WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 43 |

Она обусловлена именно структурой псевдоевклидова пространствавремени [32, с. 152]. Однако эта прецессия имеет относительный характер, так как псевдодекартов базис в данной точке мировой линии 272 Приложение. Тригонометрические модели движений всегда можно выбрать так, что в ней ортогональная составляющая кривизны (ускорения) будет уничтожена, то есть sin = 0. В таком абсолютном мгновенном базисе m ось стрелы времени направлена по вектору мгновенной касательной, а ‹ ›(m) обязательно содержит мгновенную псевдонормаль. (Об абсолютных базисах подробно сказано в заключительной главе 10А.) Например, для плоской криволинейной мировой линии, отвечающей некоторому неравномерному прямолинейному физическому движению, вышеуказанный абсолютный базис является неизменным. Критерий, определяющий такой тип мировой линии, есть нулевое кручение при ненулевой кривизне. Поэтому для данного типа движения ортосферическая прецессия является кажущейся (артефактной) характеристикой. В более общем случае – для закрученной мировой линии ортосферическая прецессия сохраняет свой относительный характер, но выбором базиса она может быть уничтожена только локально. Знак «–» в формулах (172А) иллюстрирует тот факт, что в гиперболической геометрии и в СТО ортосферическая ротация (буст) в мгновенной евклидовой плоскости суммирования движений направлена против направления этого суммирования, в том числе при дифференциальных приращениях движения.

В свою очередь, при значениях = /2 и 0 имеем:

d d L d L = – v·g /2c2; L = J0 ·d J0· d, M = – J0/2c2( g·g + v· d g ).

dt d dt d dt dt Заметим, что в изложенной относительной тригонометрической трактовке кинематики и динамики абсолютного (мирового) движения 3+материальных тел в ‹P › природа активной собственной силы F и вызываемого ею внутреннего ускорения g = F/m0 не имеет значения.

Абсолютная тригонометрическая трактовка движения материи по 3+мировым линиям в ‹P › рассматривается в последней главе 10А.

Глава 8А. Тригонометрические модели движений в сферической геометрии n+Квазиевклидово пространство ‹Q ›, то есть таковое с индексом q = 1, с вложенным в него односвязным гиперсфероидом радиуса R определяется аналогично псевдоевклидову пространству Минковского n+‹P › с вложенными в него гиперболоидами I и II (§§ 6.3, 12.3).

n+В задании ‹Q › существенную роль играет рефлектор-тензор I, как и в задании псевдоевклидова пространства Минковского. Однако при этом квазиевклидово пространство в целом имеет евклидову метрику. Составной частью его геометрии является квазиевклидова тригонометрия. Квазиевклидово пространство с индексом q = в каком-либо квазидекартовом базисе представляется прямой сферически ортогональной суммой двух вещественных пространств:

n+1 n ‹Q › ‹E › y CONST, (173А) n где ‹E › – евклидово подпространство, y – ориентированная реперная ось для отсчёта угла основной сферической ротации.

n+С точки зрения квазиевклидовой тригонометрии в ‹Q › подn пространство ‹E › – тангенсная гиперплоскость, y – косинусная ось.

n+Заметим, что мнимонизация реперных осей y трансформирует ‹Q › в комплексное псевдоевклидово пространство индекса 1 (§ 10.3) – 2+изоморфизм псевдоевклидова пространства Минковского. В ‹Q › реализуется двумерная сферическая геометрия на вложенной сфере.

n+В ‹Q › как исходно аффинном пространстве допускается операция параллельного переноса (в евклидовом смысле). Кроме того, в ориентированном квазиевклидовом пространстве допускаются такие линейные ортогональные преобразования, которые сохраняют пространственную структуру (173А) и исходную правую ориентацию базисов. Это сферические ротации двух типов:

‹rot Ф›: rot Ф I rot Ф = I = rot (- Ф) I rot (- Ф) (174А) – основные сферические ротации;

‹rot ›: rot I rot = I = rot I rot (175А) – ортосферические ротации (ортогональные по отношению к предыдущим).

