WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 43 |

/ / Например, вышеуказанные предельные методы применимы к решению задачи на условный экстремум F1(x) на области стационарности F2(х). Данную цепочку можно продолжить в форме многочлена от или от N. Достаточное условие применимости этих двух предельных методов в дифференциальной форме (с малым или с большим параметром) есть, согласно (147), интегрируемость 1n-векторфункции ограничений, а, следовательно, симметричность nn-матрицы Якоби: dh dx = (dh dx). В случае нормального решения уравнения / / Ах = а указанная матрица Якоби есть матрица A.

Согласно общему предельному методу, дифференциальные уравнения ·dF1 dx + h(x) = 0( 0), или dF1 dx + N·h(x) = 0(N ) дают / / полное решение, соответствующее условной стационарности функции F1(x) при ограничении h(x) = 0, тогда и только тогда, когда матрица Якоби вектор-функции ограничений h(x) является нуль-нормальной;

при этом характер условной стационарности задаёт предельная условная матрица Гессе (с точностью до скалярного параметра).

В частности, этот метод даёт весьма просто явное решение задачи на условный экстремум функции второго порядка Q(x) при линейном ограничении Вm·x = а. Для квазиобратной матрицы Мура – Пенроуза Вm+ имеем предельное значение, согласно (73) и (104). В свою очередь, аффинная квазиобратная матрица находится тем же функциональным способом, если использовать вспомогательное линейное преобразование базиса, приводящее нуль-простую матрицу Якоби к нуль-нормальной форме с учётом (69) и (104):

• -Bp·x = a {T·Bp·T }·Tx = Ta ~ Bm·Tx = Ta (Tx) = Bm+·Ta • - x = {T ·Bm+·T}·a = Bp- ·a.

Глава 4. Два альтернативных варианта комплексификации § 4.1. Сопоставление основных вариантов В силу природы комплексных чисел реализуются два принципиально различных подхода к операциям с задаваемыми ими комплексными элементами. Эти операции определяют сущность выполняемой комплексификации.

Адекватный подход заключается в том, что комплексные элементы подвергают тем же операциям, которые применяют для вещественных элементов. Такой вариант комплексификации даёт возможность, как правило, использовать результаты, полученные ранее для вещественных понятий. Исключением при этом являются отношения типа неравенств, конечно, не для заведомо вещественных параметров. Особый случай отвечает псевдоизации, когда комплексные элементы – вещественные и мнимые.

Симбиозный подход, помимо указанных операций, применяет для некоторых комплексных элементов независимую операцию комплексного сопряжения. В частности, эрмитов подход к комплексному векторному и матричному исчислению сопровождает каждую операцию транспонирования дополнительно комплексным сопряжением. Эрмитов вариант комплексификации даёт возможность использовать в самосопряжённой форме понятия вещественного положительного модуля и нормы, а также сохранить в той же форме отношения типа неравенств.

Эти альтернативные варианты определяют два пути дальнейшего развития теории и её приложений в комплексных пространствах. Так, соотношение ‹im B› ‹im В› задаёт адекватно нуль-нормальные матрицы, а ‹im В› ‹im B*› задаёт эрмитово нуль-нормальные матрицы. Адекватно и эрмитово ортогональные проекторы и квазиобратная матрица определяются различно с учётом (98)–(101). Причём адекватные комплексные характеристики существуют также всегда, как и эрмитовы, поскольку из (86) имеем:

§ 4.1. Сопоставление вариантов комплексификации q Mt 2(r)A = k(AA,r) = k(AA,r) = det B1 = i2 0.

i = С другой стороны, в эрмитовом варианте: k(AA*,t) = k(A*A,t) > 0, t r.

В любом случае все проекторы – спектрально неотрицательные матрицы. Разумеется, аффинные проекторы и квазиобратная матрица не зависят от выбора варианта комплексификации. Заметим, что для комплексной несингулярной матрицы: ‹im В› ‹im В› ‹im В*›.

