WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 26 |

В данном разделе мы ограничимся рассмотрением игр двух лиц, при этом представления агентов задаются точечной структурой информированности (у агентов имеются вполне определенные представления о значении неопределенного параметра; о том, каковы представления (также вполне определенные) оппонента, и т. д.) С учетом этих упрощений нахождение равновесия Байеса– Нэша сводится к решению системы двух соотношений, определяющих две функции, каждая из которых зависит от счетного числа переменных (см. ниже).

Итак, пусть в игре участвуют два агента с целевыми функциями (2) fi(, x1, x2),, xi Xi, i=1, 2, причем функции fi и множества Xi, являются общим знанием.

Первый агент имеет следующие представления: неопределенный параметр равен 1 ; второй агент считает, что неопределенный параметр равен 12 ; второй агент считает, что первый агент считает, что неопределенный параметр равен 121 и т. д. Таким образом, точечная структура информированности первого агента Iзадается бесконечной последовательностью элементов множества ; пусть, аналогично, и у второго агента имеется точечная структура информированности I2:

(3) I1=(1, 12, 121,…), I2=(2, 21, 212, …).

Посмотрим теперь на рефлексивную игру (2)–(3) с «байесовой» точки зрения. Типом агента в данном случае является его структура информированности Ii, i=1, 2. Для нахождения равновесия Байеса–Нэша необходимо найти равновесные действия агентов всевозможных типов, а не только некоторых фиксированных типов (3).

Легко видеть, какими будут в данном случае распределения Fi(|) из определения равновесия (1). Если, например, тип первого агента I1=(1, 12, 121, …), то распределение F1(|I1) приписывает вероятность 1 типу оппонента I2=(12, 121, 1212, …) и вероятность остальным типам. Соответственно, если тип второго агента I2=(2, 21, 212, …), то распределение F2(|I2) приписывает вероятность 1 типу оппонента I1=(21, 212, 2121, …) и вероятность 0 остальным типам.

Для упрощения записи будем использовать в дальнейшем следующие обозначения (BR означает наилучший ответ – best response):

BR1(, x2) = Arg max f1(, x1, x2), x1X-BR2 (, x2) = {x1 X1 | x2 BR2(, x1)}, BR2 (, x1) = Arg max f2(, x1, x2), x2X -BR1 (, x1) = {x2 X | x1 BR1(, x2)}.

Введем также обозначения () и () для функций, ставящих в соответствие типу равновесное действие:

* * x1 (I1) =(I1)=(1, 12, 121, …), x2 (I2 ) =(I2)=(2, 21, 212, …).

В этих обозначениях точечное равновесие Байеса–Нэша (1) записывается как пара функций ((), ()), удовлетворяющих условиям (1,12,121,...) BR1(1, (12,121,...)), (4) (2,21,212,...) BR2 (2,(21,212,...)).

Заметим, что в рамках точечной структуры информированности i-й агент уверен, что значение неопределенного параметра равно i (вне зависимости от представлений оппонента).

Таким образом, для нахождения равновесия необходимо решить систему функциональных уравнений (4) для определения функций () и (), каждая из которых зависит от счетного числа переменных.

Возможные структуры информированности могут иметь конечную либо бесконечную глубину. Покажем, что применение концепции равновесия Байеса–Нэша к агентам со структурой информированности бесконечной глубины дает парадоксальный результат – для них равновесным является любое допустимое действие.

Определим понятие конечности глубины структуры информированности применительно к случаю игры с двумя участниками, когда структура информированности каждого из них является бесконечной последовательностью элементов из.

Пусть даны последовательность T={ti} элементов из и i=целое неотрицательное число k. Последовательность k(T)={ti}i=k +1 будем называть k-окончанием последовательности T.

Будем говорить, что последовательность T имеет бесконечную глубину, если для любого n найдется k>n такое, что последовательность k(T) не совпадает (имеется в виду обычное поэлементное совпадение) ни с одной из последовательностей набора 0(T)=T, 1(T),…, n(T). В противном случае последовательность T имеет конечную глубину.

Иначе говоря, последовательность конечной глубины имеет конечное число попарно различных окончаний, в то время как у последовательности бесконечной глубины их бесконечно много.

Например, последовательность (1, 2, 3, 4, 5, …) имеет бесконечную глубину, а последовательность (1, 2, 3, 2, 3, 2, 3, …) – конечную.

Рассмотрим игру (2), в которой целевые функции f1, f2 и множества X1, X2, обладают следующим свойством:

(5) для любых x1 X1, x2 X2, множества BR1(, x2), -1 -BR2(, x1), BR2 (, x2 ) и BR1 (, x1) непусты.

Условия (5) означают, что для любого и любого действия x1 X1 у второго агента существует хотя бы один наилучший ответ и, в свою очередь, само действие x1 является наилучшим ответом на какое-то действие второго агента; аналогично и любое действие x2 X2.

