WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |

Таким образом, сложность данной структуры информированности равна пяти, а глубина равна двум. Граф рефлексивной игры изображен на рис. 5.

x x 1 x x x 31 Рис. 5. Граф рефлексивной игры в примере Для нахождения информационного равновесия надо решить следующую систему уравнений (см. выражение (1) раздела 2.2):

* * - x2 - x* x* =, x = 3, * * x* = - x1 - x* x2 = 9,, 1- x31 * x* = * - x32 x* =,, 3 3 * * x* =, 1- x32 - x* =, x * * * 1- x31 - x3 x32 = 1.

* x = 3, Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: x1* = x2* = 9/20, x3* = 1/5. • Пример 5. Пусть все трое агентов оптимисты, первый и второй взаимно информированы, второй и третий также взаимно информированы. По мнению первого агента, третий считает всех троих одинаково информированными пессимистами; также и первый агент, по мнению третьего, считает всех троих одинаково информированными пессимистами.

Имеем: I1 >< I2, I2 >< I3, I1 ~13 I2 ~13 I3, I1 ~31 I2 ~31 I3.

Эти условия можно записать в виде следующих тождеств, имеющих место для любого (воспользуемся соответствующими определениями и утверждениями 1, 2, 5):

I12 = I2, I131 = I131, I132 = I132, I133 = I13, I21 = I1, I23 = I3, I311 = I31, I312 = I312, I313 = I313, I32=I2.

Аналогичные соотношения выполняются для равновесных действий x*.

Левые части этих тождеств показывают, что любая структура I при ||>3 тождественна некоторой структуре I, ||<||. Поэтому глубина структуры I не превосходит трех и, следовательно, она имеет конечную сложность. Правые части тождеств показывают, что в базис могут входить лишь следующие структуры информированности: I1, I2, I3, I31, I13, I131, I132, I312, I313.

Далее, для любого справедливы соотношения 131 = 31 = 313 = 13 = 132 = 312 = 1, из которых вытекают тождества I131 = I31, I313 = I13, I132 = I312.

Таким образом, базис образуют следующие попарно различные структуры: {I1, I2, I3, I31, I13, I132}. Cложность данной структуры информированности равна шести, а глубина равна трем. Граф соответствующей рефлексивной игры изображен на рисунке 6.

xx1 xx13 xxРис. 6. Граф рефлексивной игры в примере Для нахождения информационного равновесия надо решить следующую систему уравнений (см. выражение (1) раздела 2.2):

* * - x2 - x* x =, * x = 3, * * x* = - x1 - x* x2 = 12,, * * x = 2 - x31 - x2, * * x3 =, 3 * * * * x = 1- x132 - x13, x31 = 1, * * * * x13 = 1 - x31 - x132, x13 =, * * * * x132 = 1 - x31 - x13, x = 5.

Таким образом, действия реальных агентов в ситуации информационного равновесия будут следующими: x1* = x3* = 17/35, x2* = 12/35. • Завершив описание графа рефлексивной игры, рассмотрим еще один способ наглядного представления информационной структуры игры.

2.4. РЕГУЛЯРНЫЕ СТРУКТУРЫ ИНФОРМИРОВАННОСТИ В разделе 2.1 было введено понятие структуры информированности – бесконечного дерева, отражающего иерархию представлений агентов в рефлексивной игре. В разделе 2.2 определено информационное равновесие (как решение рефлексивной игры), существующее в случае, когда структура информированности конечна. Конечность информационной структуры по своему определению означает не конечность ее дерева, а существование конечного базиса, в рамках которого рассмотрение фантомных агентов, имеющих ту же информированность, что и другие реальные или фантомные агенты, не дает новой информации и поэтому нецелесообразно.

Если априори имеется (например, построено исходя из содержательных соображений) конечное дерево, отражающее несколько первых уровней представлений агентов, то в общем случае нельзя однозначно сказать, какой бесконечной информационной структуре оно соответствует. Другими словами, может существовать множество информационных структур, любое конечное число верхних уровней которых совпадает.

Поэтому для определения информационного равновесия по конечному дереву представлений агентов необходимо введение дополнительных предположений. Например, можно постулировать, что каждый фантомный агент, соответствующий нижнему уровню конечного дерева представлений, при определении своего действия считает, что агент, соответствующий предыдущему уровню иерархии, адекватно информирован о нем (см. предположения Пm в [78] и субъективные байесовы равновесия в [184]).

В настоящем разделе рассматриваются регулярные структуры информированности, обладающие, в частности, тем свойством, что, если задано конечное дерево представлений и известно, что информационная структура регулярна, то информационное равновесие определяется однозначно. Для регулярных структур информированности удается получить конструктивные условия существования информационного равновесия; кроме того, они оказываются полезны при решении задачи информационного управления (см. главу 4).

