WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 43 |

· / · · / · 256 Приложение. Тригонометрические модели движений Эта частная синусная скалярная формула, установленная впервые Зоммерфельдом, как видно даёт релятивистский коэффициент «1/2» для прецессии Томаса [5, 63]. В свою очередь, в векторной форме имеем:

th 13 е = th 12 е + th 23 sch 12 е, · · · · th 13 е = th 23 е + th 12 sch 23 е.

· · · · Если одна из скоростей равна скорости света, например th 23 = ±1, то cos 13 = sch 12, sin 13 = th 12 и th 13 = 1. Теоретически максимальный релятивистский сферический сдвиг (13 = /2 ) имеет место при суммировании условно ортогональных световых скоростей.

В гиперболической геометрии вращение в плоскости ‹ › ‹е, е› осуществляется против направления суммирования отрезков.

Применив для альтернативного вывода сферического сдвига специальную теорему о приведении суммы двух движений к биортогональной форме, получаем также общие формулы для cos 13 и sin 13, = подставив значения: cos = ± 1, 12 (12 + 23 ), 23 23.

Согласно ротационной формуле (113А), положительные значения 2 угла 13 отсчитываются в тригонометрической плоскости ‹ › ‹ › в направлении от е к е. При этом, как указывалось ранее, е, е и rN составляют правую тройку, что однозначно определяет направление ортосферической ротации rot в структуре (497).

Особый случай отвечает ортогональной (и теперь не условно!) сумме бесконечно малых частных углов движения или их первых дифференциалов. Например, из синусных формул имеем:

lim 13 = 122 + 232 ; 13 = – (12 23 2) 0.

· / 12 23 Это, во-первых, выражает инфинитезимальную теорему Пифагора для прямоугольного треугольника на единичном гиперболоиде Минковского (двумерный вариант) и его площадь с точностью до знака.

Во-вторых, отсюда же следует инфинитезимальная тождественность угла ортосферической ротации 13 и сферической угловой девиации Ламберта – Гаусса – Бонне для данного гиперболического треугольника.

Это по сути есть дефект, или девиация со знаком «–». (Для сферического треугольника на единичном гиперсфероиде в аналогичной формуле для углового эксцесса применялся бы знак «+».) Интегральный угол ортосферической ротации также тождествен дефекту гиперболического (геодезического) треугольника на гиперболоидах I и II. (Утверждение устанавливается через интеграл по поверхности.) Это иллюстрирует хорошо известный факт неевклидовой геометрии, Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений что угловая сферическая девиация любой геометрической фигуры, образуемой геодезическими отрезками на двумерной поверхности постоянной (в данном случае единичной) гауссовой кривизны с точностью до знака равна произведению плошади на кривизну.

Инфинитезимальная теорема Пифагора может применяться для бесконечно малых гиперболических отрезков (углов) с их количеством k n. Повторив, согласно (128А) – (130А), ортогональное суммирование для k бесконечно малых независимых частных углов, получаем:

k lim = ( j)2.

j = ( j) Как и при k = 2, имеет место коммутативность частных углов движения в векторной и скалярной формах суммирования. Это иллюстрирует хорошо известный факт, что неевклидова геометрия инфинитезимально евклидова. В частности, элемент площади ds = d(1) d(2) R2;

· элемент k-мерного объёма dv = d(1)…d(k) Rk. В свою очередь, первый · дифференциал общего угла движения, согласно инфинитезимальной теореме Пифагора на гиперболоидах, выражается в двух вариантах:

n (d)2 = [d( j)]2, (144А) j = где d( j) – ортопроекция d на j-ю ось ортогональных криволинейных координат Гаусса;

