WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 43 |

Раздел II. Фундаментальное содержание тензорной тригонометрии В начале главы 5 дана проективная версия евклидовой тензорной тригонометрии, развиваемая с применением собственных проекторов.

Определяются проективные сферические функции и рефлекторы для тензорного угла между линеорами A1 и A2 или их образами – планарами ранга r1и r2. В иной, альтернативной интерпретации тензорный угол определяется между образами нуль-простых nn-матриц B и B – планарами ранга r. Далее рассматривается каноническая структура тензорных тригонометрических функций и собственных рефлекторов.

Определяется (с установлением его существенной роли в тензорной тригонометрии) понятие срединного рефлектора. Самостоятельным образом последний вводится как фундаментальный рефлектор-тензор пространства, задающий бинарную структуру тензорных тригонометрий, базирующихся на квадратичных метриках. В частности, он задаёт бинарную структуру квазиевклидовой тригонометрии. На основе этого понятия осуществляется развитие ротационной (синуснокосинусной) и деформационной (тангенсно-секансной) формы квазиевклидовой тензорной тригонометрии, то есть её моторной версии.

В главе 6 с применением сферическо-гиперболической аналогии абстрактного и конкретного типов осуществлено построение сходной по форме псевдоевклидовой тензорной тригонометрии с тем же рефлектортензором. В главе 7 отдельно рассмотрена тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых матриц.

В главах 8 и 9 введены алгебраическим способом общие геометрические и тригонометрические квадратичные нормы матричных объектов, обоснованные через соответствующие тригонометрические спектры и генеральные неравенства. В заключительных главах 10, 11 и 12 рассматривается тензорная тригонометрия в комплексных пространствах. Особое внимание уделено изучению движений в псевдоевклидовых пространствах, в том числе отдельно в пространстве Минковского.

Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия § 5.1. Объекты тензорной тригонометрии и их пространственные взаимоотношения Согласно аксиоме о континууме Кантора – Дедекинда [27, с. 99], аффинные геометрическое и арифметическое пространства одной и той же размерности находятся в отношении изоморфизма, что распространяется и на их метрические формы. Это является основанием для геометрической трактовки результатов, получаемых алгебраическим путём. Исходные элементы n-мерного аффинного пространства, по известному определению Вейля, есть точки и свободные векторы [11, с. 26–33; 1, с.358]. Их координаты задаются в каком-либо базисе в виде наборов n чисел. Точки и векторы образуют геометрические объекты.

Последние подразделяются на централизованные и нецентрализованные. Централизованные объекты имеют точку приложения в центре координат. Сопоставим в алгебраической и геометрической форме простейшие линейные объекты аффинного пространства:

вектор a – отрезок прямой, образ ‹im a› – прямая, ядро ‹ker a› – гиперплоскость, nr-линеор A (rang A = r) – r-симплекс, образ ‹im A› – планар ранга r, ядро ‹ker A› – планар ранга (n - r).

Указанные объекты изучаемой тензорной тригонометрии имеют валентность 1. Валентность функций объектов может отличаться. Например, для внутренней и внешней мультипликации пары векторов соответствующие валентности равны 0 и 2:

a ·a2 = c = a ·a1; a1·a = B = {a2·a }. (151), (152) 1 2 2 § 5.1. Объекты тензорной тригонометрии и их взаимоотношения Аффинные отношения планаров, включая параллельность, выражаются в виде:

‹im A1› ‹im A2› A1A1 = A2A2 (153) A1A1 = A2A2 ‹kerA1› ‹ker A2›, ‹im A2› ‹im A1› A1A1·A2 = A2 (154) A1A1·A2 = Z = A2·A1A1 ‹ker A1› ‹ker A2›, ‹im А2› ‹ker A1› A1·A2 = Z = A2·A1 (155) ‹im A1› ‹ker A2› ‹im A1› ‹im A2› = 0, (r1 + r2 n), так как ‹im A› ‹ker A› ‹A n›;

‹ker А1› ‹im A2› A2A2·A1A1 = A1A1 (156) A2A2·A1A1 = Z = A1A1·A2A2 ‹ker A2› ‹im A1› ‹ker A1› ‹ker A2› = 0, (r1 + r2 n).

n С другой стороны, в евклидовом пространстве ‹E › отношения (155) и (156) определяют взаимную ортогональность соответствующих планаров (отдельно образов и ядер A1, A2). Если линейные подпространства задаются нуль-простыми матрицами (см. § 1.6), то можно также использовать характеристические аффинные проекторы.

