WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |

Производная (223А) выражается функционально как псевдоаналог первой формулы Френе – Серре [27, с. 522], поскольку используемый в ней дифференциал дуги имеет псевдоевклидову метрику. Абсолютный 4-вектор i(c) при движении материальной точки М вдоль своей мировой линии вращается в её окрестности в пределах соприкасающейся псевдоплоскости ‹P 1 + 1›K(m) с абсолютной мгновенной гиперболической угловой псевдоскоростью ||d || ||d i||P ± K(m) = = = c/RK(m) = c K(m) = g(m)/c, (225А) d d где знаки « + » и « - » выбираются для ускоренного и замедленного движений (соответственно кривая выпукла или вогнута). Обратим внимание, что здесь выражается в некотором абсолютном и пока 2-х ортовом базисе m = {p(c), i(c)} в ‹P 1 + 1›(m). В таком базисе внутреннее ускорение g() всегда имеет тангенциальный характер.

Причём в нём cos = ±1 для ускоренного и замедленного движений в формуле (224А). Но если угловую скорость вращения касательной определить через дифференциал длины дуги dc, то тогда она будет тождественна гиперболической кривизне мировой линии (физический смысл последней).

Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям * * * Далее рассмотрим более подробно, нежели в гл. 7А, ортопроекционное тригонометрическое представление абсолютных векторных характеристик движения второго порядка в универсальном базисе 1.

Разложим абсолютные векторы кривизны и внутреннего ускорения на две относительные и ортогональные друг другу проекции – тангенциальную и нормальную по отношению к вектору скорости v = v e:

d е (1) ch i е (1) sh i· d c = d i (c) d i(1) · k(c) = = sh i + d c d c ch i е (1) е (1) = = · = K(1)(c) + K(1) = K(1)(c) p (c) + K(1)(c) p(1)(c) = (226А) = (1) sh i ch р е · = = k(1)(c) + k(1)(c) = K(c) p(c) = K(c) sh р.

Обратим внимание на то, что в таком представлении 2. (То есть формально оно может применяться и для плоской кривой). Здесь d i(1) ||d е||(1) = K(1)(c) = и K(1)(c) = sh i(1) d c d c – тангенциальная и нормальная проекции гиперболической кривизны;

(1) ch i·е = p(1)(ct) = – единичный 4-вектор тангенциальной кривизны, sh i (1) е (1) p (ct) = – единичный 4-вектор нормальной кривизны, d е(1) e(1) = – единичный 3-вектор ортогонального приращения в 1, ||d е||(1) который применялся ранее в (136А), (145А) и (161А). Из формулы (226А) непосредственно следует ряд соотношений.

Для 4-вектора кривизны имеем:

= k = k + k, (227А) = K2 = K2 + K2.

Для трёх векторов и скаляров имеем:

=, (K ch p) e = (K ch е) e + K e = (K ch p)2 = (K ch е )2 + (K)2.

312 Приложение. Тригонометрические модели движений = = K sh p = K sh i sh p = К/К sh i sh i (228A) {i = p K = 0 cos = ± 1 (e = ± e )}.

Последнее имеет место в мгновенном абсолютном базисе m для произвольного движения и в универсальном базисе 1 для простого прямолинейного движения.

Напомним также основные соотношения для ортопроекций абсолютного движения в базисе 1 (из гл. 7А):

= d = d e(m) = d(1) e(1) + d(1) e(1) (d = d(1) = d(m) ), = d2x(m) = d2x(m) e(m) = d2x(1) e(1) + d2x(1) e(1) – см. формулу (161А) (в этих соотношениях 3-вектор e берётся здесь из 4-вектора p);

d d2x(m) = = K = g/c2 d2x(m) = d d c (229А) d c d cd x(m) d x(m) – при этом = 0, но d = d – см. формулу(80А);

d c d c = (d )2 = [d (1)]2 + [d (1)]2 – см. формулу (145А);

=(1) g() = g () + g(1)(), = g2() = g2() + g2().