Как отмечалось выше, понятие структуры информированности является довольно общим и объемлет, в том числе, случаи, содержательная интерпретация которых представляется затруднительной. Поэтому введем в рассмотрение класс регулярных структур информированности, который, с одной стороны, является достаточно широким и охватывает множество реальных ситуаций, а с другой – легко описывается. Для задания этих структур введем вспомогательное понятие регулярного конечного дерева (РКД), которое определим рекуррентно.

Пусть в игре участвуют n агентов. Если (в простейшем случае) все агенты одинаково информированы, то структура информированности имеет сложность n и единичную глубину. Будем изображать эту ситуацию в виде дерева, состоящего из корневой верши ны, n ребер и n висячих вершин. На рисунке 7 изображено такое дерево для случая трех агентов (здесь и далее будем для большей наглядности отмечать в вершинах дерева вместо 1, 2, 12 и т.д.

просто 1, 2, 12 и т.д.).

1 2 2 2 Рис. 7. Регулярное конечное дерево Данному РКД соответствует граф рефлексивной игры, приведенный на рис. 8.

2 Рис. 8. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. Далее РКД может «расти» следующим образом: к каждой висячей вершине i,, присоединяется ровно n – 1 ребро, при этом возникает n – 1 висячая вершина ij, j = 1, …, i – 1, i + 1, …, n.

Построенное РКД будем интерпретировать так: если имеется висячая вершина i,, то i-агент одинаково информирован с -агентом (если – пустая последовательность, то i-агент является реальным, и его субъективные представления совпадают с объективными).

В качестве примеров регулярных структур информированности приведем все возможные (с точностью до перенумерации агентов) структуры глубины 2.

Начнем с РКД, изображенного на рис. 9.

1 2 2 2 12 2 Рис. 9. Пример РКД глубины Если 12 = 2 и 13 = 3, то опять получаем граф, приведенный на рис. 8. Если же хотя бы одно из этих равенств нарушено, получается граф рефлексивной игры, изображенный на рис. 10.

2 2 Рис. 10. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. Следующий случай РКД изображен на рис. 11.

1 2 2 2 12 13 21 2 2 2 Рис. 11. Пример РКД глубины Здесь возможны два варианта графов рефлексивной игры, не сводимых к предыдущим – см. рисунки 12 и 13.

12 2 Рис. 12. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. Рис. 13. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. Наконец, последний случай РКД изображен на рис. 14.

2 2 1 2 12 13 21 23 31 2 2 2 2 2 Рис. 14. Пример РКД глубины Этому случаю соответствуют три варианта графов рефлексивной игры, не сводимых к предыдущим – см. рисунки 15, 16 и 17.

Как видим, графы на рисунках 15 и 16 являются несвязными.

1 2 12 2 23 2 13 2 2 2 Рис. 15. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. 2 2 2 13 Рис. 16. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. 12 1 2 Рис. 17. Граф рефлексивной игры для РКД, приведенного на рис. Содержательная интерпретация каждой из семи возможных структур информированности глубины не более двух (см. рисунки 8, 10, 12, 13, 15-17) не вызывает затруднений. Остановимся на трех симметричных структурах (см. рисунки 8, 15 и 17).

Рис. 8 соответствует, как отмечалось выше, одинаковой информированности агентов. Их рефлексивные реальности совпадают. Можно сказать, агенты играют в одну игру, правила которой являются общим знанием.

Рис. 15 соответствует в некотором смысле противоположной ситуации. У агентов искаженные и попарно несогласованные представления друг о друге. Каждый из них считает, что все одинаково информированы, но все агенты заблуждаются. На самом деле каждый играет в свою игру.

Рис. 17 соответствует ситуации, когда каждый агент считает себя более информированным, чем остальные. Например: агенты провели переговоры, сообщив друг другу свои представления о неизвестном параметре, однако все трое скрыли свои истинные представления, считая при этом, что остальные двое были правдивы и поверили своим оппонентам. Возможна и несколько иная интерпретация того же рис. 17: агенты заключили договор, но каждый собирается его нарушить, считая при этом, что оппоненты считают договор стабильным – не собираются его нарушать, не ждут этого от оппонентов и т.д.

Рассмотрим теперь вопрос о существовании информационного равновесия для регулярных структур информированности.

Из построения РКД видно, что равновесные действия агентов (если они существуют) могут быть найдены «снизу вверх», то есть от висячих вершин к корню РКД. Пусть, например, для некоторого + висячими являются n – 1 вершин ij, j N \ {i}. Тогда, по определению РКД, n агентов из множества {ij}, j N, являются одинаково информированными (напомним, что в силу аксиомы автоинформированности (см. раздел 3.2) мы отождествляем i- и ii-агентов). Поэтому для их равновесных действий справедливы * * соотношения xijk = xik, j, k N, * * * * * (1) xij Arg max f (ij, xi1,..., xi, j -1, xij, xi, j +1..., xin), j N.

j xij X i Отметим, что остальные агенты находятся «вне поля зрения» рассматриваемых нами n агентов {ij}, jN.

