WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 43 |

292 Приложение. Тригонометрические модели движений Двухвалентный симметричный тензор содержит в себе максимально k = m (m + 1)/2 независимых друг от друга функциональных · скалярных элементов gij. Поэтому рассматриваемая область риманова k m-пространства всегда вложима в ‹E › без изменения своей внутренней геометрии. Далее зададим аналитически внешним образом указанную n область риманова m-пространства в ‹E ›, где n m, в каком-либо декартовом базисе 1 через n1 радиус-вектор u соответственно с m степенями свободы движений-трансляций. Пусть каждой степени свободы этого радиус-вектора отвечает гауссова криволинейная координата риманова m-пространства. Тогда имеется функциональt ное отображение u = u().

В каждой точке указанной области риманова m-пространства существует непрерывно дифференцируемая в ней матрица Якоби d u/d. Согласно Гауссу и Риману, внутренняя геометрия этой области определяется непрерывно функционально через внутреннюю гомомультипликацию – метрический тензор:

G = · d u (det G > 0), (d u ) d d ||du||E2 = du du = d G d.

· · · n+q В свою очередь, для псевдориманова m-пространства в ‹P ›, где n + q m, имеется псевдоаналогия (гл. 4):

G = ·I · (причём при q = 1 det G < 0), (d u d u ) d d ||du||P2 = du I · du = d G d.

· · · Для полной функциональной независимости k элементов симметричного тензора G необходимо, чтобы выполнялось неравенство n k. При n < k риманово m-пространство частично уплощается, в том числе полностью при n = m в евклидово m-пространство. Наоборот, при n > k Theorema Egregium Гаусса всегда позволяет понизить порядок вложения ограниченной области риманова m-пространства, по крайней мере, до nmin = k, используя операцию изгибания. Например, регулярный фрагмент любой кривой, самой по себе (m = 1), изгибанием всегда можно трансформировать в отрезок евклидовой прямой (k = nmin = 1). Аналогично топологически аффинноэквивалентную и регулярную область произвольной римановой поверхности (m = 2) изгибанием всегда можно вложить в ‹E › без изменения её внутренней геометрии (k = nmin = 3). Это относится и к области поверхности Лобачевского – Больяи, но не к ней в целом, что было доказано впервые Гильбертом.

Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени Метрический тензор инерции G(i) как функция точечного элемента псевдориманова пространства имеет nmin = m = 4 степени свободы для скалярных элементов gij. В минимальном плоском пространстве вложения ‹P 3+1› в гауссовых криволинейных координатах он задаёт искажённую псевдоевклидову геометрию Минковского. (Отметим, что в обычных – псевдодекартовых координатах здесь же он попросту постоянен.) С другой стороны, метрический тензор G псевдориманова четырёхмерного пространства ‹R 3+1› имеет nmin = k = 4 5/2 =· степеней свободы (> m = 4) для скалярных элементов gij. В гауссовых криволинейных координатах он задаёт псевдориманову геометрию, например в минимальном метрическом пространстве вложения ‹P c + d›, где c + d = 10, c 3. В первом случае, для которого nmin= m = 4, тензор кривизны Римана – Кристоффеля обязательно нулевой. Во втором случае, для которого nmin= k = 10 > m, он никак не может быть нулевым из-за кривизны псевдориманова пространства, вложенного в ‹Pc + d›. Никаким выбором локального базиса нельзя изменить риманову кривизну и нельзя ненулевой тензор кривизны сделать нулевым и наоборот. Поэтому, если принимается как базовый принцип Маха, то принцип эквивалентности в общем случае не реализуется. (При свободном движении материальной точки в поле тяготения собственные векторные силы тяготения и инерции полностью компенсируют друг друга, согласно третьему закону механики Ньютона и закону о тождестве инерционной и тяготеющей масс. Но поле тяготения и “поле инерции” даже локально в общем случае не компенсируют друг друга.) Отметим здесь то обстоятельство, что так называемое эффективное псевдориманово пространство-время, используемое в РТГ для упрощённого координатного описания движения материи в силу его аффинно-эквивалентной топологии имеет тот же минимальный порядок вложения nmin = 10.

* * * Однако для простейших, неискривлённых форм поля тяготения и при этом весьма умозрительных (откуда, видимо, возникла идея принципа эквивалентности) нетрудно локально отождествить проявление активной гравитации (тяготения) и пассивной гравитации (инерции).

Например, свободное прямолинейное физическое движение под действием стационарного однородного поля тяготения математически тождественно гиперболическому абсолютному движению в ‹P 3+1› под действием постоянной тангенциальной собственной силы (рис. 3А).

Свободное круговое физическое движение под действием стационарного сферически симметричного поля тяготения математически тождественно псевдовинтовому абсолютному движению в ‹P 3+1› под действием постоянной нормальной собственной силы.

