WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 43 |

cos ·th 23·sch2 = th 23 = 1 + cos ·th ·th 12. (157A) В векторной сумме, составляющей th 13 [рис. 4А (2)], искажается только второй вектор th 23. Заметим, что для катетов (156A), (157A) и гипотенузы th 23 в прямоугольном треугольнике «223» теорема Пифагора не выполняется, так как ни один из катетов не исходит из начала универсального базиса 1, а формально – в силу их искажения.

В (156A), (157A) фигурируют три коэффициента искажения:

k1 = (1 + cos th 23 th 12) – коэффициент, вызванный гиперболическим · · = суммированием отрезков 12 и 23;

k2 = sch 12 – коэффициент, вызванный поправкой на изменение знаменателя-косинуса в (138A), или релятивистской поправкой на изменение координатного времени в точке O, где осуществляется суммирование, при его преобразовании t(2) t(1);

k3 = sch 12 – коэффициент, вызванный перекрёстным характером 3 проецирования в модели Клейна вектора th 23 ‹ ›(2) на ‹ ›(1) параллельно ct(2), или тождественным ему лоренцевым сокращением.

В отличие от предыдущих последний коэффициент k3 воздействует только на параллельную проекцию вектора th 23. Заметим, что ‹ ›(2) есть собственное евклидово подпространство в базисе 2 = roth Г12 1, · где матрица roth Г12 полностью определяется значениями 12 и его е.

264 Приложение. Тригонометрические модели движений * 2 2* * (1) /2 (3) (О) 1* 0 О Теорема Пифагора 1: Теорема Пифагора 2:

|«12»|2 + |«23»|2 = |«13»|2 |«12»|2 + |«23»|2 = |«13»|(2) R = 2 = /Рис. 4А. Суммирование двух тангенсных проекций гиперболических отрезков – движений в плоской модели Клейна по теореме о приведении их суммы к биортогональной форме:

Вариант 1. Централизованный в 1(3) треугольник.

= «12» – th 12, «22» – th 23, «23» – th 23, * «13» – th 13, «23» – th 23, = - A*.

Вариант 2. Централизованный в 1(3) прямоугольный треугольник.

«12» – th 12, «23» – th 23, «13» – th 13 ; = /2 = A123.

Вариант 3. Децентрализованный в 1(3) треугольник, компланарный с центром О.

* * «23» – th 23, 1 = - A, * * «34» – th 34, 2 = - A 132, * * * * «24» – th 24, 0 = A213, = - A = 1 + 2 – 0.

Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений В процессе перекрёстного проецирования начало искажаемого вектора в однородных координатах переносится в точку О – конец * вектора th 12 (рис. 4А). Искажённый угол между векторами th 12 и th 23 в модели Клейна вычисляется через искажённые проекции th 23, согласно формуле евклидовой скалярной тригонометрии:

= = * cos = th 23 th2 23 + th 2 23 = cos sch 12 cos2 sch2 12 + sin2 < cos (158А) / · / · * (если = /2, то он не искажается: cos = cos = 0).

В формуле фигурируют коэффициент искажения k2 и коэффициент лоренцева сокращения (54А), то есть k3, но для модуля вектора th * в целом. Заметим, что в СТО есть реально искажаемый в ‹ ›(1) сферический угол между векторами скоростей v12 и v23 (гл. 4А).

* В более общем случае (рис. 4А) искажённый угол между векторами th 23 и th 34 в плоской модели Клейна вычисляется через искажённые * * частные углы 1 и 2, а также неискажённый центральный угол (между th 12 и th 13) с использованием соотношений:

* * * = 1 + 2 - 0, (159А) * cos 1 = cos 1 sch 12 cos2 1 sch2 12 + sin2 1, · / · * sin 1 = sin 1 cos2 1 sch2 12 + sin2 1, / · * cos 2 = cos 2 sch 13 cos2 2 sch2 13 + sin2 2, · / · * sin 2 = sin 2 cos2 2 sch2 13 + sin2 2, / · * cos = [cos 0 cos 1 cos 2 sch 12 sch 13 - sin 1 sin 2) + ·( · · · · + sin 0 sin 1 cos 2 sch 13 + sin 2 cos 1 sch 12 )] ·( · · · · / /( cos2 1 sch2 12 + sin2 1 cos2 2 sch2 13 + sin2 2) (160А) · · · (если cos 1 = cos 2 = 0, то cos = ± cos 0 в зависимости от знаков 1 и 2 ).

