WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 43 |

Аналогичный подход с использованием эрмитова сопряжения распространяется на комплексные матрицы. Среди них априори вещественные собственные значения имеют эрмитовы матрицы. Для комплексной эрмитово нормальной матрицы используется разложение:

НB = (В + В*) 2, QB = (В - В*) / 2 (В = НB + QB = НB + i · НQ), / * НB· QB = QB· НB НB· НQ = НQ· НB В ‹N›, где N · N* = N · N, и т.д.

Таким образом, множество матриц, которые априори подходят для использования предельного метода, включает вещественные нормальные матрицы и комплексные эрмитово нормальные матрицы.

Пусть для матрицы или для уравнения с вещественными корнями используется метод смещения. Тогда для знакопеременной формы уравнения нижняя граница отрицательных корней удовлетворяет неравенству:

hmin ‹i› > (-) = - 1 - – min kj.

После подстановки х = у + (-) получаем уравнение с положительными коэффициентами и корнями. (Проверяется методом Штурма в интервале + 0.) Для матрицы преобразование смещения трактуется как В {В - (-) · I}.

Альтернатива вышеуказанному методу смещения для матриц с вещественными знаконеопределёнными собственными значениями:

возведение матрицы в квадрат, далее вычисление квадратов собственных значений и затем подбор их знаков по вековому уравнению для исходной матрицы.

В случае вещественности и положительности всех корней алгебраического уравнения максимальный корень в явной форме теоретически выражается как max ‹ i› = lim S r, (20) / 26 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов 1k1 – 1 0 0 … – 2kk1 – 1 0 … 3k3 – k2 k1 – 1 … … … … … … где S = det (– 1)r – 1·r·kr (– 1)r – 2·kr – 1 (– 1)r – 3·kr – 2 (– 1)r – 4·kr – 3 … 0 (– 1)r – 1·kr (– 1)r – 2·kr – 1 (– 1)r – 3·kr – 2 … 0 0 (– 1)r – 1·kr (– 1)r – 2·kr – 1 … … … … … … Согласно признаку Сильвестра, для положительной определённости симметричной или эрмитовой матрицы необходимо и достаточно, например, чтобы детерминанты всех угловых миноров были положительные. Поскольку последний из них – детерминант матрицы, то это означает и её несингулярность. С другой стороны, для неотрицательности тех же, но сингулярных матриц необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты векового уравнения вплоть до порядка r были положительные и при t > r нулевые. Это следует из правила знаков Декарта и вещественности корней. Из вышесказанного можно сделать вывод, что элементы нормальных матриц содержат достаточно первоначальной информации, чтобы решить задачу об отыскании их собственных значений, сведя её к алгебраическому уравнению с положительными корнями, (что требуется для предельного метода). Решение аналогичной задачи для матриц более общего вида или для самостоятельного алгебраического уравнения при n > зависит от ответа на вопрос: “Имеет ли вещественное алгебраическое уравнение комплексные сопряжённые корни или нет“. Выше было указано, что точный ответ на него всегда можно получить с помощью метода Штурма. Однако этот метод не даёт необходимых и достаточных условий, которым вообще должны удовлетворять коэффициенты уравнения для вещественности всех его корней или с учётом метода смещения – для положительности всех корней.

Первоочередное необходимое условие положительности и, вместе с тем, вещественности всех корней, согласно признаку Декарта, заключается в положительности всех коэффициентов (для знакопеременной формы алгебраического уравнения). Однако это § 1.4. Структура и основные свойства коэффициентов не гарантирует, что не имеется пар комплексных сопряжённых корней. Например, при выборе ещё большего параметра смещения (-) = 1 + max |kj| можно гарантировать только то, что вещественные их части будут положительные [27, с. 39].

Согласно цепи (11) генерального неравенства средних, для алгебраического уравнения с вещественными положительными корнями различные медианы могут совпадать, причём всегда вместе, тогда и только тогда, когда уравнение имеет биномиальную форму (x - )n = 0 mt =.