274 Приложение. Тригонометрические модели движений n+Итак, квазиевклидово пространство ‹Q › определяется как евклидовой метрикой, так и рефлектор-тензором I, задающим допустимые в нём преобразования (вместе с евклидовым параллельным переносом). Соответственно в этом пространстве применяются квазидекартовы базисы вида:

= rot Ф rot 1 = rot rot Ф 1 = T 1, (176А) где 1 – какой-либо исходный универсальный базис. Именно в этом пространстве реализуется бинарная квазиевклидова тригонометрия индекса 1 в правых базисах. На вложенном в него гиперсфероиде реализуется сферическая геометрия и сферическая тригонометрия того же индекса 1. В универсальных базисах имеет место сферическогиперболическая аналогия абстрактного и конкретного типов (§§ 6.1, 6.2). В частности, общая тригонометрическая ротация Т определяется по аналогии со (111А) в форме квазиполярного представления:

Т = rot Ф rot = rot rot Ф. (177А), (178А) Здесь используется абстрактная аналогия типа (323), когда осуществляется трансформация:

Г iГ Ф ( i ), roth Г rot iГ rot Ф.

Матрица основной сферической ротации rot Ф (то есть ротации с реперной осью), согласно (314), имеет каноническую структуру в 1, отвечающую рефлектор-тензору как указано ниже:

rot Ф I cos ee + ee – sin e · · Inn o. (179A) + sin e cos · o -С другой стороны, ортогональная матрица rot в базисе своего действия, согласно (497), отвечает рефлектор-тензору по схеме (110А).

В связи с вышеуказанной аналогией в исходных универсальных базисах формулы гиперболической геометрии (гл. 7А) весьма логично преобразуются в формулы сферической геометрии. Если перейти от угла движения к мере Ламберта – гиперболической и сферической a(h) = R, (180) a(s) = R, Глава 8А. Модели неколлинеарных сферических движений то обе геометрии (в малом) также переходят друг в друга во внутренней и внешней интерпретациях. Поэтому далее приводится, главным образом, сводка формул движений в сферической геометрии с небольшими пояснениями. Заметим, что движения в сферической геометрии и в эллиптической геометрии Римана в достаточно ограниченной области изоморфны в силу изоморфности этих геометрий в малом. Поэтому конечные результаты в скалярной форме, относящиеся только к внутренней геометрии, имеют место в обеих геометриях.

Для двухступенчатого неколлинеарного движения по гиперсфероиду n+в ‹Q › имеем:

3 = {rot Ф12 rot Ф23 rot Ф12} rot Ф12 1 = rot Ф12 rot Ф23 1 = (181А) = T 1 = rot Ф13 rot 13 1 = rot 13 rot Ф13 – аналог формулы (111 А);

rot Ф13 = rot 13 rot Ф13 rot 13 (182А) – аналог формулы (112А);

rot Ф13 = rot Ф12 rot 2Ф23 rot Ф12 = rot 2Ф13, (183А) rot 13 = rot Ф13 rot Ф12 rot Ф23 = rot Ф13 rot Ф12 rot Ф23 (184А) – аналоги формул (114 А), (115 А), где корни тригонометрические (§5.6).

В случае 1 = {I} при перемене порядка последовательности двух сферических движений на противоположный новый квазидекартов базис задаёт матрица – квазианалог T из (116 А):

= {rot Ф23 rot Ф12} = T* = (185А) = {rot Ф13 rot (- 13)} = {rot (- 13) rot Ф13}.

Формально преобразование T* выводится из T через операцию простого транспонирования, но при этом реализуемой в бинарном комплексном базисе (443) из § 10.3. Для обратного порядка движений имеем:

rot Ф13 = rot Ф23 rot 2Ф12 rot Ф23 = rot 2Ф13, (186А) rot (- 13) = rot Ф23 rot Ф12 rot Ф13 = rot Ф23 rot Ф12 rot Ф13 (187А) – аналоги формул (117А), (118А), где корни тригонометрические.

