WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 43 |

/ / Здесь и далее Вр и Вр обозначают собственные характеристические аффинные проекторы для Bp и вместе с тем – идемпотентные матрицы. В случае пространства с евклидовой метрикой это также суть собственные характеристические косогональные проекторы. В аффинном пространстве Вр проецирует на ядро ‹ker Bp› параллельно образу ‹im Вр›, а Вр проецирует на образ ‹im Вр› параллельно ядру ‹ker Bp›. Действительно, K2(Bp,r) = Bp·K1(Bp,r - 1) = K1(Bp,r - 1)·Bp ;

Bp + Bp = I, Bp · Bp = Bp ·Bp = Z ;

2 ( Bp) = Bp·(I - Bp) = Bp, ( Bp) = Bp·(I - Bp) = Bp ;

‹ ker Bp› ‹ im Bp› ‹ A n›, x = Bpx + Bpx = x + x.

Отсюда видно, что произвольный элемент х однозначно разлагается на проекции х (на ‹ker Вр› параллельно ‹im Вр›) и х (на ‹im Bp› параллельно ‹ker Bp›). Итак, Bp = K1(Bp,r) k(Bp,r), (61) / Bp = K2(Bp,r) k(Bp,r) = Bp·K1(Bp,r – 1) k(Bp,r) = K1(Bp,r – 1)·Bp k(Bp,r). (62) / / / § 2.1. Аффинные проекторы и квазиобразная матрица Для некоторых частных случаев имеем: a = 0, a = 1 (где a – скаляр);

Z = I, I = Z ;

‹im K1(Bp,r)› ‹ker K2(Bp,r)› ‹ker Bp›, (63) ‹ker K1(Bp,r)› ‹im K2(Bp,r)› ‹im Bp›;

rang K1(Bp,r) = sing Bp, (64) rang K2(Bp,r) = rang Bp;

(Bp) = (Bp), (Bp) = (Bp), (Bp) = (Bp) = Bp, (Bp) = (Bp) = Bp; (65) t k(B,t) = C, k(B,t) = Crt. (66) n – r Для степени сингулярной матрицы получаем обобщения:

k(Bh,r) = kh(B,r), (67) K1,2(Bph,r) = Kh (Bp,r) = kh - 1(Bp,r)·K1,2(Bp,r). (68) 1,В аффинном пространстве определяется собственная аффинная квазиобратная матрица, коммутирующая с исходной матрицей:

Bp = Bp·[K1(Bp,r – 1) k(Bp,r)] = [K1(Bp,r – 1) k(Bp,r)]·Bp = / / (69) = Bp·[K1(Bp,r – 1) k(Bp,r)]2 = [K1(Bp,r – 1) k(Bp,r)]2·Bp.

/ / Она играет роль обратной матрицы на ‹im Вр› и нулевой – на ‹ker Bp› и определяется уравнениями:

Bp·Bp = Bp·Bp = Bp, (70) Bp = Bp·Bp = Bp·Bp.

Для неё же справедливы соотношения: rang Bp– = rang Bp;

‹im Bp› ‹im Bp›, ‹ker Bp› ‹ker Bp›; B = B1 det B 0;

Bp·Bp·Bp = Bp, Bp·Bp·Bp = Bp;

(Bp) = Bp, (Bph) = (Bp)h, (Bp) = (Bp).

44 Глава 2. Собственные афинные проекторы Согласно (1), (61), (62) и (69), аффинные проекторы и квазиобратная матрица представляются пределами:

Bp = lim [·(Bp + ·I)–1] = lim (N·Bp + I)–1, (71) 0 N Bp = lim [Bp·(Bp + ·I)–1] = lim [N·Bp (N·Bp + I)–1], (72) 0 N Bp-= lim [Bp·(Bp + ·I)–2] = lim [N2·Bp (N·Bp + I)–2] (73) 0 N (Bp + Bp = I, Bp·Bp = Bp·Bp = Bp; N = 1/).

Тривиальными частными случаями нуль-простых матриц Bp являются собственные простые матрицы Pi = P - i·I, P1 = P (1 = 0), в том числе собственные нормальные и симметричные матрицы, степен0 ные матрицы вида Bh s, Bih si.

§ 2.2. Применение результатов в спектральном представлении матрицы и для её приведения к основной канонической форме Характеристические аффинные проекторы для собственных ультраинвариантных подпространств, образующих всегда прямую сумму, можно вычислить исходя из (57) для простой матрицы P [30, с. 156] и исходя из (58)–(60) для дефектной матрицы B [10] :

q Pi = (j·I – P) (j – i), (74) / j = q q 0 = ) Bp(i) = (j·I – B)sj j – i)sj (jh·I – Bh (jh – ih) = (Bh)i, (75) /( / j = 1 j = где ( j i), h max si0; Вр(i) = Bisi. Спектральное представление матрицы B с точностью до ультраинвариантных подпространств даёт одновременно её разложение на характеристические простую и нильпотентную матрицы. Такое разложение, согласно (23), интерпретируется жордановой формой и выражается формулой:

§ 2.2. Применение результатов в спектральном представлении q q q q q B = B· Вр(i) = i·Вр(i) + Bi·Вр(i) = Pi + Oi = PB + OВ (76) i = 1 i = 1 i = 1 i = 1 i = (PBh = Bh, OBh = Z ).

