WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 |

Осуществляя ортогональное дифференцирование (223А) и (233А) в указанных цилиндрических координатах, получаем формулы для кривизны и кручения, а также их тригонометрическую взаимосвязь:

r/RK = r2/(a2 – r2) = (r/)2 = sh2, (242А) a/RТ = a2/(a2 – r2) = (a/)2 = ch2.

С учётом того, что a = cth r, отсюда вытекают соотношения:

r/RТ = sh ch ;

(243А) T = K cth (T > K), RТ = RK th.

Полная кривизна ротации псевдонормали как 4-вектор направлена параллельно базовому ‹E 2› и строго к оси винта ct. Угловые скорости и внутренние ускорения выражаются в виде:

||d p||P c·sh v* wQ = = c Q = c T2 - K2 = =, r r d ||d b||P ||d е||P wТ = = c T, wK = = c K;

d d 2 2 2 = g = c / R = c ·sh /r = v*2/r = g ( g v, g = o), K 2 (1) g(1) = g·sch = v2/r = g (1) || g ).

( g Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям В каждой точке М псевдовинта соприкасающаяся псевдоплоскость 1 + ‹P ›(m) ‹p(c), i(c)› рассекает объемлющий цилиндр по мгновенному касательному эллипсу. В его перигее (точке М) радиусы касательных окружности и гиперболы совпадают. Следовательно, нормаль и псевдонормаль к псевдовинтовой мировой линии одинаковы (n = p).

В подвижном трёхграннике Френе ‹p(c), b(c), i(c)› 4-вектор псевдонормали p(c), как и k(c), направлен перпендикулярно к базовой оси ct ; 4-вектор бинормали b(c), как и t(c), направлен тангенциально к окружности радиуса r планетарного физического движения в базовом ‹E ›, то есть вдоль вектора скорости v, но в противоположном ему направлении; 4-вектор единичной касательной i(c), как и c(c), направлен по мировой линии, то есть по ct. В силу этого p(c) и i(c) совместно сферически и гиперболически ортогональны друг другу – см. формулу (240А).

Изложенная абсолютная трактовка, в принципе, обобщается для псевдовинтового движения, проекцией которого является обычное эллиптическое планетарное физическое движение.

* * * В самом же общем случае для мировой линии в ‹P 3 + 1› = 4 = max.

Тогда бинормаль b(c) как единичный вектор подвергается общей сферической ротации в ‹E ›(m), псевдоортогонально дополнительном к i(c), но с двумя степенями свободы в силу её перманентной сферической ортогональности к псевдонормали. Формально вторая степень свободы вызвана ротацией плоскости кручения ‹E 2›T(m) ‹p(c), b(c)› в ‹E ›(m), или её ортопрецессией Z(c). При 4-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223А) и (233А) общая сферическая ротация бинормали разлагается на две сферические составляющие, ортогональные друг другу. В результате имеем третью формулу:

d b(с) = - T(c) p(c) + Z(c) h(c). (244А) dс Здесь первая часть сферической ротации бинормали синхронна со сферической частью общей ротации псевдонормали в формуле (233А). Обе ротации происходят в плоскости ‹E ›T(m). Вторая часть сферической ротации бинормали осуществляется в мгновенной абсолютной плоскости ортопрецессии бинормали ‹E ›Z(m) вокруг мгновенной псевдонормали p(c). (Как и ранее, здесь используется взаимная ортогональность единичного вектора-функции и его векторадифференциала любого порядка.) Единичный 4-вектор тринормали h(c) является однозначным (при = 4 = max) ортогональным 3 (m) дополнением в ‹E ›(m) к ‹E 2›.

T 320 Приложение. Тригонометрические модели движений Наиболее общо он определяется также однозначно как псевдоортогональное дополнение в базовом псевдоевклидовом пространствевремени ‹P 3+1› к тройке единичных орт-векторов – псевдонормали, бинормали и касательной:

(m) {‹E 2› p(c)} ‹E 3›(m) {‹E 2›T(m) h(c)}, Z (245А) {‹E 3›(m) i(c)} ‹P 3 + 1›.