В самом же общем случае для пары векторов th 23 и th 34 в пространственной модели Клейна искажение угла между векторами тангенсов можно вычислить исходя из биортогонального разложения второго вектора th 34 в собственном ‹ n›(3) на проекции – параллельно и перпендикулярно характеристической плоскости ‹ 2› ‹th 12, th 23› ‹е(12), е(23)›. Для этого предварительно обобщим формулу (136 А), применив ортогональные собственные проекторы из § 2.5, которые проецируют в данном случае в трёхмерном евклидовом пространстве (или проективной гиперплоскости) ортогонально ‹ker A›:

е = AA·е(34) ||AA·е(34)||, где А = {е(12)е(23)} есть 2n-матрица.

/ 266 Приложение. Тригонометрические модели движений 3 3+(В трёхмерном пространстве ‹ › ‹P › этот же вектор можно вычислить через внешнее произведение е(12) и е(23).) В данном случае е – вектор направляющих косинусов условно ортогонального приращения общего движения по отношению к ‹ 2›:

е е(12) = е е(23) = 0.

· · n В пространстве ‹ ›(3) вектор th 23 разлагается биортогонально на проекции:

= th 34 = АА th 34 и th 34 = АА th · · n с направляющими векторами = и е(34). В ‹ ›(3) эти проекции не е(34) искажаются и подчиняются теореме Пифагора.

= * Угол между th 34 и th 23 выражается по формуле (159 А) и искажается, согласно (160 А). Угол между th 34 и th 23 остаётся прямым, то есть не искажается, так как он в целом ортогонален ‹ ›, или централизованно прямой, как в варианте 2 на рис. 4А.

* * * Кинематика поступательного движения материального тела в целом определяется по кинематике материальной точки – центра его инерции.

Принципиальное отличие релятивистской кинематики материальной точки от нерелятивистской видно из нижеследующего сопоставления.

В пространстве-времени Лагранжа:

dx = d е, · = d2x = d2 е = d2 (cos е + sin е) = d2 е + d2 е · · · · · · е = d(d е) = [ d]· · е + d [ е]dx = [ d]· е+ d || · {|| е } || е|| dx = [ d]· · е + d [ ]dx е = [ d] = cos d2 = d2, d [ ]dx = sin d2 = d2 ;

t d x v(t) = = v0 е(t0) + g(t) dt ;

· dt t= d2 x d2 d = g(t) = = g(t) е(t) = е(t) + е(t) = g(t) е(t) + g(t) е(t), · · dt2 · dt2 · dt2 · Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений d = g(t) = cos (t)·g(t) = [ ], dt g(t) = sin (t)·g(t) = d · d = v(t)·w(t) и т. д.

[ ] dt dt dx При указанном биортогональном разложении вектор е, как и ранее, вычисляется, согласно (136А). Вращение w(t) не изменяет поступательный характер движения материального тела в целом.

В пространстве-времени Минковского:

dx(1) = d(1)·е, = d2x(m) = d2x(m)·е = d2x(m)·(cos ·е + sin ·е ) = d2x(m)·е + d2x(m)·е, (161A) = d = d·е = cos d·е + sin d·е = d·е + d·е.

d x d ·е = sh ·е, sh = d с = d с d ct d t сh = = (sh = ch ·th ).

d x d d с d th = ·е = th ·е, d сt = d сt В СТО дифференциалы dx и d2x не суммируются, как выше, так как они находятся в различных ‹ › и подлежат гиперболическому суммированию через углы движения (1) и d = d(m) (см. гл. 5А ). При интегральном неколлинеарном движении точечного объекта в общем случае непрерывно изменяются характеристический угол = (1) (скалярное значение) и его вектор направляющих косинусов е = е(1).

Параметры исходных и интегральных углов движения представляются в 1, в то время как приращение угла d = d(m) (дифференциал) представляется в мгновенном базисе m. При вычислении ортопроекций этого дифференциала в m(2), согласно (145А), направляющие векторы е, е и е выражаются условно в m.

