WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |

Исследуется ряд свойств структуры информированности (раздел 2.1).

Далее формулируется концепция решения рефлексивной игры – информационное равновесие (раздел 2.2).

В разделе 2.3 определяется удобное вспомогательное понятие графа рефлексивной игры – конструкции, позволяющей в наглядной форме изображать взаимную информированность агентов.

Здесь же приводится ряд примеров вычисления информационного равновесия.

В разделе 2.4 вводятся взаимосвязанные понятия регулярной структуры информированности и регулярного конечного дерева (РКД). С одной стороны, РКД является еще одним способом описания взаимной информированности агентов, с другой – регулярные структуры информированности обладают «хорошими» свойствами, которых нет у произвольных структур информированности.

Наконец, в разделе 2.5 показано, что язык графов рефлексивной игры может служить средством описания эффектов информационной рефлексии в художественных произведениях.

В контексте описанной в разделе 1.4 модели информационного управления материал данной главы охватывает цепь «информированность действие» (см. рис. 2).

Управляющий орган (центр) Управляющее воздействие Реальный результат НАБЛЮДАЕМЫЙ ИНФОРМИРЕЗУЛЬТАТ РОВАННОСТЬ ДЕЙСТВИЕ Агент(ы) Рис. 2. Предмет исследования в главе 2.1. ИНФОРМАЦИОННАЯ СТРУКТУРА ИГРЫ Рассмотрим множество N = {1, 2, …, n} агентов.

Если в ситуации присутствует неопределенный параметр (будем считать, что множество является общим знанием), то структура информированности Ii (как синоним будем употреблять термины информационная структура и иерархия представлений) i-го агента включает в себя следующие элементы. Во-первых, представление i-го агента о параметре – обозначим его i, i.

Во-вторых, представления i-го агента о представлениях других агентов о параметре – обозначим их ij, ij, j N. В-третьих, представления i-го агента о представлении j-го агента о представлении k-го агента – обозначим их ijk, ijk, j, k N. И так далее.

Таким образом, структура информированности Ii i-го агента задается набором всевозможных значений вида ij... jl, где l пробегает множество целых неотрицательных чисел, j1, …, jl N, а ij... jl.

Аналогично задается структура информированности I игры в целом – набором значений i...il, где l пробегает множество целых неотрицательных чисел, j1, …, jl N, а ij... jl. Подчеркнем, что структура информированности I «недоступна» наблюдению агентов, каждому из которых известна лишь некоторая ее часть (а именно – Ii).

Таким образом, структура информированности – бесконечное n-дерево (то есть тип структуры постоянен и является n-деревом), вершинам которого соответствует конкретная информированность реальных и фантомных агентов.

Рефлексивной игрой ГI назовем игру, описываемую следующим кортежем:

(1) ГI = {N, (Xi)i N, fi()i N,, I}, где N – множество реальных агентов, Xi – множество допустимых действий i-го агента, fi(): X’ 1 – его целевая функция, i N, – множество возможных значений неопределенного параметра, I – структура информированности.

Таким образом, рефлексивная игра [81, 82, 89] является обобщением понятия игры в нормальной форме, задаваемой кортежем {N, (Xi)i N, fi()i N}, на случай, когда информированность агентов отражена иерархией их представлений (информационной структурой I). В рамках принятого определения «классическая» игра в нормальной форме является частным случаем рефлексивной игры – игры с общим знанием. В «предельном» случае – когда состояние природы является общим знанием – предлагаемая в настоящей работе концепция решения рефлексивной игры (информационное равновесие – см. раздел 2.2) переходит в равновесие Нэша.

Совокупность связей между элементами информированности агентов можно изобразить в виде дерева (см. рис. 3). При этом структура информированности i-го агента изображается поддеревом, исходящим из вершины i.

… … 1 i n … … i1 ij in Рис. 3. Дерево информационной структуры Сделаем важное замечание: в настоящей работе мы ограничимся рассмотрением «точечной» структуры информированности, компоненты которой состоят лишь из элементов множества.

(Более общим случаем является, например, интервальная или вероятностная информированность.) Итак, рефлексивной является игра, в которой информированность игроков не является общим знанием. С точки зрения теории игр и рефлексивных моделей принятия решений целесообразно разделять стратегическую (см. ниже) и информационную рефлексию [128, 130, 131, 133].

Информационная рефлексия – процесс и результат размышлений игрока о том, каковы значения неопределенных параметров, что об этих значениях знают и думают его оппоненты (другие игроки). При этом собственно «игровая» компонента отсутствует, так как никаких решений игрок не принимает.

