WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 26 |

ИГРЫ И РАВНОВЕСИЯ Модель игры. Для описания коллективного поведения агентов недостаточно определить их предпочтения и правила индивидуального рационального выбора по отдельности. Как отмечалось выше, в случае, когда в системе имеется единственный агент, гипотеза его рационального (индивидуального) поведения предполагает, что агент ведет себя таким образом, чтобы выбором действия максимизировать значение своей целевой функции. В случае, когда агентов несколько, необходимо учитывать их взаимное влияние: в этом случае возникает игра – взаимодействие, в котором выигрыш каждого агента зависит как от его собственного действия, так и от действий других агентов. Если в силу гипотезы рационального поведения каждый из агентов стремится выбором действия максимизировать свою целевую функцию, то понятно, что в случае нескольких агентов индивидуально рациональное действие каждого из них зависит от действий других агентов.

Рассмотрим теоретико-игровую модель взаимодействия между n агентами. Каждый агент осуществляет выбор действия xi, принадлежащего допустимому множеству Xi, i N = {1, 2, …, n} – множеству агентов. Выбор действий агентами осуществляется однократно, одновременно и независимо.

Выигрыш i-го агента зависит от его собственного действия xi Xi, от вектора действий x-i = (x1, x2, …, xi-1, xi+1, …, xn) X-i = X j jN \{i} оппонентов N\{i} и от состояния природы2 и описывается действительнозначной функцией выигрыша fi = fi(, x), где x = (xi, x-i) = (x1, x2, …, xn) X’ = X – вектор действий всех j jN агентов. При фиксированном значении состояния природы совокупность Г = (N, {Xi}i N, {fi()}i N) множества агентов, множеств их допустимых действий и целевых функций называется игрой в Состояние природы может быть, в том числе, вектором, компоненты которого отражают индивидуальные характеристики агентов.

нормальной форме. Решением игры (равновесием) называется множество устойчивых в том или ином смысле векторов действий агентов [21, 33, 93, 96, 121, 167, 176, 180].

В силу гипотезы рационального поведения каждый агент будет стремиться выбрать наилучшие для него (с точки зрения значения его целевой функции) действия при заданной обстановке.

При этом обстановкой для него будет совокупность обстановки игры x-i X-i и состояния природы. Следовательно, принцип принятия им решения о выбираемом действии можно записать следующим образом (BR обозначает наилучший ответ – best response):

(1) BRi(, x-i) = Arg max fi(, xi, x-i), i N.

xi X i Рассмотрим возможные принципы принятия решений агентами, каждый из которых порождает соответствующую концепцию равновесия, то есть определяет, в каком смысле устойчивым должен быть прогнозируемый исход игры. Параллельно будем обсуждать ту информированность, которая необходима для реализации равновесия.

Равновесие в доминантных стратегиях. Если для некоторого агента множество (1) не зависит от обстановки, то оно составляет множество его доминантных стратегий. Совокупность доминантных стратегий агентов называется равновесием в доминантных стратегиях – РДС [33]. Если у каждого из агентов существует доминантная стратегия, то они могут принимать решения независимо, то есть выбирать действия, не имея никакой информации и не делая никаких предположений об обстановке. К сожалению, РДС существует далеко не во всех играх.

Для реализации агентами равновесия в доминантных стратегиях, если последнее существует, достаточно знания каждым из них только своей целевой функции и допустимых множеств X’ и.

Гарантирующее равновесие. Той же информированностью должны обладать агенты для реализации гарантирующего (максиминного) равновесия, которое существует почти во всех играх:

(2) xiг Arg max min min fi(, xi, x-i), i N.

xi X x-i X i -i Если хотя бы для одного из агентов множество (1) зависит от обстановки (то есть не существует РДС), то дело обстоит более сложным образом. Для исследования соответствующих случаев нам понадобится важное вспомогательное понятие общего знания.

Роль информированности. Общее знание. В теории игр, философии, психологии, распределенных системах и других областях науки (см. обзор в [168, 179]) существенны не только представления (beliefs) агентов о существенных параметрах, но и их представления о представлениях других агентов и т.д. Совокупность этих представлений называется иерархией представлений (hierarchy of beliefs) и в настоящей работе моделируется деревом информационной структуры рефлексивной игры (см. раздел 2.1). Другими словами, в ситуациях интерактивного принятия решений (моделируемых в теории игр) каждый агент перед выбором своего действия должен предсказать поведение оппонентов. Для этого у него должны быть определенные представления о видении игры оппонентами. Но оппоненты должны проделать то же самое, поэтому неопределенность относительно той игры, которая будет разыграна, порождает бесконечную иерархию представлений участников игры.