Здесь также сохраняется двойственность во взгляде на ротацию rot. С одной стороны, она связана с возникающим сферическим сдвигом при суммировании частных неколлинеарных движений 276 Приложение. Тригонометрические модели движений неточечных объектов. С другой стороны, согласно (112А), она же преобразует модально основную суммарную ротацию rot Ф при перемене порядка последовательности двух частных движений на противоположный. Связь между двумя вариантами двухступенчатого сферического движения (прямым и обратным) сводится к замене частных углов по схеме:

12 23, k k (188А) – аналог (121А).

Перемножая элементы матриц в (183А) или применяя аналогию абстрактного типа, получаем формулы двухступенчатого движения в n+‹Q ›. Например, в косинусной интерпретации имеем:

cos 13 = cos 12 cos 23 - cos sin 12 sin 23 = = cos12 cos 23 + cos A123 sin 12 sin 23 (189А) (A123 = - ).

Отсюда непосредственно видна независимость суммарного скалярного угла движения от порядка последовательности двух частных движений. Это классическая скалярная формула сферической геометрии и эллиптической геометрии Римана. При движении по гиперсфероиду с возрастанием значений направленной ординаты y все > 0. В связи с этим обстоятельством для положительных углов движения (и расстояний по метрике Ламберта) с учётом (189А) следует правило “параллелограмма”, как в евклидовой геометрии:

|12 - 23| 13 12 + 23 (190А) – аналог (123А). Неравенства (190А) и > 0 относят расстояние в сферической геометрии в категорию норм. Заметим, что в тангенсной модели, или в проективной модели Клейна гиперсфероид в целом отображается на всю двухстороннюю (замкнутую) проективную n гиперплоскость «E » (§ 12.1), то есть он гомеоморфен ей.

Соответствующие формулы для скалярных синуса и тангенса - аналоги (124А) и (125А) даются с учётом теоремы о приведении к биортогональной (квадратичной) некоммутативной форме (гл. 7А):

sin2 13 = (sin 12 cos 23 + cos sin 23 cos 12)2 + (sin sin 23)2, (191А) tg 232 = [(tg 12 + cos tg 23) (1 - cos tg 23 tg 12)]2 + / + [(sin tg 23 sec 12) (1 - cos tg 23 tg 12)]2. (192А) / Глава 8А. Модели неколлинеарных сферических движений Для условно ортогональных частных движений из (189А) следует мультипликативная косинусная формула, трактующая скалярно их суммирование как интегральный аналог теоремы Пифагора:

cos 13 = cos 12 cos 23 ( = ± /2). (193А) При движении по n-мерному гиперсфероиду количество последовательных независимых, условно ортогональных отрезков (углов) не может превышать число «n». Применяя также последовательно (193А), получаем общую мультипликативную косинусную формулу cos 1t = cos ( = ± /2), где 3 t n.

ij i = 1, t - j = 2, t n+Суммирование условно ортогональных движений в ‹Q › в скалярном варианте коммутативно. Например, протяжённость суммы таких движений вычисляется в виде a1t = R arccos cos aij / R.

i = 1, t - j = 2, t Кроме того, многозвенные косинусные формулы для условно ортогональных движений в обеих геометриях представляются в аддитивной форме через логарифмические меры:

ln cos ln cos a / R и ln ch ln ch a / R.

Общие мультипликативные и аддитивные соотношения для скалярной суммы условно ортогональных движений являются интегральными аналогами теоремы Пифагора в неевклидовой геометрии.

Как и ранее, особый случай соответствует ортогональной (теперь не условно!) сумме бесконечно малых частных углов движения:

lim 13 = 122 + 232, 13 = 12· 23 2 0;

/ 12 23 k lim = ( j)2, dv = d(1)… d(k)·Rk (k n).

j = (j) Здесь имеет место коммутативность частных углов движения в скалярной и векторной формах. Например, первый дифференциал общего угла движения представляется в двух вариантах – аналогах (144А) и (145А):

n (d)2 = [d( j)]2, (194А) j = 278 Приложение. Тригонометрические модели движений = е d = d + d е = d е, · · · (195A) = (d)2 = (d)2 + (d) 2.