Оказывается, что при выполнении условий (5) в игре (2) любое действие агента со структурой информированности бесконечной глубины является равновесным (т. е. является компонентой некоторого равновесия (4)). Это справедливо для обоих агентов; для определенности сформулируем и докажем утверждение для первого.

Утверждение 16 [132, 134]. Пусть в игре (2), в которой выполнены условия (5), существует хотя бы одно точечное равновесие Байеса–Нэша (4). Тогда для любой структуры информированности бесконечной глубины I1 и любого X1 существует равновесие * * * ( x1 (), x2() ), в котором x1 (I1) =.

Идея доказательства состоит в конструктивном построении соответствующего равновесия. Зафиксируем произвольное равновесие ((), ()) и произвольную структуру информированности бесконечной глубины I1. В силу условий (4) значение функции () на структуре I1 связано со значениями функций () и () на ряде других структур. Определим заново значения функций на этих структурах таким образом, чтобы условия (4) не нарушались (оставив неизменными значения на остальных структурах) и при этом ~ «определенная заново» функция () принимала на структуре Iзначение.

Доказательству утверждения 16 предпошлем четыре леммы, для формулировки которых введем обозначение: если p=(p1, …, pn) – конечная, а T={ti}i=1 – бесконечная последовательности элементов из, то pT=(p1, …, pn, t1, t2, …).

Лемма 1. Если последовательность T имеет бесконечную глубину, то для любой конечной последовательности p и любого k последовательность pk(T) также имеет бесконечную глубину.

Доказательство. Поскольку T имеет бесконечную глубину, у нее бесконечное множество попарно различных окончаний. При переходе от T к k(T) их число уменьшается не более, чем на k, все равно оставаясь бесконечным. При переходе от k(T) к pk(T) число попарно различных окончаний, очевидно, не уменьшается. • Лемма 2. Пусть последовательность T представима в виде T=ppp…, где p – некоторая непустая конечная последовательность.

Тогда T имеет конечную глубину.

Доказательство. Пусть p имеет вид p=(p1, …, pn). Тогда элементы последовательности T связаны соотношениями ti+nk=ti для всех целых i1 и k0. Возьмем произвольное j-окончание, jn.

Число j единственным образом представимо в виде j=i+nk, где i{1, …, n}, k0. Нетрудно показать, что j(T)=i(T): для любого целого m0 выполняется tj+m=ti+nk+m=ti+m.

С учетом произвольности j мы показали, что у последовательности T не более n попарно различных окончаний, т. е. ее глубина конечна. • Лемма 3. Пусть для последовательности T выполняется тождество T=pT, где p – некоторая непустая конечная последовательность. Тогда T имеет конечную глубину.

Доказательство. Пусть p=(p1, …, pn). Имеем:

T=pT=ppT=pppT= ppppT=…. Таким образом, для любого целого k0 фрагмент (tnk+1, …, tnk+n) совпадает с (p1, …, pn). Поэтому T представима в виде T=ppp… и согласно лемме 2 имеет конечную глубину. • Лемма 4. Пусть для последовательности T выполняется тождество pT=qT, где p и q – некоторые нетождественные непустые конечные последовательности. Тогда T имеет конечную глубину.

Доказательство. Пусть p=(p1, …, pn) и q=(q1, …, qk). Если n=k, то, очевидно, тождество pT=qT не может выполняться. Поэтому рассмотрим случай nk. Пусть для определенности n>k. Тогда p=(q1, …, qk, pk+1, …, pn), и из условия pT=qT следует, что dT=T, где d=(pk+1, …, pn). Применяя лемму 3, получаем, что глубина последовательности T конечна. • Доказательство утверждения 16. Пусть имеется произвольная структура информированности первого агента бесконечной глубины – для единообразия с леммами 1–4 будем обозначать ее не I, а T=(t1, t2, …)={ti}i=1. По условию теоремы, существует по крайней мере одна пара функций ((), ()), удовлетворяющая соотношениям (4); зафиксируем любую из таких пар. Положим значение ~ ~ функции () на последовательности T равным : (T)= (здесь и далее для «заново определяемых» функций будем применять ~ ~ обозначения () и ()). Подставляя T в качестве аргумента ~ ~ функции () в соотношения (4), получаем, что значение (T)= ~ связано (в силу (4)) со значениями функции () на последовательности 1(T), а также на всех таких последовательностях T’, для которых 1(T’)=T.

~ Выберем значения функции () на этих последовательностях таким образом, чтобы выполнялись условия (4):

~(t -1 ~(t1,t3,t4,...) BR1 (t1, ),,t1,t2,...) BR2(t1, ), 2 где t1 ; из (5) вытекает, что это можно сделать. Если множест-1 во BR1 (t1, ) BR2(t1, ) содержит более одного элемента, или возьмем любой из них.

