WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 26 |

Рассмотрим игру поиска, в которой участвуют два игрока, управляющие точечными объектами: ищущим объектом 1 и уклоняющимся объектом 2 (в дальнейшем будем отождествлять игроков и управляемые ими объекты). Поисковой областью, где перемещаются объекты, является прямоугольник евклидовой плоскости {(x, y) | 0 x D, 0 y 2 L)}, D, L > 0. Ищущий объект начинает движение из точки (D, L) и движется по отрезку y = L с выбранной им скоростью, 0 A, A > 0. Он обнаруживает объект 2 в некоторый момент, если расстояние между объектами в этот момент сократилось до величины l = – k, k > 0. Содержательно величина l интерпретируется как «зоркость» ищущего (которая уменьшается с ростом его скорости) – расстояние, на котором он может обнаружить уклоняющегося. Уклоняющийся объект может выбрать точку в прямоугольнике для своего местоположения. Ясно, что это должна быть точка на отрезке y = 0 либо на отрезке y = L. Поэтому можно считать, что выбор объекта определяется одним числом, 0 D, – абсциссой точки, где он «прячется».

Ищущий объект стремится обнаружить уклоняющегося, причем за как можно меньшее время. Если обнаружение не происходит, то для ищущего более выгодно, чтобы уклоняющийся находился от него на как можно меньшем расстоянии (это расстояние характеризуется выбором ).

С учетом вышесказанного целевую функцию ищущего зададим следующим образом:

DM -, L + k, (1) f(, ) = D - c( ), < L + k, - где M > 0 – «премия» за обнаружение (которое происходит, если l L), а c() – возрастающая функция, для которой c(0) = 0, характеризующая потери игрока 1 в случае, если обнаружение не происходит. Игра является антагонистической, так что интересы игрока 1 строго противоположны интересам игрока 2.

Таким образом, игра полностью характеризуется целевой функцией f(, ), положительными параметрами D, L, A, M, k, и функцией c(), которые будем считать общим знанием для первого и второго игроков.

Для нахождения седловой точки игры (1) найдем max min f(, ). Имеем:

D M -, L + k, min f(, ) = D - c(D), < L + k, - D D max min f(, ) = max{M -, - - c(D)}, A где 0 = ( – L)/k – скорость, при которой l = L, т. е. обнаружение происходит наиболее «экономным» образом.

Далее будем считать выполненными следующие условия:

D D (2) 0 A, M - -.

A Первое из условий (2) означает, что скорость 0 является возможной для объекта 1; второе условие означает, что обнаружение дает объекту 1 достаточно существенную прибавку к выигрышу. Отметим, что первое условие является техническим, оно упрощает дальнейшие выкладки. Второе же является принципиальным, обеспечивая существование равновесия в игре (1).

При выполнении условий (2) имеем:

D max min f(, ) = M - = f(0, 0).

Аналогично:

D - D max f(, ) = max{M -, - - c( )}.

A В силу (2) справедлива цепочка неравенств D- D D D M - M - - - - c( ), 0 A A поэтому Dmax f(, ) = M - и D min max f(, ) = M - = f(0, 0).

Таким образом, у игры (1) при условии (2) существует единственная точка равновесия (0, 0).

Информационная рефлексия. В этом подразделе мы рассмотрим возможность информационной рефлексии [81] в игре поиска (1). Будем считать, что функция f(, ) и параметры D, L, A, M, k являются общим знанием, а относительно параметра у игроков 1 и 2 существуют точечные регулярные структуры информированности I1 = (1, 12, 121, …) и I2 = (2, 21, 212, …) соответственно (подробнее о понятиях «регулярности» и «точечности» см.

[81], см. также раздел 1.1). Будем также считать, что общим знанием является выполнение условий (2), которые можно переписать в виде следующего двойного неравенства:

k (3) L + L + kA.

-MD + A-Что касается функции c(), то достаточно, чтобы общим знанием было ее возрастание и тот факт, что c(0) = 0.

Рассмотрим принятие решений игроками в порядке возрастания ранга их рефлексии, начиная со второго ранга.

а) Пусть представления игрока 1 характеризуются графом 112121 (подробнее о графе рефлексивной игры см. [81]), что соответствует второму рангу рефлексии. Тогда 12-игрок (игрок 2 в представлении игрока 1) выбирает действие 12 = 0. Наилучшим ответом на это со стороны игрока 1 является выбор скорости 0 -L (4) 1 =.

k б) Пусть представления игрока 2 характеризуются графом 221212, что соответствует второму рангу рефлексии. Тогда 2121-L игрок выбирает скорость 21 =. Действие игрока 2 зависит от k того, состоится ли, с его точки зрения, обнаружение. Если оно состоится, т. е. выполнено условие 2 - k21 L, что равносильно 2 21, то лучшим ответом является выбор 2 = 0.

В противном случае, т. е. при 2 < 21, наилучший выбор 2 = D (индекс «2» поставлен для обозначения того, что это действие реального игрока 2).