= = Векторы k, k и k (g, g и g) образуют прямоугольный треугольник в плоскости ‹E ›m. Их модули подчиняются теореме Пифагора, поэтому гипотенузы в них больше катетов. Данные ортогональные разложения кривизны и ускорения (зависящие от базиса) по отношению к вектору скорости v = v e приводят к обеим их релятивистским проекциям (отличие от принципа Герглотца – см. гл. 2А и 4А).

= Указанные векторы направлены по псевдонормалям p, p и p вдоль = (m) осей x(m), x и x(1) (p v). Ортопроекции ускоренного движения отображаются локально в двух координатных плоскостях.

Тангенциальная проекция описывается локально как гиперболичес= = = кое движение в ‹P 1 + 1›(1) ‹v, ct› радиуса R = c2/g, то есть с ускорением = 2 g = cos g. Его проекция на ‹E ›(1) ‹v, g› ‹E ›(1) как физическое движение в последнем есть прямая линия, направленная по вектору v:

= d d2 =(m) x =(1) g = sch3 g = c = – см. формулу (167А).

= d d Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям Нормальная проекция описывается локально как начальное гиперболическое движение, или тождественное ему псевдокруговое движение в ‹P 1 + 1›(1) ‹g, ct› радиуса R = c2/g, то есть с ускорением g = sin g. Его проекция на то же ‹E ›(1) как физическое движение в последнем есть окружность вещественного радиуса r. Причём (m) d d 2 x (1) g = sch2 g = c = – см. формулу (168А) d d (1) (векторы g и g коллинеарны, векторы g и v перпендикулярны), (1) r = v2/ g = ch2 v2/ g = ch2 v2/c2 R = sh2 R.

Последняя формула связывает тригонометрическим образом радиусы нормальных гиперболической и сферической кривизн. В частности, при = 0 (v = 0) имеем: R/r = ; при = имеем: R = r; при (v c) имеем: R/r = 0 (то есть касательная i(c) стремится к изотропному конусу). Двумя маргинальными случаями являются приводимые ниже простые движения (относительно 1).

= Простое тангенциально ускоренное движение, где g 0, g = 0 ( = 2):

= d c d2 c d i d2 x(m) = = d u = = c2 = g ()= = p (c) = g () = p (c) = [ ] d e = const dс d 2 d 2 d = d с= = c p (c), d p (c) = = = R d(1) что тождественно по результату (80А). (В частности, при = const dс совершается интегрально гиперболическое движение, а его проекция на ‹E ›(1) есть равноускоренное (замедленное) прямолинейное физическое движение.) = Простое нормально ускоренное движение, где g 0, g = 0 ( = 3):

d c d2 x(m) = d u = c2 = g p (c) = g () = p (c) = [ ] d2 = d2 c d i d dс = const d2 d d с= c p (c) = p (c).

d R ||d е||(1) (В частности, при = const совершается интегрально псевдовинdс товое движение, а его проекция на ‹E ›(1) есть равномерное планетарное физическое движение.) 314 Приложение. Тригонометрические модели движений Угловая скорость планетарного физического движения в ‹E ›(1) выражается в виде:

||d е|| ||d е|| sch g sch c th c w = = sch = = = = v, sh c r r dt d sh R то есть нерелятивистским образом;

(1) g = v w = sch2 g (см. формулу (168А)).

Для сравнения приведём аналогичное ортогональное разложение ускорения в 1 в нерелятивистской механике, то есть в пространстве времени Лагранжа ( 2):

x v v e · d u u (t) =, = =, t dt d v d e g e g e · · g g·e ·e v· dt = d2u + 0 = +, 0 0 dt2 = 0 = 0 = dt = ||d е|| где g = d v = g cos, g = v = v w = v2/r = g sin ;

dt dt = 2 2 = = g2 = g + g, g = g + g ( g || v, g v).

* * * Отметим,что псевдоаналог (223А) первой формулы Френе – Серре можно вывести тригонометрическим способом, используя как аргумент гиперболический угол движения при дифференцировании в базисе m в соприкасающейся псевдоплоскости:

p d i d i d i d i = p d d = p R d dc (230А) = = R = K p.