Поэтому комплексная обратная матрица определяется однозначно.

К трём скалярным формам представления комплексного числа (алгебраическая, тригонометрическая и показательная) и к векторной форме можно добавить ещё 22-матричную форму, которая вообще не содержит мнимой единицы:

W(a) p – q cos – sin = · = S + K, q p sin cos ( a = p + iq) (148) W(a) = W(a) p q cos sin = · = S - K, – q p – sin cos (a = p - iq) где S = S, К = - K, SK = KS. Форма (148) представляет число «а» геометрически в вещественном декартовом базисе евклидова пространства. Вещественные представления (148), как и комплексные, коммутативны и удовлетворяют всем формулам и тождествам для комплексных чисел. Они образуют транспонированные по отношению друг к другу пары – аналоги комплексных сопряжённых пар. С этой точки зрения вещественная нормальная nn-матрица представляет геометрически в некотором декартовом базисе k [n/2] комплексных чисел и (n - 2k) вещественных чисел: М = R·W·R. Простая вещественная матрица представляет те же числа в некотором аффинном -базисе: Р = V·W·V. Матрица W, как известно [14], есть каноническая вещественная монобинарная форма, включающая в прямой сумме только 11- и 22-клетки. Она же с точностью до перестановок этих клеток является простейшим вещественным решением векового уравнения матрицы с() = 0. Применяя к простой матрице теорему -Гамильтона – Кэли, получаем: V ·{c(P)}·V = c(W) = Z.

Далее на основе (148) осуществляем комплексификацию уже матричной формы числа – либо по адекватному варианту, либо по эрмитовому варианту.

64 Глава 4. Два альтернативных варианта комплексификации В первом случае имеем:

W(z1) u – v cos – sin = · = S + K, v u sin cos (z1 = u + iv) (149) W(z1) = W(z2) u v cos sin = · = S - K.

– v u – sin cos (z2 = u - iv) Адекватная W-форма (149) реализуется геометрически в адекватно декартовом базисе комплексного евклидова пространства. Комплексная адекватно нормальная матрица может представлять удвоенное количество комплексных чисел в тех же базисах. Элементы её W-формы – комплексные числа. Упрощение адекватно нормальной матрицы путём адекватно ортогонального модального преобразования возможно вплоть до канонической W-формы.

Во втором случае имеем:

W(z) W*(z) = W( z ) u – v u v = H + Q, = H - Q, (150) – v u v u (z = u + iv) (z = u - i·v) где H = H*, Q = - Q*, HQ = QH. Эрмитова форма (150) реализуется в комплексном эрмитово декартовом (ортонормированном) базисе эрмитова пространства. Матрицы (150) и (148) при эрмитовой комплексификации упрощаются до диагональной формы в некотором эрмитово декартовом базисе. Ввиду этого эрмитово нормальная матрица представляет то же количество чисел – комплексных и вещественных, что и вещественная нормальная матрица. Её упрощение путём эрмитово ортогонального (унитарного) преобразования возможно вплоть до диагональной формы. Диагональные элементы: dt = t·exp (it);

t = - +, t = 0. (Для адекватно ортогональных матриц dt = ± 1;

для эрмитово ортогональных матриц t = ± 1.) Комплексные единицы ± exp (it) являются в общем случае отражательными диагональными элементами. Комплексное отражение (рефлексия) реализуется только в эрмитовом варианте как геометрическое преобразование. Если же диагональные элементы образуют комплексные сопряжённые пары, то в соответствующей бинарной тригонометрической клетке есть информация об эрмитовой ротации.

§ 4.2. Примеры адекватной комплексификации § 4.2. Примеры адекватной комплексификации Характерными примерами адекватной комплексификации являются формулы решений алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами; комплексные аналитические функции и тождества, дифференциалы и интегралы; тригонометрические формулы для комплексных углов. В комплексном пространстве, метризуемом по адекватному варианту, неизбежно получаются комплексные меры для протяжённости и угла, хотя в псевдоевклидовом пространстве реализуются вещественные и мнимые меры. Укажем соответствующие адекватные псевдоаналоги: псевдоевклидова геометрия, включая тригонометрию; псевдосферическая геометрия на сфере мнимого радиуса.

