WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 43 |

• 1 = - A1A1 ·A, (108) • nt 1 = Z A ‹A1A1 ·E › ‹KERR A1A1 ›;

• 2 = - A·A2 A2, (109) • tm 2 = Z A ‹E ·A2 A2› ‹KERL A2 A2›;

• = - A1A1 ·A - A·A2 A2 +A1A1 ·A·A2 A2, • n1m2 (110) = Z A ‹ A1A1 · E ·A2 A2› ‹KERR A1A1 KERL A2 A2›.

Кроме того [3], A+ является единственным элементом пересечения множеств правых и левых квазиобратных матриц [18, 55], задаваемых уравнениями типа (99). В общем виде имеем:

mn ‹AR › A+ ‹A A·E ·AA › (111) – они производят ортопроекторы, указанные в (108);

mn ‹AL › A+ ‹A A·E ·AA›; (112) – они производят ортопроекторы, указанные в (109);

A+ = ‹AR › ‹AL ›. (113) § 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица Согласно (108) – (110), имеем:

• rang A1 = n 1 = Z, • rang A2 = m 2 = Z, (114) rang A1 = n• = Z.

rang A2 = mВ частности, исследуем дополнительно классическое уравнение:

• • || Ax - a || = min, x = A+·a = [A(r) k (AA,r)] a, (115) / • = - AA·a; (116) • = 0 a ‹ker AA› ‹ker K1(AA,r)›. (117) Геометрически минимодульная невязка уравнения (115) есть антипроекция (116). Поэтому для её евклидовой нормы справедливо:

• • || ||2 = - ·a, (118) • || || = sin ·|| a ||, (119) где – скалярный угол между вектором a и подпространством ‹im A›.

В заключение исходя из (101) дадим формулу для элементов (pq) • mn-матрицы A(r) в (115) в эрмитизированной форме:

(qp) (qp) (pq) = det A Adqp A, r r minor (r) minor (r) Cm – 1Cn – где p = 1,m, q = 1,n; p и q – новые индексы элемента aqp в минорах A.

В итоге формула (115) даёт обобщение формул Крамера. В частности, при r = n = m она даёт матричное решение невырожденного линейного • уравнения, так как A(n) = det A·Av, k(AA*, n) = det A·det A.

Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц § 3.1. Минорант матрицы и его применение Если A1 и А2 суть nm-матрицы, то k(A1A2,t) = k(A2A1,t).

Напомним, что скалярные коэффициенты представляют собой сумму детерминантов диагональных миноров одного и того же порядка t.

Представим каждый диагональный минор матрицы A1A2 через мультипликацию tm-субматриц строк:

{D-minor (t)A1A2} = {lig (t)A1}·{lig (t)A2}.

Согласно формуле Бине – Коши [30, с.39], его детерминант есть сумма всех парных произведений детерминантов миноров порядка t с одним и тем же набором номеров столбцов. При транспонировании матриц A1 и А2 во всех указанных формулировках строки заменяют на столбцы, а столбцы на строки. Именно так устанавливается взаимнооднозначное cоответствие между двумя совокупностями Сnt·Сmt произведений детерминантов миноров, которые в сумме составляют скалярные коэффициенты порядка t для матриц A1·A2 и A1·A2.

Следовательно, эти коэффициенты равны между собой, что даёт формулу перегруппировки:

k(A1A2,t) = k(A1A2,t) = k(A2A1,t) = k(A2A1,t). (120) В частности, если A1 = А2 = А, то k(AA,t) = det2 {minor (t)A} = k(AA,t) 0. (121) t t Cm Cn Для высшего порядка t = r определим положительную характеристику прямоугольной матрицы – минорант:

Mt (r)A = k(AA,r) = k(AA,r) = Mt (r)A > 0.

Из (121) непосредственно видно, что минорант равен квадратному корню из суммы квадратов детерминантов всех базисных миноров матрицы.

§ 3.1. Минорант матрицы и его применение Частные случаи для миноранта.

1) Пусть n > m = r. Тогда Mt 2 (m)A = det AA и квадрат миноранта равен определителю Грама для совокупности m вектор-столбцов A.

2) Пусть m = 1. Тогда минорант есть евклидова норма вектора a.

3) Пусть n = m = r. Тогда минорант есть модуль детерминанта квадратной матрицы.

Используя (67), нетрудно получить минорант гомомультипликации Mt (r){AAA …} = Mt (r){AAA…} = k[(AA)h,r] = kh(AA,r) = h = Mt h(r)A.