Иными словами, информационная рефлексия относится к информированности агента о природной реальности (какова игра), и о рефлексивной реальности (какой видят игру другие).

Информационная рефлексия логически предшествует рефлексии несколько иного рода – стратегической рефлексии.

Стратегическая рефлексия – процесс и результат размышлений игрока о том, какие принципы принятия решений используют его оппоненты (другие игроки) в рамках той информированности, которую он им приписывает в результате информационной рефлексии.

Таким образом, информационная рефлексия имеет место только в условиях неполной информированности, и ее результат используется при принятии решений (в том числе – при стратегической рефлексии). Стратегическая рефлексия имеет место даже в случае полной информированности, предваряя принятие игроком решения о выборе действия (стратегии). Другими словами, информационная и стратегическая рефлексии могут изучаться независимо, однако в условиях неполной информированности обе они имеют место.

Далее для формулировки некоторых определений и свойств нам понадобятся следующие обозначения:

+ – множество всевозможных конечных последовательностей индексов из N;

– объединение + с пустой последовательностью;

|| – количество индексов в последовательности (для пустой последовательности принимается равным нулю), которое выше было названо длиной последовательности индексов.

Если i – представления i-го агента о неопределенном параметре, а ii – представления i-го агента о собственном представлении, то естественно считать, что ii = i. Иными словами, i-й агент правильно информирован о собственных представлениях, а также считает, что таковы и другие агенты и т. д. Формально это означает, что выполнена аксиома автоинформированности, которую далее будем предполагать выполненной.

Аксиома автоинформированности:

i N, ii = i.

Эта аксиома означает, в частности, что, зная для всех + таких, что || =, можно однозначно найти для всех + таких, что || <.

Наряду со структурами информированности Ii, i N, можно рассматривать структуры информированности Iij (структура информированности j-го агента в представлении i-го агента), Iijk и т.д.

Отождествляя структуру информированности с характеризуемым ею агентом, можно сказать, что, наряду с n реальными агентами (iагентами, где i N) со структурами информированности Ii, в игре участвуют фантомные агенты (-агенты, где +, || 2) со структурами информированности I = {},. Фантомные агенты, существуя в сознании реальных агентов, влияют на их действия, о чем пойдет речь далее.

Определим фундаментальное для дальнейших рассмотрений понятие тождественности структур информированности.

Структуры информированности I и Iµ (, µ +) называются тождественными, если выполнены два условия:

1) = µ для любого ;

2) последние индексы в последовательностях и µ совпадают.

Будем обозначать тождественность структур информированности следующим образом: I = Iµ.

Первое из двух условий в определении тождественности структур прозрачно, второе же требует некоторых пояснений. Дело в том, что далее мы будем обсуждать действие -агента в зависимости от его структуры информированности I и целевой функции fi, которая как раз определяется последним индексом последовательности. Поэтому удобно считать, что тождественность структур информированности означает в том числе и тождественность целевых функций.

Утверждение 1. I = Iµ I = Iµ.

Доказательство. I = Iµ, = µ I = Iµ.Обратная импликация очевидна: достаточно положить равной пустой последовательности. •Содержательный смысл утверждения 1 состоит в том, что тождественность двух структур информированности в точности означает тождественность всех их подструктур.

Следующее утверждение является, по сути, иной формулировкой аксиомы автоинформированности.

Утверждение 2. i N, Iii = Ii.

Доказательство. i N, ii = i i N,, ii =i i N, Iii = Ii. • Определение тождественности структур информированности (как и последующие, приводимые в настоящем разделе) можно переформулировать так, чтобы соответствующее свойство структуры информированности выполнялось не объективно, а -субъективно – в представлении -агента ( +): структуры информиро Символ «•» здесь и далее обозначает окончание примера, доказательства и т.д.

ванности I и Iµ (, µ +) называются -субъективно тождественными, если I = Iµ.

В дальнейшем будем формулировать определения и утверждения сразу -субъективно для, имея в виду, что если – пустая последовательность индексов, то «-субъективно» означает «объективно».

Назовем -агента -субъективно адекватно информированным о представлениях µ-агента (или, короче, о µ-агенте), если Iµ = Iµ (, µ +, ).

Будем обозначать -субъективную адекватную информированность -агента о µ-агенте следующим образом: I > Iµ.

Утверждение 3. Каждый реальный агент -субъективно считает себя адекватно информированным о любом агенте, то есть i N + Ii >i I.