При отличии хотя бы двух корней друг от друга коэффициенты уравнения уже не соответствуют биномиальному ряду, при этом действует неравенство (11). Например, совпадение каких-либо соседних медиан, обнуление коэффициентов до t = r, нарушение иерархии медиан – это отклонения, которые свидетельствуют о том, что уравнение с неотрицательными коэффициентами имеет комплексные сопряжённые корни.

Поэтому более строгое необходимое условие вещественности и положительности корней уравнения заключается как в положительности его коэффициентов, так и в выполнении цепи (11) генерального неравенства или любого отрезка цепи из r медиан.

Заметим также, что для любой алгебраической медианы при условии 1 р < q в силу (10) p q mi(x1p, …, xnp) < mi(x1q, …, xnq), где (n - 1) i 1 и хотя бы два элемента различны, а количество ненулевых элементов больше i.

§ 1.4. Структура и основные свойства скалярных и матричных характеристических коэффициентов Пусть О – нильпотентная матрица, коммутирующая с В. Тогда k ({B·O},t) = 0, (21) k ({B + O},t) = k (B,t). (22) Как известно, у нильпотентной матрицы все скалярные характеристические коэффициенты нулевые. Но В·O = О·В - также нильпотентная. Если в (3) подставить {В + О}, то в детерминанте все 28 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов слагаемые, содержащие О в произведениях, – нулевые. Откуда следуют обе формулы. В частности, они действуют, когда нильпотентная матрица является многочленом от В. Известно, что скалярные коэффициенты не зависят от линейного преобразования базиса и матрицы. Используя, например, клеточно-треугольную L или жорданову J каноническую форму, можно каждой произвольной квадратной матрице поставить во взаимно-однозначное соответствие пару характеристических матриц – простую и нильпотентную, коммутирующие между собой:

B = PB + OB (B = T1·L·T1-1 = T2·J·T2-1) PB·OB = OB·PB (23) Матрицы В и PB имеют одно и то же вековое уравнение, одинаковые собственные значения и их алгебраические кратности. Степень нильпотентности для OB равна максимальной степени множителей в минимальном аннулирующем многочлене, или максимальному размеру жордановой субклетки.

Далее с учётом изначальной формулы (1) рассмотрим особенности и свойства матричных характеристических коэффициентов и их взаимосвязь со скалярными коэффициентами. Из (1) непосредственно вытекают тождественные ей формулы:

det (B + I)·I = (В + I)·(B + I)v, kB()·I = (B + I)·KB(), (24) n (n – t) [k(B,t)·I – B·K1(B,t – 1) – K1(B,t)] = Z, t = где Z – нулевая матрица.

Во-первых, отсюда следует, что в тождестве (24) возможна замена скалярного параметра на nn-матричный параметр, коммутирующий с В. При этом тождество сохраняется: kB() = (В + )·KB().

При такой замене оба многочлена преобразуются в соответствующие матричные формы. В частности, при = - В из последнего весьма просто выводится теорема Гамильтона – Кэли: kB (-В) = Z; но при = + В: kB(B) = 2B·KB(B) и т.д. Во-вторых, ввиду произвольности параметра отсюда же следует рекуррентная формула Сурьё [61]:

K1(В,t) = -B·K1(В,t - 1) + k(B,t)·I, (25) где исходно k(B,0) = 1, K1(B,0) = I – из (1). Пусть, по определению, K1(В,t) и K2(В,t) = B·K1(В,t - 1) – характеристические матричные коэффициенты 1-го и 2-го рода. Для последних K2(B,0) = Z, K2(B,1) = B. Учитывая это, (25) приводится к форме § 1.4. Структура и основные свойства коэффициентов K1(B,t) + K2(B,t) = k(B,t)·I. (26) В результате последовательного повторения (25) и с учётом начальных условий матричные характеристические коэффициенты выражаются многочленами от В:

t K1(B,t) = k(B,t – )·(–B), = (27) t K2(B,t) = – k(B,t – )·(–B).