294 Приложение. Тригонометрические модели движений Проиллюстрируем сказанное на ранее рассмотренном примере замедления собственного времени равномерно ускоренного движения, отображённого на рис. 3А (гл. 5А). Применим дифференциальную форму гиперболического движения (92 А) как локально универсальную для любых ускоренных прямолинейных физических движений. С точки зрения относительно покоящегося инерциального наблюдателя N1 в 1, согласно СТО, имеем:

d ct d ch = d = g(i) d /c2 = F d /(m0 с2) = d A/E0, · dc (209A) d ct = d t = ch = 1 + A /(m0 с2) = 1 + A/E0.

· dc d (См. также аналогичные более общие скалярные формулы (162А) и (171А), в том числе для непрямолинейных ускоренных физических • движений.) То же самое замедление собственного времени с точки зрения неинерциального наблюдателя Nm внутри космического корабля можно трактовать по Эйнштейну локально так, как будто бы наблюдатель находится в эквивалентном стационарном поле тяготения с напряжённостью g(f) g(i):

d d ct = g(f) d /c2 = F d /(m0 с2) = d E(f)/E0 = d (- P)/c2, · • dc (210A) d ct = d t • • dc d = 1 + E(f) /(m0·с ) = 1 + E(f)/E0 = 1 + (- P)/c2 > 1.

В РТГ поле тяготения определяется и действует именно в плоском ‹P 3+1› как базовом пространстве-времени. Но при математическом описании в нём движения материи (в том числе света) поле тяготения как бы деформирует координатную сетку в ‹P 3+1›, изменяя его метрику [8, с. 89 – 105]. Например, формула (210А) в случае простейшего эквивалентного поля тяготения даёт соответствующее ему изменение масштаба времени. Если координаты остаются (полу)геодезическими, то деформированное ‹P 3+1› преобразуется вместе с осями координат в искривлённое эффективное псевдориманово пространство-время [33, с. 32 – 36]. Понятно, что топология этих пространств по сути одна и та же – топология аффинного пространства. Формально устранив деформирующее воздействие поля тяготения на координаты, мы также устраним и это кажущееся искривление пространства-времени.

В результате приходим к описанию движения в исконном ‹P 3+1› под действием силы тяготения, как и любой иной собственной силы. В относительной трактовке такие движения рассматривались в гл. 7А.

Все расчёты и оценки в сферически симметричном поле тяготения Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени значительно упрощаются, если при этом гравитационный потенциал Р в порядке аппроксимации принимается скалярной характеристикой, как в вышеуказанном примере (210А). Пусть тот же скалярный потенциал отвечает именно относительно неподвижной в 1 некоторой астрономической массе M0. Для реализации такого подхода примем два следующих условия.

1. Система отсчёта 1, связанная с центром астрономической массы M0, принадлежит множеству ‹j› галилеевски инерциальных систем, задаваемых системой Маха 0.

2. Движение материи в поле тяготения астрономической массы M0 описывается именно в 1 в базовом пространстве-времени Минковского.

Центр базиса 1 удобно расположить в центре астрономической массы M0, где собственный гравитационный потенциал последней нулевой из-за отсутствия тяготения. (Последнее было доказано ещё в XVIII веке Кавендишем.) Например, система 1, связанная с центром массы Солнца (система Коперника), с довольно высокой степенью точности может считаться галилеевски инерциальной системой отсчёта и принадлежать множеству ‹j›.

В связи с этим покажем, что известные наблюдательные общерелятивистские эффекты, так или иначе вызываемые полем тяготения Солнца, объясняются на элементарном уровне на основе СТО и теории тяготения Ньютона. При этом в расчётах дополнительно учитывается формальным образом вышеуказанный эйнштейнов эффект замедления собственного времени в поле тяготения. Обсуждаемые здесь общерелятивистские эффекты рассматриваются с точки зрения удалённого наблюдателя N1 в 1 как бы вне поля тяготения. Такая аппроксимация даёт первый порядок точности по гравитационной постоянной, что пока только и измеряемо при реальных наблюдениях.

Из (210А) следует приближённая формула, выражающая влияние скалярного гравитационного потенциала на течение собственного времени:

• d c • = [1 + (- P2)/c2] [1 + (- P1)/c2] 1 + [(- P2) - (- P1)]/c2. (211А) / dc• Из неё видно, что собственное время течёт медленнее в той точке, где отрицательный потенциал меньше. При P1 = 0 = max имеем, что • 1 = t – координатное время в 1. Подставив в (210А) значение ньютонова гравитационного потенциала Солнца, получаем для околосолнечного пространства известную и довольно точную оценку:

• d c = d ct /(1 + f·M0/r c2) d ct (1 - f·M0/r c2). (212А) · · · 296 Приложение. Тригонометрические модели движений В ОТО и в РТГ имеется аналогичная тензорная оценка замедления собственного времени в поле тяготения через угловой скалярный элемент метрического тензора псевдориманова пространства-времени (реального и эффективного):

• d c = - g44 1 - (- P)/c2 < 1, dct - g44 = 1 - (- 2P)/c2 + … < 1 (см. например [37, с. 212; 33, с. 88]).