= е d = d + d е = d е, · · · (145A) = (d) 2 = (d)2 + (d) 2, = где d и d – ортопроекции d в характеристическом мгновенном декартовом суббазисе m(2) {е, е}, задаваемом в точке М гиперболоида на касательной ‹ ›. С другой стороны, соотношения типа (129А), (132А) выражают неевклидов аналог теоремы Пифагора в интегральной форме. Имеется изоморфизм (см. например [43]) между любыми родственными геометрическими объектами, в том числе особыми (прямые, окружности, предельные окружности и т. д.), в пространстве Лобачевского – Больяи и на псевдосфере Бельтрами, с одной стороны, и на гиперболоидах II и I Минковского, с другой стороны (как и на их моделях Клейна и Пуанкаре). Как показано выше, в неевклидовой гиперболической геометрии угол есть также дефект геодезического треугольника или более сложной – составной двумерной геометрической фигуры. Он связан с тем, что на искривлённой поверхности параллельный перенос вектора зависит от пути.

258 Приложение. Тригонометрические модели движений В частности, для случая уже рассмотренной выше аберрации, для которой th 13 = е, вычислим дополнительно косинус угла ортосферического сдвига по формуле (143А):

(1 - sch 12 )·sin2 cos 13 = е е = 1 – · 1 ± cos 1·th 12.

Здесь 13 – угол ортосферической ротации и он же есть дефект гиперболического треугольника, образуемого на гиперболоиде I Минковского (радиуса R = с) геодезическими отрезками, отвечающими их проекциям-скоростям v, c и релятивистской сумме последних. (Этот угол, как отмечалось выше, относится исключительно к прецессии звёздного диска.) В самом же треугольнике скоростей на проективной евклидовой гиперплоскости угловой дефект искажается, как и углы между скоростями, кроме централизованных. (Такого рода искажения рассмотрены далее на тангенсной проективной модели Клейна.) Релятивистские формулы эффекта Допплера для частоты света [37, с. 39] имеют простые гиперболические аналоги. Их можно получить геометрически, используя тангенс-тангенсную аналогию (§ 6.4):

·с = (1)·сt(1) = (1)·{сt(1)·[1 – cos ·tg R()]} (1)·с·ch (1 – cos ·th )], (1)/ = sch /(1– cos ·th ) = 1/( ch – cos ·sh ), где и (1) – частота света движущегося источника и его же частота, воспринимаемая наблюдателем N1 в исходном универсальном базисе;

с и сt(1) – одновременные интервалы времени с точки зрения N1;

сt(1) – продолжительность в 1 заданного интервала излучения с;

– угол между направлением движения источника и лучом света.

Отметим частные случаи.

А) Продольный встречный эффект, = 0, cos = + 1 (источник приближается): (1)/ = 1/( ch – sh ) = exp > 1. То есть здесь наблюдается “синее смещение” частоты света.

В) Продольный обратный эффект, =, cos = – 1 (источник удаляется): (1)/ = 1/(ch + sh ) = exp (– ) < 1. То есть здесь наблюдается “красное смещение” частоты света.

С) Поперечный эффект, = ± /2, cos = 0: (1)/ = sch. То есть здесь наблюдается меньшее “красное смещение” частоты света, вследствие обычного эйнштейнова замедления времени в относительно движущемся источнике света.

Далее рассмотрим внешнюю векторную тригонометрию единичных гиперболоидов Минковского (R = 1).

Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений * * * Гиперболоид II sh sh ·е i = = (при сt > 0: > 0) (146А) ch ch - 41 псевдоединичный радиус-вектор точки гиперболоида II. Метрический инвариант выражается в виде:

i I i = sh sh - ch2 = sh2 ее - ch2 = - 1 = i2. (147А) · · · · Остальные тригонометрические функции получаются делением базового элемента i либо на ch, либо на sh. Далее, th th ·е sch = sch i = = - 41 радиус-вектор секанса, конец ко- · торого лежит на тангенсно-котангенсной евклидовой гиперплоскости (нулевому значению секанса соответствует принадлежность вектора изотропному конусу), sch I sch = th th - 1 = th2 ее - 1 = (i sch )2;

· · · · · е cosch = cosch i = cth - 41 радиус-вектор косеканса, конец кото· рого лежит на тангенсно-котангенсной цилиндрической евклидовой гиперповерхности (нулевому значению косеканса отвечает принадлежность вектора изотропному конусу), cosch I cosch = ее - cth2 = (i cosch )2.