Пусть {A|a} – расширенная по столбцам матрица уравнения (115).

С учётом (116), используя известное свойство определителя Грама [14, с. 216], получаем формулу • Mt (r + 1){A|a} = sin ·|| a ||·Mt (r)A = || ||·Mt (r)A. (122) В частности, отсюда имеем формульное выражение теоремы Кронекера – Капелли через значение суммы квадратов детерминантов всех миноров порядка (r + 1):

• Mt 2(r + 1){A|a} = 0 = 0 sin = 0.

Представим формулу (122) тригонометрически 0 sin = Mt (r + 1){A|a} Mt (r)A·Mt (1) a 1. (123) / В частности, получаем формулу для синуса угла между двумя векторами sin 12 = Mt (2){a1|a2}/Mt (1) a1·Mt (1) a2 = = det{[a1|a2]·[a1|a2]} || а1||·|| а2|| 0. (124) / Используя связь миноранта nm-матрицы с определителем Грама для совокупности её вектор-столбцов (m n), нетрудно установить его геометрический смысл. Вначале рассмотрим случай m = r. (Такие специальные матрицы широко используются во втором разделе монографии для представления линейных геометрических объектов.) Запишем матрицу в виде набора вектор-столбцов. Пусть A есть nj-матj рица, образуемая первыми j вектор-столбцами. Каждая последующая A рассматривается как расширенная матрица {A |a }. К ней j + 1 j j + применяются формулы (119) и (122) или известная геометрическая связь с корнем из определителя Грама [14, с. 215–219]. В результате последовательного применения этих формул получаем выражение для миноранта в виде 56 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Mt (r)A = vr = || a1||·sin 1,2·|| a2||·sin 1,2,3·…·|| ar|| || a1||·|| a2||·…·|| ar||, (125) где vr – обобщённый r-мерный объём косого параллелепипеда, натянутого на вектор-столбцы матрицы А (0 < /2). При n = m = r имеет место синусное неравенство Адамара [27, с.35]. Кроме того, на основании (74) имеем:

q Mt (r)A = isi > 0, i = (i > 0) (126) q АА = (i2 Inn - АА) i2, · / i = где i2 – ненулевые собственные значения матрицы АА или АА.

В самом общем случае (n m r t) коэффициенты выражаются либо геометрически как суммы квадратов частных t-мерных объёмов, либо алгебраически как суммы Виета для собственных значений:

k(AA,t) = vt2 = st (i2) = vt2 > 0, (p) t C m (127) m k(AA,l) = l = s1 ( ) = l 2 = || A ||F2 > 0.

(p) i Если используются декартовы координаты, то vt (p) есть ортопроекция объёма vt ранга t. Отношение vt (p) vt = cos р есть р-й направляющий / косинус. Формула (127) выражает теорему Пифагора для линейных объектов, задаваемых, в частности, nr-матрицей. Все вышеуказанные характеристики всегда положительны и инвариантны по отношению к ортогональному преобразованию вектор-столбцов или вектор-строк A и базиса. Например, Mt (r)A = Mt (r){R1·A·R2} = Mt (r) АА = Mt (r) АА. (128) Здесь, возможно, сингулярные арифметические корни связаны с матрицей через квазиполярное разложение (называемое ещё как QR-разложение):

А = S1·Rq = AA ·{( AA )+·А}, (129) А = Rq·S2 = {A·( AA)+}· AA, (130) где S1 = Rq·S2·Rq AA = Rq·AA·Rq, Rq = A·( AA)+ = ( AA )+·A A· AA = AA ·A, Rq·Rq = AA, Rq·Rq = AA, Rq = Rq+.

§ 3.2. Синусные характеристики матриц Нетрудно видеть, что здесь преобразование А Rq тождественно по результату процессу ортогонализации Грама – Шмидта для системы m линейно независимых векторов:

А = {a1, a2, …, am} {e1, e2, …, em} = Rq.

Это алгебраическое преобразование есть его некий однозначный вариант (для заданной последовательности). Вообще же в евклидовом пространстве процесс ортогонализации Грама – Шмидта приобретает мнемонически более удобную алгебраическую форму и более очевидную геометрическую интерпретацию в сравнении с классической [27, с. 431], если для его реализации применять ортопроекторы:

i – 1 i – v1 = a1, vi = ai – [ek· ek] · ai = {I – [ek· ek]}· ai ;

k = 1 k = et = vt || vt||, t = 1, m ; ei· ei = ei· ei (в итоге имеем: vi = [ei· ei] · ai ).