Тринормаль h(c) в плоскости ортопрецессии бинормали b(c) перманентно сферически ортогональна ей. При заключительном 5-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223А), (233А) и (244А) имеем четвёртую формулу:

d h(с) (m) = - Z(c) b(c) = - 1/R b(c). (246А) dс Z Это соотношение вытекает из очевидного условия, что формально последующий и последний в получаемой серии абсолютный дифференциально-геометрический параметр пятого порядка при = 4 является обязательно нулевым (то есть их цепь обрывается).

Она, конечно, также имеет свой вещественный аналог для регулярных кривых, вложенных в евклидово пространство ‹E 4› или ‹E 3 + 1›, и т. д.

В последовательности (m) = {p(c), b(c), h(c), i(c)} эти единичные векторы задают полный абсолютный 4-х ортовый мгновенный псевдодекартов базис в ‹P 3+1›. Здесь они, по определению, составляют правую четвёрку базисных векторов, или мгновенный псевдоортогональный репер. (Ортопрецессия бинормали в окрестности точки М мировой линии совершается в ‹E 3›(m) как для правого винта в абсолютном 3-х ортовом суббазисе (m)(3) = {p(c), b(c), h(c)} при положительном значении величины Z.) В указанном случае правая четвёрка базисных векторов {p(c), b(c), h(c), i(c)} задаёт характеристический подвижный четырёхгранник в ‹P 3 + 1›.

Абсолютная мгновенная угловая скорость сферической ортопрецессии бинормали и вместе с тем сферической ротации тринормали в плоскости ‹E 2›Z(m) выражается в виде:

||d h||P (m) (m) wZ(m) = = c Z(m) = c/R = g /c, (247А) Z Z d (m) где g = g (c) – мгновенное внутреннее ускорение ортопрецессии Z Z бинормали и ротации тринормали. Как 4-вектор оно направлено по мгновенному вектору тринормали:

g (c) = c2 Z(m) h(m) = g (c) h(m). (248А) Z Z Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям Абсолютная полная сферическая кривизна для общей сферической ротации бинормали b(c) в векторной и скалярной формах определяется из (244А) в виде:

l (c) = [– T(c) p(c)] + [Z(c) h(c)], (249А) (m) L(c) = T2 (c) + Z2 (c) = 1/ R ;

L ||d b||P (m) (m) (m) w = = c L(m) = c/R = g /c. (250А) L L L d Здесь gL(m) = gL(c) – мгновенное внутреннее ускорение общей сферической ротации бинормали (брутто-параметр). Как 4-вектор оно направлено по соответствующему суммарному вектору полной кривизны ротации бинормали l (c).

В свою очередь, тринормаль h (c), согласно (246А), подвергается сферической ротации в плоскости ‹E ›Z(m) синхронно со второй частью сферической ротации бинормали. Эта часть ротации b(ct) как единичного вектора имеет сферичискую кривизну Z (радиус кривизны RZ = 1/Z ) и направляющий орт h (c) – вектор тринормали. Поэтому ортопрецессию можно также определить как кривизну третьего порядка. В РТГ в базовом пространстве-времени Минковского это есть максимальный порядок абсолютной кривизны мировой линии.

В ОТО в произвольном псевдоримановом пространстве-времени тот же порядок абсолютной кривизны мировой линии был бы не ограничен сверху в силу неопределённости размерности объемлющего его псевдоевклидова пространства.

Таким образом, в данной заключительной главе, с применением средств тензорной тригонометрии, была изложена геометрическая трактовка абсолютного движения материальной точки под действием активных сил любой природы, в том числе гравитационных, как если бы оно происходило, согласно РТГ, в пространстве-времени Минковского и отображалось наблюдателем в каком-либо его универсальном базисе без искажения пространственно-временной гравитационной линзой, разделяющей материальную точку и данного наблюдателя. В частности, именно такое описание абсолютного движения должно иметь место в локальной окрестности этого пространства-времени, где проходит мировая линия указанной материальной точки.