Для составления модальной матрицы преобразования B к основной (диагонально-клеточной) канонической форме могут использоваться коэффициенты вида:

q K1(Bi,ri ) = (j·I – B)sj, согласно (33), j = q Q1(Bi,ri0) = (j·I – B)sj, согласно (56), j = q Q1[(Bh )i,q – 1] = (jh·I – Bh)sj, согласно (58)-(69), ( j i).

j = ‹im K1(Bi,ri)› ‹im Q1(Bi,ri0)› ‹im Q1[(Bh)i,q – 1]› ‹ker Bisi ›, (77) ‹ker K1(Bi,ri)› ‹ker Q1(Bi,ri0)› ‹ker Q1[(Bh)i,q – 1]› ‹im Bisi ›.

Все эти коэффициенты являются нуль-простыми матрицами. Но высшие скалярные коэффициенты последних – ненулевые. Поэтому такие матрицы обязательно имеют базисный диагональный минор, на перекрёстке которого расположены базисная rin-субматрица строк и базисная nri-субматрица столбцов. Соответственно из субматриц столбцов составляется ковариантная, а из субматриц строк – контравариантная модальные матрицы:

Vcol-1·B·Vcol = C, E = Vcol·E, (78) Vlig·B·Vlig- 1 = C, E = Vlig- 1·E, (79) V -1·B·V = C E = V ·E, (80) lig lig, 3 lig V* -1·B*·V* = C*, 4 = V* ·E, (81) lig lig lig где С обозначает каноническую клеточную форму матрицы В в последовательности собственных значений 1,..., q; и k – матрицы вектор-столбцов исходного базиса и базиса канонической формы.

Кроме того, каждое ультраинвариантное подпространство содержит, как известно, неинвариантные подпространства:

46 Глава 2. Собственные афинные проекторы 0 0 – ‹ker Bisi › ‹im Oi1› … ‹im Oisi 1›, (82) 0 0 – ‹ker Bisi › ‹ker Oisi 1› … ‹ker Oi1›;

‹im Oit› ‹im K1(Bi, ri )·Bit› ‹im Q1(Bi, ri0 )·Bit›, (83) ‹ker Oit› ‹im Bit› (t = 1, …, si0 - 1).

Если из проекции в ультраинвариантной клетке вычесть простую диагональную часть, то остаётся нильпотентная клетка, которая может далее подвергаться модальному преобразованию вплоть до нильпотентной жордановой формы.

Модальная матрица, составленная в (78) – (81), получена, в принципе, q для простой матрицы PB = Pi. Поэтому общая форма ковариантной j = модальной матрицы имеет вид:

‹Vcol› Vcol ·‹Cq› (Vlig-1 ‹Vcol›), (84) где Сq – клеточная произвольная несингулярная матрица, состоящая из несингулярных блоков c1, …, cq. Количество нильпотентных жордановых субклеток размера tt в i-й клетке основной формы с учётом известной формулы [например, 28, ч.2, с.95] определится как [(rang Oit - rang Oit + 1) - (rang Оit +1 - rang Оit +2 )].

Для генерального спектрального представления матрицы В и её аналитических функций используют интерполяционный многочлен Лагранжа, который даёт компонентные матрицы [30, с. 158]:

B(ik) = [Bik – 1 (k - 1)!] · Bp(i) (‹im B(ik)› ‹im Oik - 1›) (85) / (k = 1, …, si0 ).

Подставим сюда ранее полученное выражение (75) для фигурирующего здесь аффинного проектора. В результате итоговая формула для интерполяционного многочлена Лагранжа приобретает вполне завершённый вид, определяемый только самой исходной квадратной матрицей.

§ 2.3. Приведение нуль-простой матрицы к нуль-клеточной форме § 2.3. Приведение нуль-простой матрицы к нуль-клеточной форме Нуль-простая матрица приводится модальным преобразованием к нижеуказанной нуль-клеточной форме Bc:

Z Z Bp (det B1 0).

Z BОбратим внимание на то, что высшие матричные коэффициенты K1(Bp,r) и K2(Bp,r) как нуль-простые матрицы обязательно содержат базисные диагональные миноры. Они определяют две базисные ns- и nr-субматрицы столбцов. Из последних составляется ковариантная модальная матрица для преобразования базиса:

Vcol-1·Bp·Vcol = Bc (86) (E = Vcol·E, ‹ Vcol› Vcol ·‹ C2›).