Простейшее и наглядное отображение активной гравитации таково, что поле тяготения в окрестности каждой мировой точки попросту деформирует координатную сетку в ‹P 3+1› [8, с. 89 – 105]. Например, в стационарном поле тяготения координата с как бы растягивается.

В свою очередь, локальные наклоны мировых линий по отношению к ct как бы уменьшаются, в том числе и наклон изотропного конуса.

Но геометрический и физический смысл последнего сохраняется.

С учётом этого локальная скорость распространения света, как и других электромагнитных волн (частиц), в поле тяготения с точки зрения удалённого наблюдателя N1 как бы уменьшается следующим образом:

• с/c 1 - (- P)/c2 < 1. (213А) Другой известный и наблюдаемый на Земле общерелятивистский эффект – “красное смещение” спектра излучения Солнца объясняется по Эйнштейну замедлением частоты электромагнитных колебаний на поверхности Солнца, согласно её значительному отрицательному гравитационному потенциалу:

• • dc / = 1 - f·M0/r c2. (214А) · dct На величину отклонения, конечно, оказывает влияние эффект Допплера (гл. 7А). Более точная оценка, приближающаяся к вышеуказанной, получается для полюсов вращения Cолнца. (Земным потенциалом здесь, конечно, пренебрегают как сравнительно небольшим.) * * * В качестве заключительного примера рассмотрим в базисе в ‹P 3 + 1› элементарную трактовку самого известного наблюдательного общерелятивистского эффекта – искривления светового луча в поле тяготения Солнца. Данное искривление максимально и обнаружимо при наблюдениях на Земле, когда световой луч от какой-либо звезды (с известными координатами на небосводе) проходит при полном Глава 9А. Необходимо ли искривление пространства-времени солнечном затмении вблизи солнечного диска. Оно определяется по отклонению траектории светового луча и соответственно угловой координаты звезды. О влиянии аберрации на наблюдение звёзд указано в гл. 7А. Свою лепту в искажение координат звезды (чем она ближе к нам) вносит параллакс. Но эти поправки малосущественны в сравнении с рассматриваемым гравитационным эффектом.

Для элементарной оценки данного эффекта можно принять, что земной наблюдатель N1 физически неподвижен в системе 1, связанной с центром массы Солнца. Искривление светового луча при прохождении вблизи Солнца обусловлено гравитационным притяжением фотонов как световых материальных частиц с собственной массой mL в 1.

Принципиальная особенность такого вида частиц, как известно, заключается в том, что они имеют нулевую массу покоя. Поэтому их собственная масса всегда определяется только в состоянии движения по изотропному конусу по формуле Планка – Эйнштейна. Здесь на изотропном конусе каким-то загадочным образом для массы фотона реализуется раскрытие неопределённости типа mL = m0· ch = 0 ·.

Пусть материальная точка вообще массой m движется относительно астрономической массы M0 с мгновенной скоростью v под углом к радиус-вектору r, соединяющему центр массы M0 и точку m. Все эти характеристики выражаются в 1, связанной с центром массы M0.

Собственная сила тяготения F массы m0 к массе M есть инвариант в любых галилеевски инерциальных системах отсчёта из множества ‹j›, в том числе в 1 и в m. Если M0 >> m0, то материальная точка m в каждый момент времени совершает локально псевдовинтовое движение в ‹P 3+1› с абсолютным псевдоевклидовым радиусом R.

Согласно законам тяготения Ньютона и динамики СТО, в m имеем:

= F = F e = (f·M·m0/r2) e = (m0 c2/R) e = F e + F e (215А) · · · · · ·.

Здесь используется разложение собственной силы и внутреннего ускорения на две взаимно-ортогональные проекции – нормальную и тангенциальную (см. гл. 7А), а также формула (205А). В 1 имеем:

F = sin (f·M0 m/r2) = m0 c2/R = m v2/, · · · · = = d (mv) F = cos (f·M0 m/r2) = m0 c2/R =.

· · · d t Тангенциальная проекция вызывает ускорение движения материальной точки m вдоль вектора скорости v. Но для световой частицы (фотона) она только изменяет его массу mL в процессе движения: либо увеличивает, либо уменьшает её в зависимости от направления этой проекции по отношению к вектору v. Понятно, что на искривление траектории светового луча эта проекция никак не влияет. Напротив, 298 Приложение. Тригонометрические модели движений нормальная проекция вызывает искривление траектории светового луча локального радиуса. В связи с этим конкретно для фотонов формулы для указанных проекций силы тяготения приобретают вид:

F = sin ·(f·M0 mL/r2) = mL c2/ = ЕL/ ( R, так как v c), · · d mL d EL = F = cos ·(f·M0 mL/r2) = c =, · · dt dct где mL = h/c2 – масса фотона в состоянии движения.

В теории гравитационного искривления луча света [49, с. 194– 195] как вспомогательный параметр применяется расстояние «b» от центра массы M0 до точки пересечения его двух асимптот: b r sin.

· С учётом значения этого параметра оценка искривления луча света вычисляется в дифференциальной и интегральной формах в виде:

Pages:     | 1 |   ...   | 36 | 37 || 39 | 40 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.