Рассмотрим, например, использование адекватной комплексификации в теории аналитических функций комплексного аргумента.

Пусть z = х + iy, где z, x и у – n1-вектор-аргументы в комплексном и вещественных n-мерных евклидовых пространствах; F1(x,y) + + iF2(x,y) = F(z) – скалярная комплексная аналитическая функция от z.

Дифференцирование и интегрирование в евклидовом пространстве по n1-вектор-аргументу осуществляется в декартовых координатах.

Адекватные аналоги исходно имеют место для полных производных, дифференциалов и интегралов. Отсюда далее выводятся частные характеристики и устанавливается их взаимосвязь:

dF = h(z)dz dF = dF1 + idF2 = (h1(x,y) + ih2(x,y))(dx + idy) = = [h1(x,y)dx - h2(x,y)dy] + i·[h1(x,y)dy + h2(x,y)dx)], где 1n-вектор-производные (частные градиенты) составляют пары:

F1 Fh1(x,y) = =, x y (a) F1 Fh2(x,y) = – = y x – уравнения Д’Аламбера–Эйлера в векторной форме (для скалярной функции F). Применим повторно ту же схему для 1n-вектор-функции h(z) = h1(x,y) +ih2(x,y):

2 2 2 h1 h2 F1 F1 F2 F2 h = = = =, x y x2 = - y2 = x y y x x (б) 2 2 2 h1 h2 F2 F2 F1 F1 h= - = = =.

y x y2 = - x2 = y x x y y 66 Глава 4. Два альтернативных варианта комплексификации Первые два члена в цепочках этих равенств составляют уравнения Д’Аламбера–Эйлера в матричной форме (для дифференцируемой по комплексному аргументу вектор-функции). Наряду с симметричностью частных матриц Якоби (ввиду симметричности матриц Гессе), они же формулируют необходимые и достаточные условия полноты дифференциалов в квадратных скобках. Откуда для данных аналитических функций F1 и F2 (от двух вещественных аргументов) одновременно вытекают уравнения Лапласа в матричной форме.

В псевдоевклидовом пространстве (здесь в бинарной комплексной форме), в силу особенности его структуры, вышеуказанные характеристики и соотношения в некоторой степени видоизменяются x z = ; dF = h(z) dz dF = dF1 + idF2 = iy dx = h1 t1 + i· h2 t2 idy = [h1(x,y)dx - t2(x,y)dy] + + i·[t1(x,y)dy + h2(x,y)dx], F1 F2 F2 Fгде h1(x,y) = h2(x,y) = t1(x,y) =, t2(x,y) = - x, x, y y ; (a) 2 h1 F1 h1 t1 F2 t=, =, x x2 = x y y2 = y 2 h2 F2 h2 t2 F t=, =- y21 =, x x2 = x y y (б) 2 h1 F1 F1 t= = = -, y x y y x x 2 t1 F2 F2 h= = =.

x y x x y y Отметим, что здесь уже нет требования по гармоничности функций F1(x,y) и F2(x,y).

Ранее использованные понятия также имеют адекватные аналоги за исключением неравенств не для заведомо вещественных параметров.

(Среди последних – ранг, 1-й и 2-й рок). Параллельность линейных объектов, как известно, - аффинное понятие. Именно поэтому она не зависит от выбора варианта комплексификации. Но оптимальная процедура проверки параллельности объектов для вещественного и комплексного пространств различается. Пусть две nm-матрицы § 4.3. Примеры эрмитовой комплексификации A1 и A2 задают линейные подпространства (или линейные объекты) n в аффинном пространстве ‹A ›. Чтобы использовать в процедуре проверки параллельности характеристические симметричные проекторы, нужно перейти к тождественной по образу nn-матрице:

‹im AC› ‹im A›, где C - mn-матрица, удовлетворяющая условиям:

1) ‹im C› ‹ker A› = 0 rang AC = rang A; 2) k(AC,r) 0.

