rj, а через (R-i) обозначено jN \{i} множество всевозможных вероятностных распределений на R-i).

Решением байесовой игры является равновесие Байеса–Нэша, * определяемое как набор стратегий агентов вида xi : Ri Xi, i N, которые максимизируют математические ожидания соответствующих целевых функций:

* (1) i N xi*(ri ) Arg max fi(r, xi, - i (r-i)) dFi(r-i| ri), x xiXi r-i Rj ji * где x-i (r-i) обозначает набор стратегий всех агентов, кроме i-го.

Подчеркнем, что в байесовой игре стратегией агента является не действие, а функция зависимости действия агента от его типа.

Модель Дж. Харшаньи можно интерпретировать различным образом (см. [170]). В соответствии с одной интерпретацией все агенты знают априорное распределение типов F(r) (R’) и, узнав собственный тип, вычисляют из него по формуле Байеса условное распределение Fi(r-i| ri). В этом случае представления агентов {Fi(|)}iN называются согласованными (и, в частности, являются общим знанием – каждый агент может их вычислить, знает, что это могут сделать остальные и т. д.).

Другая интерпретация состоит в следующем. Пусть существует некоторый набор потенциальных участников игры всевозможных типов. Каждый такой «потенциальный» агент выбирает свою стратегию в зависимости от своего типа, после чего случайным образом выбирается n «актуальных» участников игры. В этом случае представления агентов, вообще говоря, не обязательно согласованы (хотя и являются общим знанием). Отметим, что в [170] эта интерпретация названа игрой Зельтена (Р. Зельтен – лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года, вместе с Дж. Нэшем и Дж. Харшаньи).

Теперь рассмотрим ситуацию, когда условные распределения не обязательно являются общим знанием. Удобно описывать ее следующим образом. Пусть выигрыши агентов зависят от их действий и от некоторого параметра («состояния природы», которое может интерпретироваться и как набор типов агентов), значение которого не является общим знанием, т. е. целевая функция i-го агента имеет вид fi (, x1,..., xn ) : X’ 1, i N. Как было отмечено во второй главе данной работы, выбору агентом своей стратегии логически предшествует информационная рефлексия – размышления агента о том, что каждый агент знает (предполагает) о параметре, а также о предположениях других агентов и пр. Тем самым, мы приходим к понятию структуры информированности агента, отражающей его информированность о неизвестном параметре, о представлениях других агентов и т. д.

В [177] в рамках вероятностной информированности (представления агентов включают в себя следующие компоненты: вероятностное распределение на множестве состояний природы; вероятностное распределение на множестве состояний природы и распределениях на множестве состояний природы, характеризующих представления остальных агентов, и т. д.) было построено универсальное пространство возможных взаимных представлений (universal beliefs space). При этом игра формально сводится к некоей «универсальной» байесовой игре, в которой типом агента является вся его структура информированности. Однако предложенная в [177] конструкция настолько громоздка, что найти решение «универсальной» байесовой игры в общем случае, по-видимому, невозможно.

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.