Например, ‹im Bp1› ‹im Bp2› Bp1 = Bp2, (157) ‹ker Bp1› ‹ker Bp2› ‹im Bp2› ‹im Bp1› Bp1·Bp2 = Bp2 (158) Bp1·Bp2 = Z = Bp2 ·Bp1 ‹ker Bp1› ‹ker Bp2›.

(В формулах с обнулением вместо проекторов могут использоваться матричные характеристические коэффициенты.) Дальнейшее естественное развитие отношений типа (155), (156) состоит в нижеследующих формулировках (159) и (160). В первом случае имеем:

‹im A1› ‹im A2› = 0 rang (A2A2 – A1A1) = r1 + r2 = (159) = rang (A1A1 – A2A2) n, так как ядро матрицы ( A2A2 – A1A1 ) есть ортогональное дополнение к прямой сумме образов ‹im A1 im А2› размерности s1 = n - (r1 + r2).

72 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия Во втором случае – в иной трактовке этой матрицы (а именно через дополнительные ортопроекторы) ядро ( A1A1 - А2А2 ) есть пересечение ядер A1 и А2 размерности s1 = (n - r1) + (n - r2) - n :

‹ker A1› ‹ker A2› = 0 rang (A2A2 – A1A1) = = 2n - (r1 + r2) = rang (A1A1 - А2А2) n, (160) так как ядро той же матрицы имеет размерность s2 = (r1 + r2) - n.

Соотношения ( 159) и (160) совместны тогда и только тогда, когда ‹im A1› ‹im A2› ‹A n› ‹ker A1› ‹ker A2›.

При этом вышеуказанная матрица в круглых скобках – несингулярная.

Аналогичным образом имеем:

‹im A1› ‹im A2› 0 rang (A2A2 – A1A1) < r1 + r2, (161) ‹ker A1› ‹ker A2› 0 rang (A2A2 – A1A1) < 2n - (r1 + r2). (162) § 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и сферически ортогональные рефлекторы Матричная характеристика sin Ф = (А2А2 – А1А1) = (А1А1 – А2А2) = sin Ф = - sin Ф (163) 12 12 определяется как проективный тензорный синус угла Ф между планарами ‹im A1› и ‹im А2› или линеорами A1 и А2. Проективный характер угла и соответственно функции отмечается специальным знаком тильды сверху:

Ф = (Ф ) = - Ф (164) 12 12 21.

Согласно (163), угол между ‹im А1› и ‹im A2› аддитивно противоположен углу между ‹ker A1› и ‹ker A2›. Вместе они образуют единую бинарную структуру угла Ф. Например, тензорный синус для пары векторов или прямых выражается как a2a2 a1asin Ф = (a2a2 - a1a1) = -. (165) a2a2 a1aВ частности, на евклидовой плоскости он имеет структуру:

0 sin Ф = sin 12· I22, I22 = R· ·R, 1 § 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и рефлекторы где 12 отсчитывается против часовой стрелки (для правой системы декартовых координат), |12| /2; R – ортогональная модальная матрица.

Условие sin = Ф = Z тождественно отношению параллель12 ности (153), в том числе для нецентрализованных планаров:

‹a1 + im A1›, ‹а2 + im A2›.

Отношения типа (154) также имеют тождественные тригонометрические аналоги:

‹im A1› ‹im A2› sin2 Ф = + sin Ф, (166) 12 ‹im A2› ‹im A1› sin2 Ф = - sin Ф. (167) 12 Действительно, sin2 Ф = A1A1·A2A2 + A2A2·A1A1 = A1A1·A2A2 + A2A2·A1A1. (168) Далее, например, [‹im A2› ‹im A1›] [A1A1·A2 = A2] [A1A1·A2A2 = = A2A2 = A2A2·A1A1 = A2A2·A1A1·A2A2] [sin2 Ф = - sin Ф ].

12 В частном случае (166) тензорный синус есть симметричный проектор (собственные значения 0 и +1); в случае (167) он же – антипроектор (собственные значения 0 и -1).

В свою очередь, эквиранговые планары могут также задаваться сингулярной квадратной матрицей. При этом тензорный угол между ‹im В› и ‹im B› аддитивно противоположен углу между ‹ker B› и ‹ker B›. Вместе они образуют единую бинарную структуру проективного тензорного угла Ф. Аналогично (163) и (164) имеем:

B sin ФВ = (BB – BB) = (BB – BB) = sin Ф = - sin Ф, (169) В В Ф = (Ф ) = - Ф ; (170) В В В sin Ф = Z Ф = Ф = Z B ‹Bm›.

В В В Это условие тригонометрически определяет нуль-нормальные матрицы, которые были введены в § 2.4.

