WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 26 |

Пусть центру достоверно известно, что внешняя цена 0 равна единице, агенты знают лишь, что = [0; 3]. Будем считать, что целевая функция центра определяется суммарным доходом 1X за вычетом суммарных затрат агентов.

Тогда задача (6) имеет вид:

(8) X() – c1(x*(), r1) – c2(x*(), r2) max, [0;3] где X() и x*() определяются соответственно выражениями (3) и (4). Предполагая, что агенты одинаковы (r1 = r2 = 1) и подставляя (3) и (4) в (8), получим, что целевая функция центра следующим образом зависит от его сообщения:

(4 - ) (9) (x*(), ) =.

4 + Максимум выражения (9) на отрезке [0; 3] достигается в точке * = 4 ( 2 – 1). Следовательно, решение задачи информационного регулирования – сообщение центром агентам оценки *. Отметим, что эта оценка отличается от «истинной» оценки 0 = 1, то есть центру выгодно искажать информацию.

Небезынтересно рассмотреть вопрос о том, каковы будут выигрыши агентов в случае единичной истинной цены и сообщения центра * = 4 ( 2 – 1). Нетрудно убедиться, что выигрыш каждого из них будет меньше ожидаемого, но больше того выигрыша, который он получил бы в случае сообщения центром истинной цены. Вывод несколько парадоксальный – агентам выгодно, чтобы от них скрыли истинное значение цены! Объясняется это тем, что равновесие Нэша не является в данном случае Паретооптимальным, и центр своим сообщением «сдвигает» точку информационного равновесия к Парето-оптимуму.

Рассмотрим теперь задачу активного прогнозирования (7). Ее решение заключается в вычислении на основании информации о * по выражению (5) величины X(*) и сообщение ее агентам в качестве прогноза X0 их суммарных действий. Легко подсчитать, что сообщение центром X0 = 2 (2 – 2 ) побуждает агентов восстановить оценку * состояния природы и выбрать требуемые для центра действия.

Если бы центру было невыгодно искажать информацию, то это значило бы, что именно сообщение агентам истинного состояния природы побуждает их прийти в наиболее выгодное для центра состояние. Другими словами, совпадение * и 0 является частным случаем и может рассматриваться как «случайное».

Отметим, что целевая функция центра при единичной истинной цене имеет вид 2 x1 x(x,1) = x1 + x2 - -.

2 - x2 2 - xМаксимум этой функции на множестве 0 x1 < 2, 0 x2 < достигается в точках x1 = x2 = 2 – 2, которые и достигаются при помощи описанных информационных воздействий – информационного регулирования и приводящего к тому же результату активного прогноза (для того, чтобы в этом убедиться, достаточно найти максимум целевой функции центра по всем парам (x1, x2)). Поэтому это управление, состоящее в формировании структуры информированности единичной глубины, является оптимальным на множестве всех структур информированности. Это означает, в частности, что формирование центром более сложных структур информированности агентов (т. е. осуществление рефлексивного управления) не дает увеличения эффективности по сравнению с информационным регулированием и активным прогнозом.

6.5. КОНКУРЕНЦИЯ НА РЫНКЕ Если в разделе 6.4 рынок был ненасыщен и подразделения рассматриваемой фирмы могли продавать на рынке любое количество продукции по фиксированной цене, которая являлась неопределенным параметром (состоянием природы), то в данной модели предполагается, что спрос задан экзогенно в виде X(), где X – суммарный выпуск (суммарное действие агентов), а – рыночная цена. Если X() – строго монотонно убывающая непрерывная функция, то существует обратная ей функция (X), отражающая зависимость рыночной цены от предложения, которая также строго монотонно убывает и непрерывна.

Предположим, что агентам объективно не известны эффективности (параметры функций затрат) друг друга. Однако для каждого i N i-й агент знает свой тип ri, имеет представления о типах оппонентов rij, j N, и считает известный ему набор типов общим знанием. Иными словами, информационная структура игры задается соотношениями rij = rij, i, j N,.

Целевая функция j-го агента с точки зрения i-го агента есть:

xj (1) fj(x, rij) = (X) xj –, i, j N, 2rij где x = (x1, x2, …, xn) X’ – вектор действий агентов, имеющих сепарабельные затраты cj(x) = x2 / 2 rj, j N.

Каждый агент считает, что играет в игру с общим знанием. Из условий равновесия получаем действия агентов:

rij(X ) (2) x*ij =, i, j N.

1- '(X )rij Далее рассмотрим два варианта конкретизации функции (X).

Пусть (X) = 0 – X, 0, > 0. Тогда если подставить (X) в (2), получаем:

rij(3) x*ij =, i, j N, (1+ rij )(1+ i ) где rij (4) i =, i N.

1+ rij jN Исследуем информационное равновесие для случая двух агентов (n = 2) при условии, что центр осуществляет активный прогноз. Пусть при этом r1 = r2 = 0 = =1.

Из (3) получаем, что суммарное действие в зависимости от предположений агентов о типе партнера равно 2 +1 +(5) X(r12, r21) =, 2(1+1)(1+2) где 1 = + r12 / (1+r12), 2 = + r21 / (1 + r21).