в) Пусть представления игрока 1 характеризуются графом 1121211212, что соответствует третьему рангу рефлексии.

Тогда, в соответствии с результатом б), возможны два случая:

12 121, 12 = 0 и 12 < 121, 12 = D. В первом случае наилучшим ответом является1, определяемое соотношением (4), во втором – любое 1 [0,1 ].

В результате получаем:

= 1 = 1 - L, 12 121, k (5) ], 12 < 121.

[0,г) Пусть представления игрока 2 характеризуются графом 2212122121, что соответствует третьему рангу рефлексии.

Тогда, в соответствии с предыдущими рассмотрениями, имеем:

0 0 -L 2121 =2121, 212 = 0, 21 = 21 =, k 0, 2 21, (6) 2 = D, 2 < 21.

Результат аналогичен б).

д) Пусть представления игрока 1 характеризуются графом 112121121212121, что соответствует четвертому рангу рефлексии. Тогда, аналогично в), возможны два случая: 12 121, 0 -L 12 = 0, 1 = 1 = и 12 < 121, 12 = D, 1 [0,1 ].

k е) Пусть представления игрока 2 характеризуются графом 221212212121212, что соответствует четвертому рангу рефлексии. Тогда, в соответствии с результатом в), возможны два 0 -L случая: 212 2121, 212 = 0, 21 = 21 = и 212 < 2121, 212 = D, k 21 [0,21]. В первом случае наилучший ответ определяется (6).

Второй случай несколько сложнее для анализа, поскольку игрок 2 может ожидать от игрока 1 любого действия из отрезка [0,21]. Здесь мы имеем дело с интервальной неопределенностью, наиболее распространенным способом устранения которой является нахождение максимального гарантированного результата (см., например, [33]). В данном случае, как нетрудно видеть, D -, 2 21, M max f(, ) = 0 D [0, ] - 21 - c( ), 2 < 21.

Поэтому гарантирующее действие 2 = arg min max f(, ) будет [0, ] определяться теми же соотношениями (6).

Видно, что с увеличением ранга рефлексии игроков множество их субъективно равновесных действий не увеличивается по сравнению со вторым рангом для игрока 2 и третьим рангом для игрока 1. В соответствии с терминологией, предложенной в [81], ранги 3 для игрока 1 и 2 для игрока 2 называются максимальными целесообразными рангами рефлексии. Сформулируем соответствующее утверждение.

Утверждение 21. Максимальные целесообразные ранги рефлексии в рефлексивной игре поиска (1) равны 3 для ищущего игрока и 2 для уклоняющегося игрока.

Доказательство проведем по индукции. Базис индукции: если ранг игрока 1 равен 3, то его действие определяется соотношениями (5); если ранг игрока 2 равен 2 или 3, то его действие определяется соотношениями (6). Эти случаи рассмотрены выше.

Рассмотрим теперь принятие решений игроком 1 с n-м рангом рефлексии, n 4. Ранг 12-игрока равен n – 1, и его действие по предположению определяется соотношениями (6). Соответственно, наилучший ответ игрока 1, как было показано в в), определяется соотношениями (5). Теми же соотношениями (5) определяется наилучший ответ игрока 1 с третьим рангом рефлексии, откуда вытекает первая часть утверждения (об игроке 1).

Если же принимает решение игрок 2 с рангом n, то, по предположению, действие 21-игрока с рангом n – 1 определяется соотношениями (5). Наилучший ответ игрока 2 на эти действия определяется, как было показано в е), соотношениями (6). Теми же соотношениями (6) определяется наилучший ответ игрока 2 со вторым или третьим рангом рефлексии, откуда вытекает вторая часть утверждения (об игроке 2). • Содержательно доказанное утверждение означает, что игрок либо занимает положение как можно дальше от игрока 1, выбирая 2 = 0 (если считает, что его обнаружат), либо пытается сразу осуществить «прорыв», выбирая 2 = D. Стратегия 0 < 2 < D не является равновесной ни при каких структурах информированности.

0 -L Равновесные стратегии игрока 1 либо 1 = 1 = (если k 12 = 0), либо любая из отрезка [0,1 ] (если 12 = D).

Возможности информационного управления вторым игроком на этом исчерпываются, и оба равновесия достижимы в рамках ранга 2. Если центр может воздействовать на представления игрока 1 о своих возможностях (которые отражает параметр ), все определяется тем, переоценивает ли их игрок 1. Если не переоценивает, то обнаружение состоится, если переоценивает – не состоится.

Предположим, что по результатам игры игроки наблюдают факт обнаружения (либо необнаружения), а также – в случае обнаружения – выбор игрока 2 (т. е. 2).Тогда информационное равновесие будет стабильным в случае 2 21, 1. Содержательно это означает:

1) игрок 2 считает, что игрок 1 не переоценивает свои возможности;

2) так оно на самом деле и есть (хотя и не обязательно игрок оценивает возможности игрока 1 адекватно).