n+1 n+Ввиду того, что при непрерывных движениях в ‹P › или в ‹Q ›, отображамых непосредственно траекториями на собственных гиперповерхностях, характеристический радиус постоянен (R = const), то аналогичная инфинитезимальная теорема Пифагора имеет место для соответствующих дифференциалов длин ортогональных приращений отрезков, выраженных мерой Ламберта. В первом варианте имеем:

n (d a)2 = [d a( j)]2. (196А) j = Например, это может быть первая каноническая квадратичная форма римановой поверхности постоянной кривизны, выраженная в текущих ортогональных криволинейных координатах Гаусса. Во втором варианте имеем:

= е da = da + da е = da е, · · · (197A) = (da) 2 = (da)2 + (da) 2.

Например, это может быть разложение первого дифференциала d a = R(m)d или d a = R(m)d на тангенциальную и нормальную ортопроекции в соприкасающейся псевдо/квазиплоскости к криволинейному участку линии движения в окрестности точки М с мгновенным радиусом псевдо/квазикривизны R(m).

С другой стороны, во внешней тригонометрии гиперсфероида в n+‹Q › имеют место векторные формулы для синуса и тангенса суммы двух движений:

sin 13 = sin 13 е = (sin 12 cos 23 + cos sin 23 cos 12 ) е + · · + sin sin 23 е, (198А) · tg 13 = tg 13 е = [(tg 12 + cos tg 23) (1 - cos tg 23 tg 12)] е + · / · + [(sin tg 23 sec 12) (1 - cos tg 23 tg 12)] е (199А) / · – аналоги формул (135А) и (138А) с той же геометрической интерпретацией, но в сферическом варианте.

Далее рассмотрим внешнюю векторную тригонометрию единичного гиперсфероида (R = 1).

Глава 8А. Модели неколлинеарных сферических движений * * * Имеем:

sin sin ·е e = = (при y > 0: > 0) (200А) cos cos – n1 единичный радиус-вектор точки гиперсфероида. Метрический инвариант выражается в виде:

e e = sin sin + cos2 = sin2 ee + cos2 = 1 = 12. (201А) · · · Остальные тригонометрические функции получаются делением базового элемента е либо на cos, либо на sin. Далее, tg tg ·е sec = sec e = 1 = 1 – n1 радиус-вектор секанса, конец · которого лежит на тангенсной евклидовой гиперплоскости;

е сosec = cosec e = – n1 радиус-вектор косеканса, конец кото· ctg рого лежит на котангенсной цилиндрической евклидовой гиперповерхности.

Сферическое преобразование (движение) какого-либо точечного элемента e2 e3 единичного гиперсфероида в активной форме в представляется в виде:

e3 e1 eo sin 13·е o cos 13 = rot Ф13· = rot Ф12·rot Ф23·rot (– 13)· = e1 eo o = rot Ф12 rot Ф23 = rot Ф12 rot Ф23 rot Ф12 rot Ф12 = (202А) · · · · · · 1 e= {rot Ф12 (rot Ф23) rot Ф12} sin 12·е · · · cos 12.

2 Траектория сферического (геодезического) движения e2 e3 принадлежит сечению гиперсфероида плоскостью ротации матрицы {rot Ф12 rot Ф23 rot Ф12}. Аналитически она производится при · · непрерывном преобразовании e (e + de) путём изменения в матрице rot Ф23 значения скалярного угла от 0 до 23 при e = const.

В модели Клейна, или тангенсной модели эта траектория отображается n прямолинейным отрезком tg 23 на проективной гиперплоскости «E ».

На гиперсфероиде нетрудно реализовать сферический треугольник (и далее другие многоугольники) через квазиполярное представление:

280 Приложение. Тригонометрические модели движений rot Ф12 rot Ф23 u1 = rot Ф13 u1 = u3, · · · rot Ф12 u1 = u2, {rot Ф12 rot Ф23 rot Ф12} u2 = u3.

· · · · Централизованный треугольник ‹u1, u2, u3› трансформируется в произвольный путём активного преобразования координат в том же 1.

Pages:     | 1 |   ...   | 33 | 34 || 36 | 37 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.