Пусть задача центра заключается в обеспечении суммарного действия равного X. Рассмотрим, какой прогноз X0 решает эту задачу.

С точки зрения первого агента, которому сообщен прогноз X0, целевые функции выглядят следующим образом:

xf1(x1, x2) = (1 – x1 – x2) x1 –, xf2(x1, x2) = (1 – x1 – x2) x2 –, 2rгде параметр r2 ему неизвестен. Для нахождения равновесия Нэша первый агент приравнивает к нулю производные этих функций, что приводит (с учетом прогноза) к следующей системе уравнений:

1- x - 3x1 = 0, 1- x1 - + 2y2 = 0, r x1 + x2 = X0.

Эта система имеет единственное решение 1- X0 3X0 -1 3X0 -x1 =, x2 =, r2 =.

2 2 3 - 5XЗаметим, что по смыслу ситуации эти три значения должны быть положительны. Это накладывает естественное ограничение на возможные сообщения центра:

1 < X0 <.

3 В итоге получаем, что равновесная стратегия первого агента такова:

1- X* x1 =.

Рассуждая аналогично с точки зрения второго агента, получаем его равновесную стратегию:

1- X* x2 =.

Таким образом, сообщая прогноз X0, центр добивается сум* марного действия X = x1 + x* = 1- X0. Очевидно, единственным точным прогнозом центра в описываемой ситуации является X0 =.

Пусть теперь зависимость цены от суммарного действия двух агентов задается соотношением (X) = 1/X. Тогда целевые функции агентов имеют вид 2 x1 x1 x2 xf1(x1, x2) = –, f2(x1, x2) = –.

x1 + x2 2 x1 + x2 2rДифференцируя эти функции по соответствующим переменным и приравнивая производные к нулю, найдем равновесные стратегии агентов:

4 r1r2 r1r* * x1 = r1, x2 = r2.

r1 + r2 r1 + rПредположим, что r1 = r2 =1, и каждому агенту известен свой тип, но неизвестен тип другого агента, то есть первому агенту неизвестно значение r2, а второму – значение r1.

Будем считать, что центр стремится минимизировать цену, сообщая агентам ее прогноз. Выясним, какой прогноз является оптимальным (то есть минимизирующим реальное значение цены).

Если центр сообщает прогноз цены, то первый агент может ~ определить тип второго агента r2 из уравнения * 4 = x1 + x* = r1~ = r2.

r2 ~ ~ Имеем: r2 =, откуда ~ r* x1 = = =.

~ 1+ r2 1+ 2 +Повторяя эти же рассуждения для второго агента, получаем * его равновесную стратегию: x2 =.

2 +Таким образом, при сообщении центром прогноза цены истинное значение цены окажется следующим:

1 2 +() = =.

* x1 + x* Легко видеть, что минимум функции () достигается в точке = 1. Это значение и будет оптимальным. При этом (1) = 1, то есть оптимальный прогноз центра является точным прогнозом, а агенты получают именно те выигрыши, на которые рассчитывали при выборе стратегии.

6.6. АККОРДНАЯ ОПЛАТА ТРУДА Рассмотрим организационную систему, состоящую из центра и n агентов, осуществляющих совместную деятельность.

Стратегией i-го агента является выбор действия yi Xi = 1, + i N, стратегией центра – выбор системы стимулирования, определяющей размер вознаграждения каждого агента в зависимости от результата их совместной деятельности. Предположим, что технология взаимодействия агентов такова, что для достижения требуемого результата необходимо, чтобы сумма их действий была не меньше заданной величины. В этом случае i-й агент получает от центра фиксированное вознаграждение i, i N, в случае же yi < вознаграждение каждого агента равно нулю.

iN Реализация действия yi 0 требует от i-го агента затрат ci(y, ri), где ri > 0 – его тип (параметр, описывающий индивидуальные характеристики), i N.

Относительно функций затрат агентов предположим, что ci(y, ri) – непрерывная возрастающая по yi и убывающая по ri функция, причем y-i X-i = X, ri > 0 ci(0, y-i, ri) = 0, i N.

j jN \{i} Описанную модель взаимодействия будем далее называть игрой «Аккордная оплата труда».

Определим множество индивидуально рациональных действий агентов IR = {y X' = Xi | i N i ci(ri)}.

iN Если затраты агентов сепарабельны, то есть затраты ci(yi, ri) каждого агента зависят только от его собственных действий и не зависят от действий других агентов, получаем, что IR = yi+ ], где [0;

iN yi+ = max {yi 0 | ci(yi, ri) i}, i N.

Обозначим Y() = {y X' | yi = }, iN Y*() = Arg min) ( y, ri).

c i yY ( iN Рассмотрим последовательно различные варианты информированности агентов о значении параметра. Как мы увидим, даже небольшое усложнение структуры информированности может существенно изменить множество информационных равновесий рассматриваемой рефлексивной игры.

Вариант I. Предположим, что значение является общим знанием. Тогда равновесием игры агентов является параметрическое равновесие Нэша, принадлежащее множеству (1) EN() = IR Y().