Заметим, что вместо вышеуказанного коэффициента 2-го рода может использоваться непосредственно исходная матрица Bp, так как их образы тождественные. Пусть дана пара нуль-простых матриц Bp одинакового размера, для которых выполняется одновременно два условия:

‹im Bp1› ‹im Bp2›, ‹im Bp1› ‹im Bp2› (Bp1 = Bp2, Bp1 = Bp2).

Тогда с учётом (86) для них следуют соотношения:

K1,2(Bp1·Bp2,r) = K1,2(Bp2·Bp1,r) = K1,2(Bp1,r)·K1,2(Bp2,r), (87) k(Bp1·Bp2,r) = k(Bp2·Bp1,r) = k(Bp1,r)·k(Bp2,r).

В частности, последнее из них обобщает классическую формулу для детерминанта произведения матриц: det (B1·B2) = det (B2·B1) = det B1·det B2.

48 Глава 2. Собственные афинные проекторы § 2.4. Нуль-нормальные сингулярные матрицы Рассмотренные выше проекторы Bp и Bp взаимно-однозначно связаны с парой линейных подпространств ‹im Bp› и ‹ker Bp› в n аффинном пространстве ‹A › с некоторым линейным базисом.

Пусть это есть вещественное пространство. Выделим множество вещественных нуль-простых матриц ‹Bm›, для которых имеют место соотношения:

Bm = Bm = (Bm) Bm = Bm = (Bm). (88) Геометрически данное условие выражается так ‹ker Bm› ‹ker Bm› ‹im Bm› ‹im Bm›. (89) n При этом ‹im Bm› и ‹ker Bm› образуют в ‹A › прямую сумму, n так как k(Bm,r) 0. В евклидовом пространстве ‹E › проявляется геометрическая исключительность этих матриц, причём при использовании ортонормированного базиса:

‹ker Bm› ‹im Bm› ‹ker Bm›, (90) ‹im Bm› ‹ker Bm› ‹im Bm›.

То есть матрица, заданная в ортонормированном базисе в ‹E n›, имеет симметричные характеристические проекторы тогда и только тогда, когда подпространства ‹im Bm› и ‹ker Bm› образуют прямую ортогональную сумму.

Матрица Bm обладает свойствами нормальной матрицы на собственном подпространстве, соответствующем нулевому собственному значению. Поэтому она определяется как нуль-нормальная, а её проекторы – как ортогональные. В частности, это суть сингулярные нормальные, в том числе симметричные и кососимметричные матрицы, а также несингулярные матрицы. Имеют место соотношения:

Bm = Bm = K1(Bm,r) k(Bm,r) K1(Bm,r) = K1 (Bm,r) (91) / Bm = Bm = K2(Bm,r) k(Bm,r) K2(Bm,r) = K2 (Bm,r). (92) / n Проектор Bm проецирует в ‹E › ортогонально на ядро матрицы Bm, а проектор Bm проецирует ортогонально на её образ: Bm Bm.

§ 2.4. Нуль-нормальные сингулярные матрицы Очевидно, что все собственные матрицы Bi нуль-простые и вещественные, или все они имеют вещественные аффинные проекторы Bi и Bi тогда и только тогда, когда B простая вещественная матрица с вещественной диагональной формой (собственными значениями).

В свою очередь, для нормальной вещественной матрицы B = M существует ортогональная вещественная модальная матрица R её приведения к вещественной диагональной форме тогда и только тогда, когда она симметрична: M = S. Образ и ядро всех собственных матриц Si ортогонально дополняют друг друга в ‹E n›.

Следовательно, некоторая вещественная матрица имеет все нульнормальные вещественные собственные матрицы тогда и только тогда, когда она симметрична.

В частном же случае собственные матрицы Bi и Bi ранга (n - 1) имеют один и тот же i-й собственный вектор тогда и только тогда, когда Biv = (Biv). При этом ортонормирование столбцов по Граму – Шмидту отдельно в 2-х блоках модальной матрицы Vcol = Vlig в (86) даёт ортогональную модальную матрицу приведения к канонической нуль-клеточной форме:

Rcol · Bm · Rcol = Bc (93) (‹Rcol› Rcol·‹ R2›, ‹ Vcol› Rcol·‹ C2›).

Если исходный базис был декартов, например {I}, то новый ортонормированный базис будет выражаться в нём вектор-столбцами модальной матрицы {Rcol} = {Rlig}. Ориентация базиса сохраняется или выбирается путём умножения Rcol справа на знакопеременную единичную матрицу. В частности, к нуль-нормальным матрицам принадлежат сингулярные M и S.