Некоторые обобщения. Обсудим качественно возможные обобщения полученных результатов на случай более сложных поисковых ситуаций. Во многих случаях поиск так или иначе сводится к «прочесыванию» поискового множества. Даже если уклоняющийся игрок может перемещаться в процессе игры (а не только в ее начале выбирать свое местоположение), при соответствующих условиях на скорости игроков и параметры поискового множества обнаружение возможно в результате планомерного «прочесывания» (поисковые задачи второго типа по классификации, предложенной в [145]). Стратегии (траектории) «прочесывания» (а также уклонения) на ряде поисковых множеств были предложены в работах [124, 140, 141, 143, 144, 145]. Отметим, что построение этих траекторий опирается на свойства переменных информационных множеств, характеризующих информированность ищущего игрока о местоположении уклоняющегося (см.

[123, 142]).

При применении ищущим игроком этих стратегий у уклоняющегося игрока имеются, по сути, те же две альтернативы, что и в рассмотренном выше случае – либо «скрываться», либо «прорываться». Увеличение ранга рефлексии не приводит к появлению «промежуточных» равновесных стратегий.

6.2. ПРОИЗВОДИТЕЛЬ И ПОСРЕДНИК Рассмотрим ситуацию [125], в которой участвуют агент, являющийся производителем некоторого вида продукции, и центр, являющийся посредником. Они взаимодействуют следующим образом:

1) оговариваются доли и (1 – ), в соответствии с которыми доход делится между производителем и посредником соответственно, (0; 1);

~ 2) посредник сообщает производителю оценку рыночной цены ;

3) производитель производит некоторый объем продукта y и передает его посреднику;

4) посредник реализует его по рыночной цене и передает производителю оговоренную долю дохода y, а себе забирает (1 – ) y.

Предполагается, что посредник в точности знает рыночную цену, а производитель, напротив, не обладает никакой априорной информацией о ней.

Производитель характеризуется функцией издержек c(y), которая связывает объем продукции и затраты на его производство (будем считать, что ограничения на мощность отсутствуют, то есть может производиться любой объем продукции).

В описанной ситуации ключевую роль играют три параметра – доля, цена и объем продукции y. О доле участники договариваются заранее, цену сообщает посредник, объем продукции выбирает производитель.

Теперь рассмотрим вопрос о том, как будут вести себя участники ситуации после того, как они договорились о долях и (1 – ). Производитель, стремясь максимизировать свою прибыль, выбирает объем производства y* в зависимости от своей функции издержек, причитающейся ему доли дохода и сообщаемой посредником рыночной цены. Предположим, что производитель изначально доверяет посреднику, причем у производителя нет возможности проверить, насколько сообщение посредника соответствует действительности. В этом случае посредник может сообщить ~ значение, не совпадающее, вообще говоря, с истинным значени~ ем рыночной цены. Выбор посредником сообщения можно трактовать как осуществление информационного управления.

Наконец, предположим, что посредник стремится проводить стабильное информационное управление, то есть обеспечивать производителю тот доход, который он ожидает получить, исходя ~ из значения.

В рамках описанных выше предположений целевые функции посредника и производителя выглядят, соответственно, следующим образом:

~ ~ ~ ~ f0(y, ) = y – y, f(y, ) = y – c(y).

Подчеркнем, что эти целевые функции записаны с учетом стабилизации, то есть перераспределения доходов центром (в качестве центра здесь выступает посредник), с целью добиться стабильности равновесия игры (см. раздел 3.1).

Наложим на функцию издержек ограничения таким образом, чтобы прибыль производителя (равная разности дохода и издержек) принимала максимальное значение ровно в одной точке ~ y* = y*( ) > 0. Для этого достаточно потребовать, чтобы она была дважды дифференцируемой и выполнялись условия:

c(0) = c'(0) = 0, c'(y) > 0, c''(y) > 0 при y > 0, c'(y) при y.

Потребуем также выполнения следующего свойства: функция (y c'(y))' является непрерывной, возрастающей и стремится к бесконечности при y.

При этих условиях справедливо следующее утверждение.

Утверждение 22.

~ 1) Выбирая оптимальное для себя значение, посредник может обеспечить максимальное значение своей целевой функции независимо от значения.

2) Существует * = *() такое, что a) если = *, то оптимальным для посредника является сообщение истинного значения цены (то есть ~ = ), b) если < * ( > *), то производитель получает большую (меньшую) прибыль по сравнению с той, ~ которую он получил бы при = (то есть в случае сообщения посредником истинного значения цены).

3) Для степенных функций издержек c(y) = ky (k > 0, > 1), и только для них, вышеупомянутое значение * является константой (не зависит от цены ): * = 1/.

~ Доказательство. Получив от посредника сообщение, производитель максимизирует свою целевую функцию, выбирая объем ~ ~ ~ ~ производства y = argmax f(y, ) из условия c'( y ) =.

yA ~ Подставим y в целевую функцию посредника и, с учетом соd~ y отношения =, приравняем нулю ее производную. После ~ y d c (~) преобразований получаем уравнение ~ y y (1) c (~)+ y c (~) =.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.