Аналогично, тригонометрические отношения между образом и ядром матрицы характеризует проективный тензорный косинус того же угла:

сos Ф = (А2А2 – A1A1) = (A1A1 - A2A2) = (A1A1 + A2A2 - I) = = (I - A1A1 - А2А2) = cos Ф = cos Ф = cos (- Ф ), (171) 12 21 74 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия cos Ф = (ВВ - ВВ) = (ВВ - ВВ) = (ВВ + ВВ - I) = В = (I - ВВ - ВВ) = cos Ф = cos Ф = cos (- Ф ). (172) В В В В частности, для пары векторов и прямых на евклидовой плоскости имеем:

+1 cos Ф = cos 12 I22, I22 = R· ·R (cos 12 0).

12 0 –Тригонометрические аналоги условий (155), (156) вытекают из формулы cos2 Ф = A1A1·A2A2 + A2A2·A1A1 = A1A1·A2A2 + A2A2·A1A1. (173) Схема вывода аналогична (168).

cos2 Ф = + cos Ф (156), (174) 12 cos2 Ф = - cos Ф (155). (175) 12 Тензорные тригонометрические функции проективного угла в метрической форме характеризуют пространственные угловые отношения между линеорами или между планарами. В тензорном варианте косинус и синус основного и дополнительного (до согласованного с ним прямого угла) также равны между собой:

cos Ф = sin ( 2 - Ф), sin Ф = cos ( 2 - Ф).

/ / В аффинном пространстве угол не имеет количественного смысла за исключением, когда он нулевой или открытый. В евклидовом просn транстве ‹E › прямые тензорные углы образуются, например, парами планаров ‹im А› и ‹ker А›, ‹im В› и ‹ker B›:

(A1A1 - A1A1) = Ref{A1A1} = cos Ф - sin Ф = cos Z, (176) 12 12 (A2A2 - A2A2) = Ref{A2A2} = cos Ф + sin Ф = cos Z ; (177) 12 12 (BB - BB) = Ref{BB} = cos Ф - sin Ф = cos Z, (178) В В В (BB - BB) = Ref{BB} = cos Ф + sin Ф = cos Z. (179) В В В С одной стороны, это – синусы вышеуказанных прямых углов; с другой стороны, это – косинусы нулевых тензорных углов, соответствующих планарам ‹im A1›, ‹im А2› и ‹im B›, ‹im B›. Характеристические симметричные квадратные корни (176)–(179) типа I = ( I ) опре деляются как сферически ортогональные рефлекторы. В общем случае они обозначаются как Ref Вm, где Вm есть нуль-нормальная матрица.

§ 5.2. Проективные тензорные синус, косинус и рефлекторы Тензорные рефлекторы осуществляют операцию линейного отражения (рефлексии). При этом планар ‹im Bm› есть линейное зеркало, от которого происходит ортогональное отражение. Некоторые частные случаи:

sin Ф = Z cos Ф = I, cos Ф = Z sin Ф = I, cos Ф = + I rang A = n, rang В = n;

cos Ф = - I rang A = 0, rang В = 0;

при этом sin Ф ± I.

Очевидны тождества: I · I = I = I · I, или (A1A1 + A1A1)·(A2A2 + A2A2) = I = (A2A2 + A2A2)·(A1A1 + A1A1), (180) (BB + BB)·(BB + BB) = I = (BB + BB)· (BB + BB). (181) Отсюда следуют тригонометрические формулы:

cos2 Ф + sin2 Ф = I, (182) cos Ф·sin Ф = - sin Ф·cos Ф, cos2 Ф·sin2 Ф = sin2 Ф·cos2 Ф, (183), (184) cos2k Ф·sint Ф = sint Ф·cos2k Ф, cost Ф·sin2k Ф = sin2k Ф·соst Ф. (185) Далее при выводе тригонометрических формул можно также использовать таблицу умножения разнородных характеристических проекторов:

В·ВВ = ВB = ВB·В, В· ВВ = ВB = ВB·В, В·ВВ = ВB = ВB·В, В·ВВ = ВB = ВB·В, В·ВВ = В = ВB·В, В· ВВ = В = ВB·В, В·ВВ = В = ВB·В, В·ВВ = В = ВB·В.