Доказательство. В силу утверждения 2 справедливо тождество Iii = Ii, что по определению -субъективно тождественных структур информированности означает, что Ii >i I. • Содержательно утверждение 3 отражает тот факт, что рассматриваемая точечная структура информированности подразумевает наличие у каждого агента уверенности в своей адекватной информированности о всех элементах этой структуры.

Будем говорить, что -агент и µ-агент являются -субъективно взаимно информированными, если одновременно выполнены тождества Iµ = Iµ, Iµ = I (, µ +, ).

Обозначим -субъективную взаимную информированность агента и µ-агента следующим образом: I >< Iµ.

Будем говорить, что -агент и µ-агент являются -субъективно одинаково информированными о -агенте, если I = Iµ (,, µ +, ).

Обозначим -субъективную одинаковую информированность -агента и µ-агента о -агенте следующим образом:

I >< Iµ.

Назовем -агента и µ-агента -субъективно одинаково информированными, если i N Ii = Iµi (, µ +, ).

Будем обозначать -субъективную одинаковую информированность -агента и µ-агента следующим образом: I ~ Iµ.

Отметим, что отношения одинаковой информированности о каком-либо агенте и одинаковой информированности являются отношениями эквивалентности, т.е. рефлексивны, симметричны и транзитивны на множестве агентов.

Покажем, что одинаковая информированность равносильна одинаковой информированности о любом агенте.

Утверждение 4. I ~ Iµ + I >< Iµ.

Доказательство. I ~ Iµ i N Ii = Iµi {в силу утверждения 1} i N Ii = Iµi {полагая = i} + I = Iµ + I >< Iµ. • Приведенные определения показывают, что описание ситуации в содержательных терминах адекватной, взаимной и одинаковой информированности опирается на тождество соответствующих структур информированности. Следующее утверждение касается связи введенных понятий друг с другом.

Утверждение 5. Для любого следующие три условия равносильны:

1) любые два реальных агента -субъективно являются взаимно информированными;

2) все реальные агенты -субъективно являются одинаково информированными;

3) для любого i N значение Ii -субъективно зависит только от i.

Иными словами, для любого выполнено:

( i, j N Ii >< Ij) (I1~…~ In) ( i N Ii = Ii).

Доказательство. Докажем для трех условий утверждения импликации 1 2, 2 3, 3 1.

12. Для любых i, j, m N имеем Ii > Im, Ij > Im, что означает выполнение тождеств Iim = Im, Ijm = Im. Отсюда Iim = Ijm, что доказывает условие 2 (с учетом утверждения 4).

23. Для пустой последовательности условие 3 тривиально, поэтому возьмем произвольную непустую последовательность +. Тогда = i1 … il (ik N, k = 1, …, l), при этом для любого i N справедливы следующие соотношения:

Ii = {в силу утверждения 2} = Iii = {поскольку Ii ~ Ii } = l Ii i = {в силу утверждения 2} = Ii ili = {поскольку Ii ~ Ii и в l l l l-силу утверждения 4} = Ii ili = … = Ii...ili = Ii.

l-1 31. Для любых i, j N имеем Iij = Ij, Iji = Ii, что означает Ii >< Ij. • Понятие тождественности структур информированности позволяет определить их важное свойство – сложность. Заметим, что наряду со структурой I имеется счетное множество структур I, +, среди которых можно при помощи отношения тождественности выделить классы попарно нетождественных структур. Количество этих классов естественно считать сложностью структуры информированности.

Будем говорить, что структура информированности I имеет конечную сложность = (I), если существует такой конечный набор попарно нетождественных структур { I, I, …, I }, 1 l +, l {1, …, }, что для любой структуры I, +, найдется тождественная ей структура I из этого набора. Если такого l конечного набора не существует, будем говорить, что структура I имеет бесконечную сложность: (I) =.

Структуру информированности, имеющую конечную сложность, будем называть конечной (еще раз отметим, что при этом дерево структуры информированности все равно остается бесконечным). В противном случае структуру информированности будем называть бесконечной.

Ясно, что минимально возможная сложность структуры информированности в точности равна числу участвующих в игре реальных агентов (напомним, что по определению тождественности структур информированности они попарно различаются у реальных агентов).

Любой набор (конечный или счетный) попарно нетождественных структур I, +, такой, что любая структура I, +, тождественна одной из них, назовем базисом структуры информированности I.

Если структура информированности I имеет конечную сложность, то можно определить максимальную длину последовательности индексов такую, что, зная все структуры I, +, || =, можно найти и все остальные структуры. Эта длина в определенном смысле характеризует ранг рефлексии, необходимый для описания структуры информированности.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.