Приведем пример иерархии представлений. Предположим, что имеются два агента – А и Б. Каждый из них может иметь собственные нерефлексивные представления о неопределенном параметре, который мы будем в дальнейшем называть состоянием природы (state of nature, state of the world). Обозначим эти представления А и Б соответственно. Но каждый из агентов в рамках процесса рефлексии первого ранга может задуматься о представлениях оппонента. Эти представления (представления второго порядка) обозначим АБ и БА, где АБ – представления агента А о представлениях агента Б, БА – представления агента Б о представлениях агента А. Но этим дело не ограничивается – каждый из агентов в рамках процесса дальнейшей рефлексии (рефлексии второго ранга) может задуматься над тем, каковы представления оппонента о его представлениях. Так порождаются представления третьего порядка – АБА и БАБ. Процесс порождения представлений более высоких порядков может продолжаться до бесконечности (никаких логических ограничений увеличению ранга рефлексии не существует). Совокупность всех представлений – А, Б, АБ, БА, АБА, БАБ и т.д. – образует иерархию представлений.

Частным случаем информированности – когда все представления, представления о представлениях и т.д. до бесконечности совпадают – является общее знание. Более корректно, термин «общее знание» (common knowledge) введен в [175] для обозначения факта, удовлетворяющего следующим требованиям:

1) о нем известно всем агентам;

2) всем агентам известно 1;

3) всем агентам известно 2 и т.д. до бесконечности.

Формальная модель общего знания предложена в [159] и получила развитие во множестве работ – см.

[160, 161, 164, 165, 166, 169, 178, 179, 186 и др.].

В теории игр, как правило, предполагается, что все параметры игры являются общим знанием, то есть каждому агенту известны все параметры игры, а также то, что это известно всем агентам, и так далее до бесконечности. Такое предположение соответствует объективному описанию игры и дает возможность использовать концепцию равновесия Нэша [181] как прогнозируемого исхода некооперативной игры (то есть игры, в которой невозможны переговоры между агентами с целью создания коалиций, обмена информацией, совместных действий, перераспределения выигрышей и т.д.). Таким образом, предположение об общем знании позволяет утверждать, что все агенты знают, в какую игру они играют, и их представления об игре совпадают.

Равновесие Нэша. Определим многозначное отображение (3) BR(, x) = (BR1(, x-1); BR2(, x-2), …, BRn(, x-n)).

Равновесием Нэша [33, 96, 167, 180] при состоянии природы (точнее – параметрическим равновесием Нэша) называется точка x*() X’, удовлетворяющая следующему условию:

(4) x*() BR(, x*()).

Вложение (4) можно также записать в виде:

* i N, yi Xi fi(, x*()) fi(, yi, x-i( ) ).

Множество EN() всех точек вида (4) можно описать следующим образом:

(5) EN() = {x X’ | xi BRi(, x-i), i N}.

Для случая двух агентов альтернативным эквивалентным способом определения множества EN() является его задание в * * виде множества пар точек ( x1 (), x2 ()), одновременно * * множества пар точек ( x1 (), x2 ()), одновременно удовлетворяющих следующим условным соотношениям [167, 180]:

* * (6) x1 () BR1(, BR2(, BR1(,...BR2(, x2 ())...))), * * (7) x2 () BR2(, BR1(, BR2(,...BR1(, x1 ())...))).

Рассмотрим, какой информированностью должны обладать агенты, чтобы реализовать равновесие Нэша путем одновременного и независимого выбора своих действий.

По определению равновесие Нэша является той точкой, одностороннее отклонение от которой невыгодно ни для одного из агентов (при условии, что остальные агенты выбирают соответствующие компоненты равновесного по Нэшу вектора действий).

Если агенты многократно осуществляют выбор действий, то точка Нэша является в определенном смысле (см. подробности в [92]) устойчивой и может считаться реализуемой (как и в случае с РДС) в рамках знания каждым агентом только своей целевой функции и множеств X’ и. При этом, правда, необходимо введение дополнительных предположений о принципах принятия агентами решений о выборе действия в каждый момент в зависимости от истории игры [167, 180].

В настоящей работе рассмотрение ограничивается одношаговыми играми, поэтому в случае однократного выбора агентами своих действий знания ими только своих целевых функций и множеств X’ и для реализации равновесия Нэша уже недостаточно.

Поэтому введем следующее предположение, которое будем считать выполненным в ходе всего последующего изложения: информация об игре Г, множестве и рациональности агентов является общим знанием.