Соответственно для кривых в квазиевклидовом пространстве ‹Q n+1› (гл. 8А) в базисе m в соприкасающейся квазиплоскости имеют место аналогичные тригонометрические соотношения:

d e d e d e n d e = n d d = n R d = = d l R = Kn. (231А) Очевидно, что мировая линия, необъемлемая какой-либо псевдо плоскостью, имеет значение 3. В таком случае отдельный её фрагмент или она в целом как регулярная кривая в каждой собственной точке М наряду с абсолютной гиперболической кривизной (K и k) имеет дополнительный параметр – абсолютное сферическое кручение, причём также в скалярной и векторной формах:

Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям t(c) = T(c) b(c), t I t = T2, (232А) b I b = 1.

Кручение вызывает сферическую ротацию соприкасающейся псевдоплоскости ‹P 1 + 1›(m) ‹p(c), i(c)› вокруг мгновенной оси c, или вокруг i(c). При этом псевдонормаль p(c) претерпевает сферическую часть своей общей ротации (сферической и гиперболической).

Сферическая часть ротации p(c) как единичного вектора имеет кривизну T (радиус кривизны RT = 1/ T) и направляющий орт b – вектор бинормали. Поэтому кручение можно также определить как кривизну кривизны, или как кривизну второго порядка.

Для кривой порядка вложения = 3 (например, псевдовинтовой линии) бинормаль находится в каждой точке М как единичное 2 (m) ортогональное дополнение к псевдонормали в собственной ‹E ›.

T Такая картина имеет место при криволинейном физическом движении в некоторой евклидовой плоскости, в том числе планетарного типа.

В этом случае правая тройка векторов {p(c), b(c), i(c)} задаёт подвижный трёхгранник Френе в ‹P 2 + 1› CONST.

В самом же общем случае бинормаль и кручение вычисляются совместно в результате 3-го дифференцирования вдоль мировой линии после (222А) и (223А):

d p(c) = – K(c) i(c) + T(c) b(c). (233А) d c Бинормаль b(c) сферически ортогональна p(c) в мгновенной абсолютной плоскости кручения псевдонормали ‹E ›T(m) ‹p(c), b(c)›, но как 4-вектор она псевдоортогональна p(c) и i(c) в ‹P 3 + 1›. В той же последовательности (m) = {p(c), b(c), i(c)} они задают абсолютный и пока 3-х ортовый мгновенный псевдодекартов базис в ‹P 2 + 1›(m). Последнее есть мгновенное абсолютное соприкасающееся плоское трёхмерное подпространство-время. Кручение Т в окрестности данной точки М – положительная характеристика (для правого 3-х ортового базиса), если вид кривой мировой линии в нём напоминает правый винт, и обратно.

Производная (233А) выражается функционально как псевдоаналог второй формулы Френе – Серре. В силу единичности вектора p(c), его дифференцирование вдоль кривой, как и вектора i(c) в (223А), сводится к некоторой ротации. Эта общая ротация в (233А) разложена на две псевдоортогональные друг другу составляющие: гиперболическую и сферическую.

316 Приложение. Тригонометрические модели движений Гиперболическая ротация p(c) происходит синхронно с i(c) в одной и той же соприкасающейся псевдоплоскости кривизны ‹P 1 + 1›K(m) вокруг мгновенной бинормали b(c) с отрицательной по отношению к (225А) гиперболической угловой скоростью «– K(m)».

Сферическая ротация p(c) происходит в плоскости кручения ‹E 2›T(m) вокруг мгновенной i(c) с абсолютной сферической угловой скоростью:

(m) wT(m) = c T = c / RT(m) = gT(m)/c, (234А) где gT(m) = gT(c) – мгновенное внутреннее ускорение кручения псевдонормали. Как 4-вектор оно направлено по бинормали (m) (m) (m) gT(c) = c2 T b = gT(c) b. (235А) Абсолютная полная кривизна для общей ротации псевдонормали p(c) в векторной и скалярной формах определяются из (233А) как q(c) = [T(c) b(c)] + [– K(c)(m)i(c)], (236А) (m) Q(ct) = T2(c) – K2(c) = 1/ R.