Список литературы В данный список включены как цитируемые источники, так и литература учебного и информационного характера, содержащая необходимый фундаментальный материал. В ряде случаев для переводных изданий дополнительно указаны оригинальные первоисточники.

1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979.

2. Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства. – М.: Физматгиз, 1982.

3. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства: Пер. с англ. – М.: Мир, 1965.

4. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 2003.

5. Беллони Л., Рейна Ч. Прецессия Томаса. Подход Зоммерфельда: Пер.

с англ. // Эйнштейновский сборник 1984 – 85. – М.: Наука, 1988, с. 201 – 214.

В оригинале: Belloni L., Reina C. Sommerfels way to the Thomas precession // Europ. J. Phys. – 1986, v. 7, p. 55 – 61.

6. Блох П. В., Минаков А. А. Гравитационные линзы. – Киев: Наукова Думка, 1989.

7. Больяи Я. Приложение, содержащее науку о пространстве абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности ХI аксиомы Евклида…: Пер. с лат. – М. - Л., 1950.

В оригинале: Bolyai J. Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens:

a veritate ant falsitate Axiomatis XI Euclidei… – Maros-Vsrhely, 1832.

8. Боулер М. Гравитация и относительность: Пер. с англ. – М.: Мир, 1979.

В оригинале: Bowler M. Gravitation and relativity. – Oxford - New York - Toronto - Sydney - Paris - Frankfurt: Pergamon Press, 1976.

9. Бриллюэн Л. Новый взгляд на теорию относительности: Пер. с франц. – М.: Мир, 1972.

В оригинале: Brillouin L. Relativity reexamined. – New York - London:

Acad. Press, 1970.

10. Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. – Л.: Издательство ЛГУ, 1985.

11. Вейль Г. Пространство - Время - Материя: Пер. с нем. – М.: Янус, 1996.

Список литературы 12. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных. – М.: Наука, 1964, с. 48 – 49.

13. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны: Пер. с англ. – М.:

Наука, 1982.

14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988.

15. Гаусс К. Отрывки из писем и черновые наброски, относящиеся к неевклидовой геометрии. Пер. с нем.// В сборнике: Об основаниях геометрии. – М.: Гостехиздат, 1950.

16. Гилл Ф., Мюррей У. Численные методы условной оптимизации:

Пер. с англ. – М.: Мир, 1977, с. 196 – 206.

17. Гильберт Д. Основания физики: Пер. с нем. // В сборнике: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. – М.: Мир, 1979.

В оригинале: Hilbert D. Die Grundlagen der Physik // Gesselschaft Wiss.

Gttingen / Math.-phys. Klasse. – 1915, Heft 3, S. 395.

18. Грегори Р., Кришнамурти Е. Безошибочные вычисления. Методы и приложения. // Гл. III. Точное вычисление обобщённых обратных матриц: Пер. с англ. – М.: Мир, 1988, с. 124 – 147.

19. Дикке Р. Гравитация и Вселенная: Пер. с англ. – М.: Мир, 1972.

В оригинале: Dicke R. Gravitation and the Universe. – Philadelphia:

Amer. Philosoph. Soc., 1970.

20. Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1974.

21. Ефимов Н. В. Высшая геометрия. – М.: Наука, 1978.

22. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры. Том1: Пер. с нем. – М.:

Гостехиздат, 1956.

В оригинале: Sommerfeld A. Atombau und Spectrallinion. – Braunschweig, 1931, Bd. 1, S. 707 – 711.

23. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984.

24. Каган В. Ф. Лобачевский и его геометрия. – М.: ГИТТЛ, 1955.