В частности, для вещественного пространства выбирают C = A, а для комплексного пространства лучше выбрать C = A*. Вообще же имеют место отношения:

1) ‹im A2› ‹im A1› A1C1·A2 = A2 A1C1·A2 = Z (A1A1*·A2 = Z = A2*·A1A1*).

2) ‹im A2› ‹im A1› A1C1·A2 = Z = A2C2·A(A1A1*·A2 = Z = A2A2*·A1 A1A1* = A2A2* A1A1* = A2A2*).

Но и для комплексных объектов можно также выбрать C = A, так как для них имеем:

r = r = rang A = rang AA = rang AA, k(AA,r) 0.

В свою очередь, ортогональность линейных объектов определяется для комплексного евклидова пространства в адекватном варианте:

‹ im A1› ‹ im A2› A1·A2 = Z = A2·A1, а для эрмитова пространства – в эрмитовом варианте:

‹ im A1› ‹ im A2› A1*·A2 = Z = A2*·A1.

§ 4.3. Примеры эрмитовой комплексификации Укажем примеры эрмитовой комплексификации. Это принцип максимума модуля, справедливый в том числе для вектор-функций;

результаты, изложенные ранее с использованием операции транспонирования, включая неравенства (123), (124) и (141); неравенство Адамара и отвечающее ему неравенство (125) для миноранта – все в самосопряжённой форме. В тензорной тригонометрии эрмитова пространства особое значение имеет самосопряжённый аналог тождества Коши (142), на основе которого определяются эрмитово сферические тригонометрические функции бинарных углов на эрмитовой плоскости. Аналогично производятся косинусное и синусное нормирующие неравенства для угла между двумя векторами в эрмитовом пространстве.

68 Глава 4. Два альтернативных варианта комплексификации Кроме того, в эрмитовом пространстве используют как аналоги вещественные положительно определённые меры: нормы для протяжённости и угла.

Формулировки теоремы Кронекера – Капелли через формулы (122) и (136) связаны с минорантным признаком параллельности. Минорант отличен от нуля в адекватном варианте и положителен в эрмитовом варианте комплексификации.

Более общий по сравнению с эрмитовым симбиозный подход, определённый в начале главы, в применении к теории аналитических функций и к основным операциям анализа (ортогональное дифференцирование и интегрирование) в комплексном пространстве приводит к симбиозным аналогам. Это суть особые правила симбиозного, или сопряжённого дифференцирования и интегрирования; особые условия дифференцируемости и аналитичности функций от сопряжённых аргументов x и x и особые условия интегрируемости дифференциальных выражений (полноты дифференциала); симбиозные аналоги методов решения задач на безусловный и условный экстремум скалярной функции. Последняя необходимо симметрична по отношению к сопряжённым аргументам. По существу это есть дальнейшее развитие известной идеи формальных производных (см. например [12]) для анализа неголоморфных, в том числе особо важных вещественных функций комплексных переменных. Для иллюстрации таковых в данной монографии можно указать конкретные примеры: квадрат эрмитова модуля невязки (116) комплексного линейного уравнения – модульная функция || Ax - a ||2; вещественные, в том числе положительные коэффициенты алгебраического уравнения, имеющего вещественные и комплексные сопряжённые корни-аргументы i, – немодульные функции от корней, сводимые в n1-вектор-функцию k = k().

Используя эрмитов вариант модуля невязки комплексного линейного уравнения и предельного метода решения задачи на условный экстремум (§§ 2.5 и 3.4), приходим к функциональному способу вывода предельной формулы (143), (144) для комплексной квазиобратной матрицы Мура – Пенроуза.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.