Далее, подставляя в (4) последовательность (t2, t3, …) в качест~ ве аргумента функции (), выберем ~(t -1 ~(t ~(t ~(t,t4,...) BR2 (t2,,t3,...)),,t2,t3,...) BR1(t1,,t3,...)), 3 2 2 2 а подставляя (t1, t2, t3, …), выберем 2 ~(t 2 ~(t,t1,t1,t2,...) BR1(t1,,t1,t2,...)) 1 1 (здесь t2,t1 ).

Продолжая подставлять уже полученные значения в соотношения (4), можно последовательно определить значения функции ~ () на всех последовательностях вида k k 2 k 2 (6) (, tm-1, …,,, tm, tm+1, …), tm, tm-1, …, tm, tm, tm k tm tm ~ где (m+k) – нечетное, и значения функции () на последовательностях вида (6) с четным (m+k). Далее будем считать, что в (6) при m>1 выполняется tm-1 – тогда представление в виде (6) является tm однозначным.

Алгоритм определения значения функций на последовательностях вида (6) состоит из двух этапов. На первом этапе полагаем ~ (T)= и определяем значения соответствующих функций на последовательностях m(T)=(tm, tm+1, …), m>1 (т. е. при k=0), попе-1 -ременно применяя отображения BR1 и BR2.

На втором этапе для определения значения соответствующих функций на последовательностях (6) при k1 исходим из определенного на первом этапе значения на последовательности (tm, tm+1, …), применяя попеременно отображения BR1 и BR2.

Согласно лемме 1 все последовательности вида (6) имеют бесконечную глубину. Согласно лемме 4 все они попарно различны (если бы какие-либо две последовательности вида (6) совпадали, это противоречило бы бесконечности глубины). Поэтому, опреде~ ~ ляя значения функций () и (), мы не рискуем присвоить одному и тому же аргументу разные значения функции.

~ ~ Таким образом, мы определили значения функций () и () на последовательностях вида (6) таким образом, что эти функции по-прежнему удовлетворяют условиям (4) (т. е. являются точеч~ ным равновесием Байеса–Нэша) и при этом (T)=. Утвержде ние 16 доказано. • В данном разделе введено понятие точечного равновесия Байеса–Нэша. Доказано, что при выполнении дополнительных условий (5) любое допустимое действие агента, имеющего структуру информированности бесконечной глубины, является равновесным.

(Все рассмотрения проводились для игры с двумя участниками, однако можно выдвинуть гипотезу о том, что полученный результат допускает обобщение на случай игры с произвольным числом участников.) Это обстоятельство, по-видимому, свидетельствует о нецелесообразности рассмотрения структур бесконечной глубины как в терминах информационного равновесия, так и в терминах равновесия Байеса–Нэша.

В более общем плане можно отметить, что доказанное утверждение является аргументом (причем не единственным, см., например, [85]) в пользу неизбежной ограниченности ранга информационной рефлексии принимающих решение субъектов.

ГЛАВА 4. ИНФОРМАЦИОННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ В данной главе выделены некоторые способы осуществления центром информационного воздействия на агентов с целью формирования той или иной структуры информированности. Эти способы – информационное регулирование, рефлексивное управления, активный прогноз – обсуждаются в разделах 4.2 и 4.3.

Предварительно, в разделе 4.2, обсуждается проблематика моделирования информационного воздействия на реальных людей и на модельных «умных и рациональных» агентов.

В контексте описанной в разделе 1.4 модели информационного управления материал данной главы охватывает цепь «центр информированность агента (агентов)» (см. рис. 30).

Управляющий орган (центр) Управляющее воздействие Реальный результат НАБЛЮДАЕМЫЙ ИНФОРМИ- РЕЗУЛЬТАТ РОВАННОСТЬ ДЕЙСТВИЕ Агент(ы) Рис. 30. Предмет исследования в главе 4.1. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В рамках принятой в данной работе модели принятия решений действия агента определяются не чем иным, как его информированностью о состоянии природы и представлениях оппонентов (других агентов). Поэтому весьма важным является вопрос о том, каким образом информационные воздействия центра влияют на эти представления. Иными словами, вопрос состоит в следующем:

как формируется информационная структура игры в зависимости от тех или иных информационных воздействий центра.

Здесь необходимо признать, что сколько-нибудь исчерпывающий ответ на этот вопрос, по видимому, невозможно получить, оперируя исключительно математическими (и, в частности, теоретико-игровыми) моделями. Это обусловлено в первую очередь тем, что процесс усвоения человеком той или иной информации в очень большой степени обусловлен факторами социальнопсихологического порядка. Как отмечено в [39, с. 81], «секрет высокоэффективного информационного управления – обращение к бессознательному, в использовании приемов снятия барьеров восприятия и преодоления естественной толерантности человека к восприятию нового».

Pages:     | 1 |   ...   | 8 | 9 || 11 | 12 |   ...   | 26 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.