25. Клейн Ф. Неевклидова геометрия: Пер. с нем. – М.- Л.: ГОНТИ, 1936.

В оригинале: Klein F. Vorlesungen ber Nicht-Euklidische Geometrie. – Berlin: Julius Springer, 1928.

26. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований (Эрлангенская программа): Пер. с нем. // В сборнике:

Об основаниях геометрии. – М.: Гостехиздат, 1950.

27. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ. – М.: Наука, 1978.

28. Кострикин А. И. Введение в алгебру. //Часть 1. Основы алгебры./ Часть 2. Линейная алгебра.– М.: Физматлит, 2002.

29. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Наука, 1986.

30. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. – М.: Наука, 1982.

324 Список литературы 31. Лобачевский Н. И. О началах геометрии. – Казань: Казанский вестник, 1829 – 1830.

32. Логунов А. А. Лекции по теории относительности. – М.: Наука, 2002.

33. Логунов А. А. Теория гравитационного поля. – М.: Наука, 2001.

34. Лоренц Г. Электромагнитные явления в системе, движущейся с любой скоростью, меньшей скорости света: Пер. с англ. // В сборнике: Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973.

В оригинале: Lorentz H. Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller then that of light // Amster. Proc., 1904, v. 6, p. 809. / 1904, v. 12, p. 986.

35. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств: Пер. с англ. – М.: Наука, 1972.

36. Минковский Г. Пространство и время: Пер. с нем. // В сборнике:

Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973.

В оригинале: Minkowski H. Raum und Zeit // Phys. Ztschr. – 1909, Bd. 10, S. 104.

37. Паули В. Теория относительности: Пер. нем. – М.: Наука, 1983.

38. Постников М. М. Лекции по геометрии. // Семестр 1. Аналитическая геометрия. / Семестр 2. Линейная алгебра. – М.: Наука,1986.

39. Пуанкаре А. К динамике электрона: Пер. с франц. // В сборнике:

Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973.

В оригинале: Poincar H. Sur la dynamique de electron // C. R. Acad.

Sci., Paris – 1905, v. 140, p. 1504. / Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo – 1906, v. XXI, p. 129.

40. Розендорн Э. Р. Поверхности отрицательной кривизны // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. – М.: ВИНИТИ, 1989, т. 48, с. 98 – 195.

41. Сабитов И. Х. Об изометрических погружениях плоскости Лобачевского в Е4. // Сибирский математический журнал, 1989, т. 30, № 5, с. 179 – 186.

42. Синг Дж. Общая теория относительности: Пер. с англ. – М.:

Издательство ИЛ, 1963.

43. Смородинский Я. А. Геометрия Лобачевского и кинематика Эйнштейна // Эйнштейновский сборник 1971. – М.: Наука, 1972, с. 272 – 301.

44. Тихонов А. Н. О некорректных задачах линейной алгебры и устойчивом методе их решения // ДАН СССР – 1965, т. 163, №3, с. 591 – 594.

45. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. – М.: Физматгиз, 1963, с. 312 – 313.

46. Фок В. А. Теория пространства, времени и тяготения. – М.:

Гостехиздат, 1961.

Список литературы 47. Харди Г., Литлвуд Д., Полиа Г. Неравенства: Пер. с англ. – М.: ИЛ, 1948.

В оригинале: Hardy G., Littlewood J., Plya G. Inequalities. – London:

Cambridge University, 1934.

48. Эйнштейн А. К электродинамике движущихся тел: Пер. с нем. // В сборнике: Принцип относительности. – М.: Атомиздат, 1973.

В оригинале: Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Krper // Ann.

der Phys. –1905, Bd. 17, S. 891.

49. Эйнштейн А. Основы общей теории относительности: Пер. с нем. // В сборнике: Альберт Эйнштейн и теория гравитации. – М.: Мир, 1979.

Pages:     | 1 |   ...   | 40 | 41 || 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.