Заметим, что d2x(m) и d связаны через коэффициент пропорциональности d с, или дифференциал дуги: d2x(m) = d d с. Имеем:

= d = g () = cos ·g () – тангенциальное внутреннее ускорение, = с· d d с· = g () = sin ·g () – нормальное внутреннее ускорение, d d d2x(m) с· = g () – общее внутреннее ускорение.

d d 2 =2 2 Причём g () = g () + g () – теорема Пифагора в ‹ ›(m) или в m(2).

268 Приложение. Тригонометрические модели движений Напомним, что здесь и далее, согласно (119А), 0. Соответственно в интервале 0 /2 все косинусные скалярные проекции положительные, а в интервале /2 они же все отрицательные.

Из (122А) имеем:

= = d ct d t d ch = cos sh d = sh d = d ch = d = d, · d c d (162A) d ct d t ch = ch 0 + cos sh d =.

· d c = d Из (135А) с учётом того, что sh = v*/c, sh = v*/c, имеем:

d sh = d (sh ·е) = cos ·ch d·е + sin d·е, sh = sh ·е = sh 0 + [cos ·ch d·е + sin d·е] ;

(163A) |d sh |2 = ch2 ·(cos d)2 + (sin d)2 = ch2 d 2 + d 2 = = cos2 (d sh )2 + sin2 (d )2.

Из (138А) с учётом того, что th = v/c, th = v/c, имеем:

d th = d (th ·е) = cos ·sch2 d·е + sin ·sch d·е, th = th ·е = th 0 + [cos ·sch2 d·е + sin ·sch d·е];

(164A) |d th |2 = sch4 ·(cos d)2 + sch2 ·(sin d)2 = sch4 d 2 + sch2 d 2 = = cos2 (d th )2 + sin2 (d ())2.

Здесь и – нормальные геодезические координаты на подвижном единичном гиперболоиде II. В этих формулах как гиперболический угол, так и направляющие векторы являются функциями соответствующего параметра движения, например или t.

Собственная векторная скорость материальной точки выражается из (163А) в виде:

v*() = v*()·е() = v0*·е(0) + c· cos ()·ch ()·d d·е() + d d + c· sin ()· d·e() = d (165А) = d d = v0*·е(0) + c· ch ()· d·е() + c· d·е() = d d 0 = = v0*·е(0) + ch ()·g() d·е() + g() d·е(), 0 Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений = d v* = = где: ch ()·g () = = g*() – тангенциальное собственное ускорение, d обобщающее (82А);

* g () = d v = () – одинаковые нормальные проекции собственного и d g * = d v* = внутреннего ускорений. В отличие от g и g, характеристики и d v* d d в паре не подчиняются теореме Пифагора. Собственная скорость геометрически естественным образом представляется в квазидекартовых координатах в ‹ 3 + 1› через тангенс сферического угла наклона мировой линии по отношению к ‹ › или в псевдодекартовых координатах в ‹P 3 + 1› через синус гиперболического угла наклона мировой линии по отношению к тому же ‹ ›(1) ‹ 3› (см. рис. 2А).

Координатная векторная скорость материальной точки выражается из (164А) в виде:

t d v(t) = v(t)·е(t) = v0·е(t0) + c· cos (t)·sch2 (t)· dt·е(t) + t0 d t t d dt·e + c· sin (t)· (t) = d t tt t = (166А) = v0·е(t0) + c· sch3 (t)·d dt·е(t) + c· sch2 (t)·d dt·е(t) = d td t tt = = v0·е(t0) + sch3 (t)·g [(t)] dt·е(t) + sch2 (t)·g [(t)] dt·е(t), t0 где: t0 = 0, t = t () по (85 А);

= d v = = sch3 [(t)]·g[(t)] = d t = g (1)(t) (167А) – тангенциальное координатное ускорение, обобщающее (83 А);

sch2 [(t)]·g[(t)] = d v (1)(t) (168А) d t = g – нормальное координатное ускорение. Обе эти характеристики также не подчиняются теореме Пифагора. Координатная скорость геометрически естественным образом представляется в псевдодекартовом базисе 1 в ‹P 3 + 1› через тангенс гиперболического угла наклона мировой линии по отношению к ‹ ›(1) (см. рис. 2А).