/ § 3.2. Синусные характеристики матриц Если Е = {ei}nn, где || ei|| = 1, то в декартовом базисе матрица Е n задаёт n-рёберный (полигранный) тензорный угол в ‹E ›, a |det E|, согласно неравенству Адамара (см. выше), определяет его скалярную синусную характеристику. Этому же полигранному углу однозначно соответствует взаимный тензорный угол, задаваемый матрицей = {i}nn = {EiEi·ei·sec i}, где Ei получают из исходной Е обнулением i-го столбца. Причём имеем ряд соотношений:

cos i = ei·i cos2 i = ei·EiEi·ei, ei·j = 0 (0 < cos i 1).

Внутренние мультипликации этих двух матриц связаны формулами:

E· = Dcos = ·E, EE = Dcos ·(·)-1·Dcos, = Dcos ·(EE)-1·Dcos ;

G = Dsec ·EE· Dsec = -1 = [ Dsec · · Dsec ]-1. (131) Во взаимных базисах {E Dsec } и { Dsec } матрицы G и суть соответствующие взаимные метрические тензоры. Синусные характеристики взаимных тензорных углов связаны формулой n det (EE) · det (·) = det2 Dcos = cos2 i.

i = 58 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Откуда следует, что |det E|·|det | = det Dcos ; |det E, det | 1. Однако в данной монографии изучаются только тензорные углы бинарного типа, то есть углы, образуемые парами линейных подпространств (при r = 1 – прямых) или парами конечных линейных объектов (при r = – векторов).

Вернёмся к специальным прямоугольным матрицам (n > m = r).

Докажем, что для миноранта их внешних мультипликаций имеет место формула расщепления Mt (r){A1A2} = Mt (r)A1·Mt (r)A2 = det (A1 A1) · det (A2 A2). (132) Используя определение миноранта, квазиполярное разложение типа (130) и формулу (128), последовательно получаем Mt 2(r){A1·A2} = k[(A1A2A2A1),r] = k[(Rq1·S1·S2·S2·S1·Rq1),r] = = k[(S1·S2·S2·S1),r] = det(A1A1)·det(A2A2) = Mt 2(r)A1·Mt 2(r)A2.

Далее для внешних мультипликаций будут применяться обозначения:

В = А1·А2, B = A2·A1, где для специальных прямоугольных матриц имеем: ‹ im В› ‹ im A1›, ‹ ker B› ‹ ker A2›, ‹ im B› ‹ im A2›, ‹ ker B› ‹ ker A1›. С учётом того, что m = rang A, имеем:

BB = {A1A2A2A1} = A1A1, BB = {A2A1A1A2} = A2A2, (133) BB = {A1A2A2A1} = A1A1, BB = {A2A1A1A2} = A2A2.

С учётом формул (61), (62) и (132), (133) имеем:

K1,2[(A1A2A2A1),r] = det (A2A2)·K1,2(A1A1,r), (134) K1,2[(A2A1A1A2),r] = det (A1A1)·K1,2(A2A2,r).

Пусть теперь ранг обеих прямоугольных матриц может отличаться, но r1 + r2 n. Определим их внешнюю суперпозицию как {A1|A2}.

Обобщая (123), вводим синусное отношение:

|{A1|A2}|sin = Mt (r1 + r2){A1|A2} Mt (r1)A1·Mt (r2)A2 = / A1A1 A1A= det det (A1A1)· det (A2A2) 0. (135) A2A1 A2A§ 3.3. Косинусные характеристики матриц Оно обобщает классическое соотношение (124) для синуса угла между векторами а1 и а2. Синусное отношение имеет природу полуопредёленной нормы. Отметим также, что с использованием миноранта классическая теорема Кронекера – Капелли естественным образом обобщается на матричные линейные уравнения типа (105) – (107):

A1 A • Mt 2 (r1 + r2 + 1) = 0 = Z. (136) Z A§ 3.3. Косинусные характеристики матриц Далее определим ещё одну высшую скалярную характеристику, но только для квадратной матрицы – дианаль:

Dl (r) B = k(B,r) = Dl (r) B.