Q Она времениподобна при K > T, в том числе при Т = 0, и пространствуподобна при T > K. Но как кривизна (см. выше) Q > 0. В зависимости от соотношения между Т и K определяется либо гиперболическая, либо вырожденная, либо сферическая угловая скорость общей ротации псевдонормали:

||d p||P (m) (m) wQ(m) = = c Q(m) = c / R = g /c, (237А) Q Q d (m) где g = g (c) – мгновенное внутреннее ускорение общей ротации Q Q псевдонормали (брутто-параметр). Как 4-вектор оно направлено по соответствующему суммарному вектору полной кривизны ротации псевдонормали q(c). При Т = K имеем: Q, w, g = 0 (эффект Q компенсации полной кривизны общей ротации псевдонормали вследствие её вырождения на изотропном конусе).

Отметим также, что в известной монографии Синга, посвящённой ОТО, псевдоаналог теории Френе – Серре почему-то утверждается в абсолютных ковариантных производных для искривлённого псевдориманова пространства-времени [42, с. 17–20]. В силу его неизотропности формулы – аналоги здесь не могут быть однозначными.

Во второй формуле – аналоге (233А) допущена ошибка в знаке перед первой – гиперболической частью ротации псевдонормали. (Если переменить знак псевдонормали, то изменятся знаки и в других формулах.) Глава 10А. Внутренняя геометрия движения по мировым линиям * * * При = 3 имеет место псевдоаналог третьей формулы Френе – Серре:

d b(c) = - T(c) p(c) = -1/ R (m) p(c). (238А) T d c В этом случае при 4-ом дифференцировании вдоль мировой линии после (222А), (223А) и (233А) ротация бинормали осуществляется синхронно со сферической частью ротации псевдонормали – кручением.

Обе эти синхронные ротации происходят в одной и той же мгновенной абсолютной плоскости кручения ‹E 2›T(m). Кроме того, в этом случае 1 + 1 2 + {‹P ›K(m) b(m)} {‹E 2›T(m) i(m)} ‹P ›Q CONST (239А) есть плоское подпространство-время событий ( = 3). Такого рода абсолютное движение проецируется гиперболически на какую-либо евклидову плоскость ‹E 2› ‹P 2+1›Q как криволинейное неравномерное физическое движение в ней (в общем случае).

Особый частный случай при = 3 – псевдовинтовое движение вокруг некоторой (базовой) стрелы времени ct в каком-нибудь.

Соответственно в проекции на базовое ‹E › оно представляется как равномерное планетарное физическое движение. Оно характеризуется постоянством своих абсолютных параметров (в скалярной форме) и их определённой тригонометрической взаимосвязью. В базисе псевдовинтовое движение реализуется тогда и только тогда, когда выполняются условия:

K(c) = const, T(c) = const, (240А) p(c) i(c).

Здесь к универсальному свойству гиперболической ортогональности векторов p и i добавлено требование их сферической ортогональности в ‹P 2 + 1›Q. Следовательно, они образуют абсолютный универсальный 2-х ортовый базис. Общая ротация псевдонормали (236А) происходит в данном случае именно в базовом ‹E ›. Поэтому она обязательно пространствуподобна. Наиболее просто и наглядно псевдовинтовое движение задаётся в цилиндрических координатах:

x1 = r cos, x2 = r sin, (241А) ct = a, 318 Приложение. Тригонометрические модели движений где r – вещественный радиус проекции винта на базовое ‹E ›, или радиус планетарного физического движения;

– параметрический угол сферической ротации в базовом ‹E 2›;

a – высота винта для единичного.

Данному псевдовинтовому движению отвечает характеристический внутренний гиперболически прямоугольный треугольник (§ 6.4) с катетами r и a (a > r). Он реализуется в двух вариантах (при значении = 1 рад) – либо как плоский треугольник на централизованной секущей псевдоплоскости (содержащей ct), либо как треугольник на боковой цилиндрической поверхности, объемлющей винт. При этом у них общая высота-катет «a», равное основание-катет «r» и поэтому равная гипотенуза, определяемая псевдоевклидовой теоремой Пифагора:

2 = a2 – r2.

Исходные параметры «a» и «r» однозначно задают постоянный гиперболический угол движения = Arsh r/ (sh = r/).

Pages:     | 1 |   ...   | 39 | 40 || 42 | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.