В том, что только внутренние ускорения подвержены биортогональному разложению по теореме Пифагора, имеется глубокий физический смысл. В самом общем виде этот факт обсуждается и объясняется далее в гл. 9А.

270 Приложение. Тригонометрические модели движений Собственное вектор-расстояние соответственно вычисляется двумя способами с идентичной разбивкой на три составляющие [t0 = 0, v0 = v0* = 0; t = t()]. Из (165А) и (166А) имеем:

x = x() = xt(t) = x0 + (x)1 + (x)2 = = = x0 + ch ()·g()·е() d2 + g()·е() d2 = 0 0 0 (169А) = = x0 + g*()·е() d2 + g()·е() d 0 0 0 t t t t = x0 + sch3 (t)·g[(t)]·е(t) dt2 + sch2 (t)·g[(t)]·е() d2 = t0 t0 t0 t t t t t (170А) = = x0 + g(1)(t)·е(t) dt2 + g(1)(t)·е(t) dt2.

t0 t0 t0 tПри условии одновременности (85 A), то есть по отношению к ‹ ›(1), 3+мировые точки в ‹ › и в ‹ 3+1› (гл. 5А) выражаются тождественно в следующих координатных формах:

x x u(1) = и w =.

ct c В свою очередь, изменение скалярного косинуса, согласно (162А), прямо пропорционально работе собственной силы (81А) при физическом движении той же материальной точки:

d ct d t ch – ch 0 = cos ·sh d = dc d 0 0 t 1/c2 · cos ()·v*()·g() d 1/c2 · cos (t)·v(t)·g[(t)] dt (171А) 0 t, 1/c2· cos ()·g() d 1/m0c2· cos ()·F() d = 1/E0· F() d = A/E = 0 0 где A = cos ()·F() d = F() d.

= 0 При 0* = 0 ( v0* = v0 = 0) имеем:

ch = 1 + A / E0, или ch ·E0 = E = m0c2 + A = mc2.

Следовательно, классическая формула для полной механической энергии Эйнштейна имеет косинусную и поэтому скалярную природу.

Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений 3+В процессе произвольного поступательного движения в ‹P › полная энергия материального тела в каждой точке мировой линии есть скаляр мгновенного тензора энергии-импульса, подобный координатному времени (на гиперболоиде II). Им прямо пропорциональны аналогичные характеристики для полного импульса и полной массы (гл. 5А).

В процессе физического движения все тригонометрические функции его гиперболического угла изменяются согласованно между собой:

ch = sh /th = (sh 0 + d sh ) /(th 0 + d th ) = ch 0 + d (sh /th ) = 0 0 = ch 0 + d ch.

Причина этого состоит в том, что синус и тангенс имеют один и тот же направляющий вектор е.

Вектор-импульс изменяется как синусная векторная характеристика = p = m0c·sh = m0·v* = p (0) + ch ·F() d·е() + F() d·е().

0 В свою очередь, полная масса, полный импульс и полная энергия изменяются как родственные скалярные косинусные характеристики.

Поэтому для синусных и косинусных характеристик имеют место инвариантные соотношения в 3-х тождественных формах:

m02 = m2 - (p/c)·p/c P02 = P2 - p·p E02 = E2 - (pc)·pc;

где p = m0c · sh = P0· sh, m = m0 · ch, P = P0 · ch, E = E0 · ch.

Весьма интересно, что из (120А) и (135А) для поступательного (в прямом смысле) неколлинеарного движения тела следует сугубо математически эффект его особой релятивистской ортосферической прецессии с отвечающими ей формально моментом количества движения и главным моментом (неинерционной природы в ‹P 3 + 1›):

d = - th (/2)·sin () d = - [th ·sin () d ] /(1 + sch ), (172А) d/d = - sin ()·c/R()·th [()/2] = - sin ()·k()·th [()/2].

Ортосферическая прецессия (буст) понимается здесь наиболее общо, нежели конкретная прецессия Томаса для спина электрона.

Pages:     | 1 |   ...   | 32 | 33 || 35 | 36 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.