Аналогично (78), для симметричной матрицы S можно полностью сформировать ортогональную модальную матрицу Rcol её приведения к диагональной форме. Если собственные значения матрицы S различны, то находимые через ‹ker Si› все n её единичных собственных векторов сразу же дают искомую Rcol. Если же некоторые из них вырождены (при si > 1), то прибегают к ортонормированию по Граму - Шмидту.

Приведём встречаемый во втором разделе основной части монографии характерный пример нуль-нормальных матриц, образуемых из прямоугольной nm-матрицы A:

Bm1 = A1·A2, Bm1 = A2·A1 (94) (‹im A1› ‹im A2›, rang A1 = rang A2 = m < n), 50 Глава 2. Собственные афинные проекторы Bm2 = A1·A2, Bm2 = A2·A1 (95) (‹ker A1› ‹ker A2›, rang A1 = rang A2 = n < m).

Укажем некоторые другие свойства изучаемых нуль-нормальных матриц:

(Bm·Bm) = (Bm·Bm) = Bm, (Bm·Bm) = (Bm·Bm) = Bm ;

(96) ‹ker Bm·Bm› ‹ker Bm·Bm› ‹ker Bm›, ‹im Bm·Bm› ‹im Bm·Bm› ‹im Bm›.

Нуль-нормальные матрицы Bm и Bm удовлетворяют двум условиям формулы (87). Поэтому для них также справедливы формулы расщепления:

K1,2(Bm·Bm,r) = K1,2(Bm·Bm,r) = K1,22(Bm,r), (97) k(Bm·Bm,r) = k(Bm·Bm,r) = k2(Bm,r).

В частности, последняя из них обобщает классическую формулу для детерминанта гомомультипликации матрицы:

det (B·B) = det (B·B) = det2 B.

§ 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица Пусть A – nm-матрица, r = rang A. Tогда AA и AA ‹Bm›.

Согласно (91) и (92), AA = K1(AA, r) (AA, r), AA = K1(AA, r) (AA, r). (98) / k / k AA = K2(AA, r) (AA, r) = A·A+, / k {k(AA,t) = k(AA,t)} (99) AA = K2(AA, r) (AA, r) = A+·A, / k где AA проецирует ортогонально на ‹ker A›, aa = I – aa aa;

/ AA проецирует ортогонально на ‹im A›, aa = a·a aa;

/ § 2.5. Сферически ортогональные проекторы и квазиобратная матрица A+ – квазиобратная mn-матрица Мура – Пенроуза [18, 59, 60], для которой rang A+= rang A. Согласно (99), она удовлетворяет условию:

AA ·A+ = A+ = A+· AA. (100) Отсюда следует формула Диселла A+ = A·K1(AA, r – 1) (AA, r) = [K1(AA, r – 1) (AA, r)]·A, (101) / k / k полученная им ранее через алгоритм Сурьё – Фаддеева [52]. Если матричный коэффициент развернуть в многочлен (27), то непосредственно видна тождественность обеих частей этой формулы. В частности, {a}+ = a aa. Квазиобратная матрица Мура – Пенроуза играет роль / обратной матрицы на ‹im А› и нулевой на ‹ker A› при умножении слева:

А+·С = А+·[(АА +АА)·С] = А+·(АА·С). (102) При умножения справа она играет роль обратной матрицы на ‹im A› и нулевой на ‹ker A›:

С·А+= [С·(АА + АА)]·А+ = (С·АА)·А+. (103) В частности, В+ коммутирует с В только на пересечении подпространств: ‹im В›‹im B›. Отсюда следует, что В- = В+ В ‹Вm› В+·В = В·В+. (104) В любом случае, согласно (102) и (103), В+ представляется прямой ортогональной суммой обратной и нулевой матриц. Ортогональная квазиобратная матрица имеет исключительное геометрическое значение в евклидовом пространстве с ортонормированным базисом.

Среди всех квазиобратных матриц, задаваемых уравнением Пенроуза А·Х·А = А, она, как известно, имеет минимальную норму Фробениуса, то есть матричную норму 1-го порядка (см. § 9.1). При этом, что тождественно, она является его нормальным решением как слева, так и справа [18]. Указанное обстоятельство обусловлено требованием (100).

Кроме того, она сама даёт те же нормальные решения с минимумом нормы Фробениуса для правого, левого и смешанного линейного матричного уравнения:

52 Глава 2. Собственные афинные проекторы • А1·Х = А X = А1+·А, (105) nm nt mt • Y·A2 = A Y = A·A2+, (106) nm tm tn • A1 · X ·A2 = A X = A1+·A·A2+. (107) n1m1 n2m2 n1m2 m1nПри этом невязка вышеуказанных линейных уравнений также имеет минимальную норму:

Pages:     | 1 |   ...   | 4 | 5 || 7 | 8 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.