Содержательно введенное предположение означает, что каждый из агентов рационален, знает множество участников игры, целевые функции и допустимые множества всех агентов, а также знает множество возможных значений состояний природы. Кроме того, он знает, что другие агенты знают это, а также то, что они знают, что он это знает и т.д. до бесконечности (см. выше). Такая информированность может, в частности, достигаться публичным (то есть одновременно всем агентам, собранным вместе) сообщением соответствующей информации, что обеспечивает возможное достижение всеми агентами бесконечного ранга информационной рефлексии. Отметим, что введенное предположение ничего не говорит об информированности агентов относительно конкретного значения состояния природы.

Если значение состояния природы является общим знанием, то этого оказывается достаточно для реализации равновесия Нэша.

В качестве обоснования этого утверждения промоделируем на примере игры двух лиц ход рассуждений первого агента (второй агент рассуждает полностью аналогично, и его рассуждения будут рассматриваться отдельно только в том случае, если они отличаются от рассуждений первого агента). Он рассуждает следующим образом (см. выражение (6)): «Мое действие, в силу (1), должно быть наилучшим ответом на действие второго агента при заданном состоянии природы. Следовательно, мне надо промоделировать его поведение. Мне известно (в силу предположения о том, что целевые функции и допустимые множества являются общим знанием), что он будет действовать в рамках (1), то есть будет искать наилучший ответ на мои действия при заданном состоянии природы (см. (7)). Для этого ему необходимо промоделировать мои действия. При этом он будет (опять же, в силу введенных предположений о том, что целевые функции и допустимые множества являются общим знанием) рассуждать так же, как и я, и т.д. до бесконечности (см. (6))». В теории игр для подобных рассуждений используется удачная физическая аналогия отражения в двух параллельных зеркалах.

Таким образом, для реализации равновесия Нэша достаточно, чтобы все параметры игры, а также значение состояния природы были общим знанием (ослабление этого предположения рассмотрено в [161]). Рассматриваемые в настоящей работе рефлексивные игры характеризуются тем, что значение состояния природы не является общим знанием и каждый агент в общем случае имеет собственные представления об этом значении, представлениях других агентов и т.д.

Субъективное равновесие. Рассмотренные виды равновесия являются частными случаями субъективного равновесия, которое определяется как вектор действий агентов, каждая компонента которого является наилучшим ответом соответствующего агента на ту обстановку игры, которая может реализоваться с его субъективной точки зрения. Рассмотрим возможные случаи.

Предположим, что i-ый агент рассчитывает на реализацию обB становки игры x-i («B» обозначает beliefs; иногда используются термины «предположение», «догадка» – conjecture) и состояния природы i, тогда он выберет B (8) xiB BRi(i, x-i ), i N.

Вектор xB является точечным субъективным равновесием.

Отметим, что при таком определении «равновесия» не требуется обоснованности предположений агентов о действиях оппоB B нентов, то есть может оказаться, что i N: x-i x-i. ОбосноB B ванное субъективное равновесие, то есть такое, что x-i = x-i, i N, является равновесием Нэша (для этого, в частности, достаточно, чтобы все параметры игры были общим знанием и чтобы B каждый агент при построении x-i моделировал рациональное поведение оппонентов). В частном случае, если наилучший ответ каждого агента не зависит от предположений об обстановке, то субъективное равновесие является равновесием в доминантных стратегиях.

В более общем случае i-ый агент может рассчитывать на выB бор оппонентами действий из множества X-i X-i и реализацию состояния природы из множества i i N. Тогда наилучшим ответом будет гарантирующее субъективное равновесие:

B (9) xi( X-i, i ) Arg max min min fi(, xi, x-i), i N.

B xi Xi -i i x-i X B B Если X-i = X-i, i =, i N, то xi( X ) = xiг, i N, то есть -i гарантирующее субъективное равновесие является «классическим» гарантирующим равновесием. Разновидностью гарантирующего субъективного равновесия является П-равновесие, подробно описанное в [16].

В еще более общем случае в качестве наилучшего ответа i-го агента можно рассматривать распределение вероятностей pi(xi), где pi() (Xi) – множеству всевозможных распределений на Xi. Распределение pi() максимизирует ожидаемый выигрыш агента с учетом его представлений о распределении вероятностей µi(x-i) (X-i) действий, выбираемых другими агентами, и распределении вероятностей qi() () состояния природы. Получим байесов принцип принятия решений:

(10) pi(µi(), qi(), ) = = arg max fi(, xi, x-i) pi(xi ) qi( ) µi(x-i) d dx, i N.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.