= В силу этого они коммутативны с В и друг с другом. Из (27) с учётом (2), то есть метода Леверье, следует формула Сурьё [61]:

k(B,t) = · tr K1(B,t) = 1 · tr K2(B,t). (28) n – t t С целью вычисления В-1 Сурьё предложил алгоритм последовательного расчёта всех характеристических коэффициентов, начиная с t = 1, используя (25) и (28), но в его статье, к сожалению, была опубликована только сводка результатов. Фаддеев [45], используя (1) и (2), пришёл независимо к тем же результатам и алгоритму, но при этом он связал эти коэффициенты с производящей их формулой (1). Из (27) и теоремы Гамильтона – Кэли следует K1(B,n) = kB(-B) = Z, а из (26) следует, что К2(В,n) = B·K1(B,n - 1) = k(B,n)·I = det B·I = B·Bv.

Если матрица несингулярная, то, умножая обе части на В-1, имеем:

K1(B,n – 1) В-1 = k(B,n) (алгоритмический метод Сурьё – Фаддеева вычисления обратной матрицы). Объединяя установленные значения матричных коэффициентов, можно записать:

K1(B,0) = I, K2(B,0) = Z, K1(B,1) = tr B·I - B, K2(B,1) = B,........................................................................... (29) K1(B,n - 1) = Bv, K2(B,n - 1) = tr Bv·I - Bv, K1(B,n) = Z, K2(B,n) = det B·I.

Здесь предпоследняя строка верна, но получена пока для несингулярной матрицы. Логично далее определить порядок коэффициентов, 30 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов выше которого происходит обнуление цепи (29) или алгоритма Сурьё – Фаддеева. Из (26) и (28) для сингулярной матрицы следует, что матричные коэффициенты 1-го и 2-го рода обнуляются только вместе и окончательно. Это должно происходить при некотором порядке r r, где r – максимальный порядок, при котором обнуляется скалярный коэффициент (ранее определённый как 1-й рок матрицы).

Соответственно порядок обнуления матричных характеристических коэффициентов, а именно r, определяется как 2-й рок сингулярной матрицы. (Для несингулярной матрицы эти понятия значения не имеют, оба рока формально равны размеру n.) Неравенство r r, как известно, устанавливается только из структуры скалярных коэффициентов (сумма всех диагональных миноров порядка r). Аналогично, положение 2-го рока относительно r и r можно установить только исходя из структуры матричных коэффициентов и которую поэтому нужно найти. После этого можно будет установить взаимоотношение основных параметров сингулярности матрицы, включая показатель степени собственной матрицы в минимальном аннулирующем многочлене. Кроме того, искомая структура интересна ещё тем, что через коэффициенты высшего порядка весьма просто выражаются многие важнейшие матричные характеристики, например:

проекторы, квазиобратные матрицы, модальные матрицы.

Для означенной цели воспользуемся дифференциальным методом.

Причём для скалярных коэффициентов, чтобы показать аналогию в дальнейшем доказательстве для матричных коэффициентов, их вывод [14, с.78] придётся повторить.

Пусть bi1 j1, …, bim jm – произвольная совокупность m образующих элементов nn-матрицы В (1 m n), то есть ip iq и jp jq.