Определим также множество эффективных по Парето действий агентов:

(2) Par() = IR Y*().

Так как Y*() Y(), то из (1) и (2) следует, что множество эффективных по Парето действий является одним из равновесий Нэша. Но множество равновесий Нэша может оказаться шире – в частности, при max yi+ оно всегда содержит вектор iN нулевых действий.

Пусть функции затрат агентов являются функциями затрат типа Кобба–Дугласа: ci(yi, ri) = ri (yi / ri), где () – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, удовлетворяющая равенству (0) = 0.

Тогда (см., например [17, с. 97]) эффективной по Парето является единственная точка: y*() = { yi* ()}, где yi* () = ri /, r j jN i N.

Вычислим yi+ = ri -1(i / ri), i N, тогда при (7) i ri ( / ), i N, r j jN множество Парето не пусто.

Множества равновесий Нэша в игре n = 2 агентов для двух значений : 2 > 1 приведены на рис. 39 (точка (0; 0) является равновесием Нэша в обоих случаях).

y+ yEN(2) EN(1) y*(2) y*(1) tg() = r2/ry0 + 1 yРис. 39. Параметрическое равновесие Нэша игры агентов Итак, мы рассмотрели простейший вариант информированности агентов, соответствующий ситуации, когда значение параметра является общим знанием. Рассмотрим следующий (в порядке возрастания сложности структуры информированности агентов) вариант информированности, в рамках которого общим знанием являются индивидуальные представления {i} агентов о значении параметра.

Вариант II. Предположим, что представления агентов о неопределенном параметре попарно различны, но при этом являются общим знанием. Иными словами, имеет место асимметричное общее знание.

Не ограничивая общности, занумеруем агентов таким образом, чтобы их представления возрастали: 1 < … < n. Структура возможных равновесий в этой ситуации описывается следующим утверждением.

Утверждение 23. В игре «Аккордная оплата труда», для которой i j при i j, равновесными (в зависимости от соотношения между параметрами) могут быть следующие n + 1 исходов:

* * {y* | yi* = 0, i N}; {y* | yk = k, yi = 0, i N, i k}, k N. Содержательно это означает следующее: либо никто не работает, либо работает один k-й агент, выбирая действие k.

* * Доказательство. Пусть вектор действий y* = ( y1, …, yn ) является равновесием (очевидно, при этом yi* yi+ для любого i N).

* Пусть существует такое k N, что yk > 0. Покажем, что в этом случае yi* = k.

iN Действительно, если yi* < k, то k-й агент не рассчитывает iN на получение вознаграждения и, следовательно, может увеличить свой (субъективно ожидаемый) выигрыш с отрицательного до нулевого, выбрав нулевое действие. Если же yi* > k, то k-й iN агент рассчитывает на получение вознаграждения, однако он мо* жет увеличить свой выигрыш, выбрав вместо yk действие * * max {0, k – yi } < yk. Таким образом, при yi* k k-й агент iN \{k} iN может увеличить свой выигрыш, что противоречит равновесности вектора y*.

* * Мы показали, что, если yk > 0, то yi = k. Но в силу усло iN вия i j, i j, это равенство может выполняться лишь для одного * k N. Поэтому если yk > 0, то yi* = 0 для всех i k. При этом, * очевидно, yk = k. • Рассмотрим теперь вопрос о том, при каких соотношениях между параметрами i, yi+, i N, реализуется каждое из равновесий, перечисленных в формулировке утверждения 23.

Вектор (0, …, 0) является равновесным в случае, когда никакой i-й агент не может собственными усилиями выполнить достаточную (с его точки зрения) для получения вознаграждения работу (либо это усилие составляет в точности yi+, так что выигрыш i-го агента остается нулевым). Это условие формально записывается следующим образом: yi+ i для любого i.

* * Вектор {y* | yk = k, yi = 0, i k} является равновесным, если + k yk, а все агенты с номерами i > k, считая, что вознаграждения не будет, являются недостаточно эффективными, чтобы собственными усилиями компенсировать величину i – k. Формально:

k + yi+ i для любого i > k.

Возможные равновесия в игре двух агентов изображены на рис. 40. Заметим, что, в отличие от варианта I, существует область, в которой равновесие отсутствует.

+ y(0, ) (0, 0) – 2 (1, 0) + yРис. 40. Равновесия в игре двух агентов (область, где равновесия нет, обозначена символом «») Рассмотрим теперь общий случай, когда представления агентов могут и совпадать: 1 … n. В этом случае может появиться целая область равновесий, аналогично варианту I. Пусть, например, выполняются соотношения m = m+1 = … = m+p, i m при m+ p * i {m, …, m + p}. Тогда при выполнении условий yk m и k =m m + yi+ I, i > m, равновесным является любой вектор y*, для которого m+ p * * + yk = m, yk yk, k {m, …, m+p};

k =m yi* = 0, i {m, …, m + p}}.

Содержательно это означает, что в равновесии всю работу выполняют агенты, которые одинаково представляют себе необходимый для получения вознаграждения объем работы.

Pages:     | 1 |   ...   | 16 | 17 || 19 | 20 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.