Используя понятия минорант и дианаль, определим другую скалярную тригонометрическую характеристику – косинусное отношение:

| | |{B}|cos = Dl (r) B Mt (r) B 0, (137) / которое имеет природу косинусной полуопределённой нормы. Нетрудно видеть, что это отношение равно 0 для нуль-дефектной матрицы и 1 для нуль-нормальной матрицы. В свою очередь, имеем:

q1 qs2 j {B}cos = Dl (r) B Mt (r) B = is1i. (138) / / j i = 2 j = Если А1 и А2 суть nm-матрицы, то {A1·A2}cos = Dl (r) (A1·A2) Mt (r) (A1·A2) = / = Dl (r) (A2·A1) Mt (r) (A2·A1). (139) / Если же А1 и А2 – nr-матрицы, то, согласно (120) и (132), имеем:

{A1·A2}cos = Dl (r) (A1·A2) Mt r A1·Mt r A2 = / = det (A1·A2) / det (A1A1)· det (A2A2). (140) Причём (A1·A2) = (A1·A2 ), j (A1·A2) = j (A1·A2 ). Соотно- i i шение (140) обобщает классическую формулу для косинуса угла между векторами а1 и а2:

- 1 соs 12 = tr (а1·а2) Mt (1) a1·Mt (2) a2 = а1·а2 || а1||·|| а2|| + 1. (141) / / 60 Глава 3. Основные скалярные инварианты сингулярных матриц Тригонометрический смысл косинусного и синусного отношений устанавливается во втором разделе монографии на основе матричного тригонометрического спектра. Заметим, что квадрат формулы (135) можно рассматривать как тождество для координат некоторых линейных геометрических объектов, задаваемых матрицами A1 и A2. При m = 1 оно соответствует тождеству Лагранжа (n = 3) и тождеству Коши (n > 2) применительно к координатам пары центральных векторов в аффинном пространстве. С точки зрения евклидовой геометрии эти тождества для векторов имеют тригонометрический характер:

} ]2 ][Mt (2){a1|a2 Mt (1) a1·Mt (2) a2 + [a1 2 Mt (1) a1·Mt (2) a2 = 1. (142) / / ·a Они являются основой для нормирования или измерения угла между векторами в евклидовом пространстве. Все дальнейшие родственные понятия рассматриваются во втором разделе монографии применительно к линейным объектам – более общим, чем векторы.

§ 3.4. Предельные методы вычисления проекторов и квазиобратных матриц Согласно (1) и (101), справедливы предельные формулы:

A+ = lim [A (AA + I)-1] = lim [(AA + I)-1 A] = (143) · · 0 = lim [N·A·(N·AA + I)-1] = lim [(N·AA + I)-1·N·A]. (144) N N Здесь используется то обстоятельство, что из АА·А = Z = А·АА следует соотношение К1(АА,r)·А = Z = А·К1(АА,r). Как и общие формулы (71) – (73), частные предельные фомулы (143), (144) получены здесь чисто алгебраическим путём.

Впервые же нормальное решение линейного уравнения типа Ах = а в форме предела получил Тихонов [44], но функциональным способом.

При этом был использован его же метод регуляризации применительно к задаче на условный экстремум частного характера. А именно: найти значение аргумента с минимумом евклидовой нормы на множестве, соответствующем минимуму невязки уравнения:

U(x,) = ·F1(x) + F2(x) = min, dU dx = 0 (145) / ( 0) ( 0) (F1(x) = x x; F2(x) = (x)·(x), (x) = Ax - a).

· Аналогичный результат, но в форме (144), мог быть получен ещё раньше методом штрафных функций Куранта [16]:

W(x,N) = F1(x) + N·F2(x) = min dx = 0. (146) / (N ) ; dW (N ) § 3.4. Предельные методы вычисления Оба эти метода связаны взаимно-однозначно через умножение или деление на соответствующий скалярный параметр. В свою очередь, метод штрафных функций Куранта решает задачу на условный экстремум F1(x) с градиентной (1n) функцией ограничений h(x) = dF2 dx = 0.

/ Интегрирование позволяет в таком случае перейти от обычной векторной к новой и тождественной ей скалярной форме ограничения:

x h(x) = (147) h(x) dx = 0 = const.

xs Тогда имеем в (146) функцию Лагранжа W(x, N) и единственный в ней скалярный множитель Лагранжа N, так как при этом из дифференциального уравнения в (146) следует, что dh dx·N = h(x)·N = 0·N = -dF1 dx 0.

Pages:     | 1 |   ...   | 5 | 6 || 8 | 9 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.