Коэффициент при произведении m bik jk k = в разложении детерминанта матрицы определяется формулой m lig i1, …, im (ik + jk) col j1, …, jm m det B k = ·det B, (30) bi1 j1 … bim jm= (–1) minor (n – m) где ik и jk – новые индексы элементов bik jk в ряду миноров, образуемых из матрицы последовательно при вычёркивании строк и столбцов элементов bi1 j1, …, bim jm ; в фигурных скобках обозначен минор В порядка (n - m), где дополнительно показано: какие строки и § 1.4. Структура и основные свойства коэффициентов столбцы он не содержит. Общая формула (30) получается в результате последовательного частного дифференцирования детерминанта матрицы. Далее вычисляем обратную матрицу в (1), то есть знаменатель и числитель дроби (B + I)V (B + I) - 1 =.

det (B + I) Знаменатель дроби представляет собой скалярный многочлен от n - t степени n. В силу (30) коэффициент при (bik ik + ) равен k = (i1 i1), …, (in – t in – t ) det (B + I).

D-minor (t) То есть это диагональный минор матрицы (B + I) порядка t, несодержащий указанных диагональных элементов. Поскольку только диагональные элементы содержат, то, полагая в этих детерминантах = 0, получаем коэффициенты при n – t в данном скалярном многочлене как сумму всех диагональных миноров порядка t, причём k(B,0) = 1.

Числитель вышеуказанной дроби представляет собой матрицу, у которой диагональные элементы – многочлены от степени (n - 1), а недиагональные элементы – многочлены от степени (n - 2). Эта матрица разлагается в многочлен от степени (n - 1) с матричными коэффициентами n K1(B,t)·n – t – 1, причём K1(B,0) = I.

t = Элемент (pp) матрицы (B + I)v равен det (B + I) (pp) = Adpp (B + I) = det (B + I), (bpp + ) D-minor (n – 1) где Adpp – адьюнкта элемента (pp) = (bpp + ). По аналогии с вышеизложенным, коэффициент при n – t – 1 в разложении этого детерминанта и он же – элемент (pp) матрицы K1(B,t) равен (pp) (pp) B (pp) {K1(B,t)} = Adpp = det, B D-minor (t + 1) D-minor (t) t t C C n – n – где p – новые индексы строк и столбцов в минорах. В свою очередь, элемент (pq) матрицы (B + I)v равен 32 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов det (B + I) (pq) = Adqp (B + I) = (– 1)p + q · det (B + I), bqp Dh-minor (n – 1) где Dh-minor обозначает соответствующий гиподиагональный минор.

То есть последний содержит один недиагональный образующий элемент, а именно bpq, и соответственно не содержит элементов bqp, n - t -(bpp + ) и (bqq + ). В силу (30) коэффициент при (bik ik + ) в k = разложении этого детерминанта (с учётом того, что порядок выполнения частного дифференцирования значения не имеет) равен (pq) n - t -1 det ( + I) Dh-minor (n – 1) = (bi1 i1+ ) … (bin - t - 1 in - t - 1+ ) n - t -1 det ( + I) (bi1 i1+ ) … (bin - t - 1 in - t - 1+ ) = = bqp (i1 i1), …, (in – t – 1 in – t – 1 ) = Adqp (B + I).

D-minor (t + 1) n - t -Полагая = 0, получаем коэффициент при, или элемент (pq) матрицы K1(B,t) как сумму всевозможных слагаемых (pq) (pq){K1(B,t)} = Adqp B = t - Cn - 2 D-minor (t + 1) (pq) = (– 1)p + q + 1 · det B.

Dh-minor (t) t - Cn - Здесь индексы одного и того же элемента bpq в диагональном миноре порядка (t + 1) и в гиподиагональном миноре порядка t связаны между собой соотношением: p+ q = p+ q+ 1. Матричные коэффициенты 2-го рода легко выразить, используя (26). Вывод структуры коэффициентов закончен.

Итак, в сравнении со скалярными коэффициентами матричные коэффициенты в своей структуре дополнительно содержат гиподиагональные миноры и также не содержат прочих миноров (последние для исходной матрицы B существуют при рангe r < n - 1). Это § 1.5. Минимальный аннулирующий многочлен от матрицы обстоятельство и определяет местоположение 2-го рока относительно r и r. А именно 2-й рок не может быть меньше 1-го рока в силу (28).

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.