Проективный характер определённых выше тригонометрических функций показывают формулы:

ВВ = + B·cos Ф = + cos Ф·В, (186) ВВ = + B·cos Ф= + cos Ф·В, (187) ВВ = - B·cos Ф = - cos Ф·В, (188) ВВ = - B·cos Ф = - cos Ф·В, (189) 76 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия В - ВВ = ( Z )1 = + B·sin Ф = + В·ВВ = - ВВ·В, (190) В - ВВ = ( Z )2 = + B·sin Ф = - ВВ·В = + В·ВВ, (191) В - ВВ = - ( Z )2 = - B·sin Ф = - ВВ·В = + В·ВВ, (192) В - ВВ = - ( Z )1 = - B·sin Ф = + В·ВВ = - ВВ·В, (193) ВВ = В·B·cos2 Ф = B·cos2 Ф·В = cos2 Ф·В·В, (194) ВВ = В·B·cos2 Ф = B·cos2 Ф·В = cos2 Ф·В·В, (195) ВВ·ВВ = cos2 Ф·В = B·cos2 Ф, (196) ВB·ВВ = cos2 Ф·В = B·cos2 Ф. (197) Проективные тригонометрические формулы и тензорные углы наглядно иллюстрирует символический тензорный октаэдр, образуемый восемью характеристическими проекторами в 2-х валентном евклидовом пространстве (рис.1). Для нуль-нормальной матрицы этот октаэдр вырождается в символический тензорный прямоугольный треугольник.

Q BB I / B R B BB BB B / P BB Z B S Рис. 1. Символический тензорный октаэдр из характеристических проекторов, иллюстрирующий тензорные углы.

§ 5.3. Проективные тензорные секанс, тангенс и рефлекторы § 5.3. Проективные тензорные секанс, тангенс и аффинные рефлекторы В свою очередь, тензорные функции секанса и тангенса от того же проективного угла определяются через аффинные или косогональные характеристические проекторы – § 1.2. Складывая (187) и (188), получаем (В - В)·cos Ф = I = cos Ф·(В - В).

На основании этого соотношения матричная характеристика sec Ф = (В - В) = (В - В) = (В + В -I) = (I - В - В) = В (198) = sec Ф = sec Ф = sec (- Ф ) = [( B ) - В] = [В - ( В )] В В В определяется как проективный тензорный секанс угла Ф между В планарами ‹im В› и ‹im B›. Согласно (172), тензорный косинус – несингулярная матрица тогда и только тогда, когда ‹im В› ‹ker B› = 0, то есть когда В – нуль-простая матрица. Поэтому имеем:

sec Ф = cos-1 Ф = I = cos Ф·sec Ф; (199) Вp Bp, sec Ф·cos Ф sec Ф = cos+ Ф = cos Ф = cos Ф·sec Ф. (200) В В, sec Ф·cos Ф В последнем случае подразумевается, что исходная матрица может быть нуль-дефектной, а характеристические аффинные проекторы при этом же могут не существовать. Тогда на подпространстве ‹im В› ‹ker B› косинус и квазисеканс – оба вместе нулевые. Зато для нуль-дефектной матрицы косинус угла между подпространства0 ми ‹im Bs › и ‹im B s › всегда несингулярный. В свою очередь, синус несингулярный тогда и только тогда, когда det sin Ф 0 ‹im В› ‹im В› ‹A n› (rB = n/2). (201) В В случае задания тензорного проективного угла линеорами A1 и Аэто же соответствует объединению условий (159) и (160). Ввиду этого квазикосеканс в общем случае определяется через квазиобратную матрицу cosec Ф = sin+ Ф = cosec Ф = - cosec Ф = - cosec (-Ф ). (202) В В В В В Вычитая (186) из (187), получаем sin ФВ = - cos Ф ·(В - В) = + (В - B)·cos Ф.

В В 78 Глава 5. Тензорная евклидова и квазиевклидова тригонометрия На основании этого соотношения матричная характеристика ( ) ( ) i·tg Ф = (В - B) = (B - B) = [ B - B] = [B - B ] = В = - i·tg ФВ = - i·tg Ф = - i·tg (- Ф ) (203) B В определяется как проективный тензорный тангенс угла Ф. ПринимаВ емая форма проективного тангенса обусловлена тем, что это кососимметричная матрица; её ненулевые собственные значения j = ± i·tg j.

Кроме того, тот же тангенс выражается тригонометрической формулой i·tg Ф = + sin Ф·sec Ф = - sec Ф·sin Ф. (204) В частности, для пары векторов и прямых с учётом (151), (152) имеем:

a2a1 – a1aB – B i·tg Ф = =. (205) В tr B a1a2 = i·tg Ф Квазикотангенс определяется для общего случая матрицей i·ctg Ф = i·tg+ Ф = - i·ctg Ф = - i·ctg Ф = - i·ctg (-Ф ). (206) В B B B B Очевидно тождество (В + B)·(B + В) = I = (В + В)·(В + В). (207) Отсюда следуют тригонометрические формулы:

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.