Система (1) является записью «обычного» равновесия Нэша в игре с общим знанием. Если она имеет решение, из нее, в частности, можно найти действие i-агента.

Далее, рассмотрим вершину, +, и вершины m, m N \{ ()} (напомним, что () – последний индекс в последовательности ), среди которых находится и вершина i. Все mагенты делятся на два множества: одинаково информированные с -агентом и прочие (к последним относится и i-агент). Чтобы удобнее было их разделять, введем обозначение:

N = {k N | Ik ~ I }.

Как мы видели, равновесное действие i-агента (и, аналогично, действия всех m-агентов, m N ) определяется независимо от действия прочих m-агентов, m N. Поэтому все k-агенты, * k N, могут просто подставить действия xm, m N, в свои целевые функции. Таким образом, для вычисления равновесных * действий xk, k N, надо решить систему уравнений * * * * * (2) xk = arg max fk (k, x 1,..., x,k -1, xk, x,k +1..., xn ), k N.

xk X k Система (2) является записью равновесия Нэша в игре kагентов, k N. Ее решение (если оно существует), позволяет * найти равновесное действие x.

Двигаясь от висячих вершин к корню, можно последовательно найти все равновесные действия. Для этого все системы типа (1) и (2) должны иметь решение. Таким образом, можно сформулировать следующее достаточное условие существования информационного равновесия для регулярных структур информированности (множество реальных агентов N, их целевые функции {fi}, множества допустимых действий {Xi}, а также множество возможных значений неопределенного параметра считаем фиксированными).

Утверждение 8. Пусть для любого непустого множества N N справедлив следующий факт: для любых k, k N, и * любых xm Xm, m N, существует равновесие Нэша в игре с * общим знанием k-агентов, то есть существуют xk, k N, удовлетворяющие * * * * * xk Arg max fk (k, x1,..., xk -1, xk, xk +1..., xn), k N.

xk X k Тогда для любой конечной структуры информированности существует информационное равновесие.

В заключение настоящего раздела отметим, что описанные свойства регулярных информационных структур будут использованы ниже (в главе 4) при исследовании задач информационного управления.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ 2.

РЕФЛЕКСИЯ В ХУДОЖЕСТВЕННЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЯХ Как было показано в главе 2, взаимную информированность реальных и фантомных агентов удобно описывать при помощи ориентированного графа рефлексивной игры, в котором вершины соответствуют реальным и фантомным агентам, а стрелки обозначают информированность одного агента (к которому направлена стрелка) о другом (от которого направлена стрелка). Например, граф 1 2 означает, что агенты 1 и 2 одинаково и адекватно информированы друг о друге, а граф 1 2 21 означает, что агент 1 информирован адекватно, а агент 2 заблуждается – неадекватно представляет себе оппонента.

Если для вычисления информационного равновесия необходимо знание функций выигрыша участников игры, то граф рефлексивной игры может быть построен и без конкретизации целевых функций агентов. При этом он отражает не количественное соотношение интересов, а качественное соотношение информированности рефлексирующих агентов.

Покажем на примерах, что граф рефлексивной игры является, в частности, способом отражения эффектов рефлексии в художественных призведениях [139].

Пример 1 («Детектив»). Пусть имеются преступник и следователь. Обозначим их, соответственно 1 и 2. Тогда процессу раскрытия преступления соответствует граф рефлексивной игры 1 2 21 (компонента 21 соответствует преступнику, которого следователь на данном этапе считает невиновным), а факту раскрытия преступления – переход к графу 1 2.

Аналогичная по сложности ситуация имеет место в романе Ф.М. Достоевского «Преступление и наказание». Раскольников не знает, что следователю известно, что он убийца. Обозначая их, соответственно, 1 и 2, получим, что с точки зрения Раскольникова имеет место 1 12 121, в то время как полный граф рефлексивной игры имеет вид, приведенный на рис. 18.

2 1 12 2 1 Рис. 18. Граф рефлексивной игры в сюжете «Детектив» Пример 2 («Шпионские страсти-1»). Пусть в ситуации участвуют два государства (А и В) и агент, который, будучи высокопоставленным чиновником государства А является одновременно осведомителем государства В, о чем государству А неизвестно.

Граф рефлексивной игры описанной ситуации изображен на рис. 19.

3 2 12 1 1 Рис. 19. Граф рефлексивной игры в сюжете «Шпионские страсти-1» Вершинам графа соответствуют следующие реальные и фантомные агенты: 1 – государство А; 2 – государство В; 3 – агент; – государство В, которое воспринимает агента как чиновника, верного государству А; 13 – агент – чиновник, верный государству А. • Легко видеть, что ситуация в сюжете «Любовный треугольник» также описывается структурой на рис. 19.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.