· · · (Все эти векторы времениподобны.) Гиперболическое преобразование (движение) какого-либо точечного элемента i2 i3 единичного гиперболоида II в активной форме в представляется в виде:

i3 i1 io o sh 13·е 1 ch 13 = roth Г13· = roth Г12·roth Г23·rot (- 13)· = (148А) i1 io o = roth Г12 roth Г23 1 = roth Г12 roth Г23 roth-1 Г12 roth Г12 1 = · · · · · · i= {roth Г12 (roth Г23 )2 roth-1 Г12}1 sh 12·е.

· · · ch 260 Приложение. Тригонометрические модели движений Траектория гиперболического (геодезического) движения i2 iпринадлежит сечению гиперболоида II псевдоплоскостью ротации матрицы {roth Г12 roth Г23 roth-1 Г12}. Аналитически она производится · · при непрерывном преобразовании i (i + di) путём изменения в матрице roth Г23 значения скалярного угла от 0 до 23 при е = const.

В модели Клейна внутри абсолюта, или тангенсной модели (рис. 4) эта траектория отображается прямолинейным отрезком th 23. На гиперболоиде II нетрудно реализовать гиперболический треугольник (и далее другие многоугольники) через полярное представление:

roth Г12 roth Г23 u1 = roth Г13 u1 = u3, · · · roth Г12 u1 = u2, {roth Г12 roth Г23 roth-1 Г12} u2 = u3.

· · · · Централизованный треугольник ‹u1, u2, u3› трансформируется в произвольный треугольник путём активного преобразования координат в том же 1.

Гиперболоид I сh ch ·е e = = (при сt > 0: > 0) (149A) sh sh - 41 единичный радиус-вектор точки гиперболоида I. Метрический инвариант выражаетсяв виде:

e I e = ch ch - sh2 = ch2 ее - sh2 = + 1 = 12. (150A) · · · · Остальные тригонометрические функции получаются делением базового элемента е либо на ch, либо на sh. Далее, е sch = sch е = th - 41 радиус-вектор секанса, конец которого ле- · жит на тангенсно-катангенсной цилиндрической евклидовой гиперповерхности (нулевому значению секанса соответствует принадлежность вектора изотропному конусу), sch I sch = ее - th2 = (sch )2 ;

· · cth cth ·е cosch = cosch e = 1 = 1 - 41 радиус-вектор косеканса, · конец которого лежит на тангенсно-котангенсной евклидовой гиперплоскости (нулевому значению косеканса соответствует принадлежность вектора изотропному конусу), cosch I cosch = cth cth - 1 = cth2 ее - 1 = (cosch )2.

· · · · (Все эти векторы пространствуподобны.) Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений Допустимое гиперболическое преобразование (движение) какоголибо точечного элемента e2 e3 единичного гиперболоида I в активной форме в 1 представляется в виде:

e3 ech 13·е ch 12·е = {roth Г12 (roth Г23) 2 roth-1 Г12}1. (151A) · · · sh 13 sh В силу топологии модели Клейна вне абсолюта, гомеоморфной гиперболоиду I и псевдосфере Бельтрами (рис. 4), понятно, что между произвольными элементами e2 и e3 не всегда может быть реализовано чисто гиперболическое движение. (В этом же особенность геометрии в большом для гиперболоида I.) Движение roth Г23 реализуется тогда и только тогда, когда котангенсные проекции элементов e2 и e3 в модели Клейна вне абсолюта можно соединить прямолинейным отрезком cth 23, не пересекая и не касаясь овального абсолюта внутри отрезка, и при этом наоборот, пересекая овальный абсолют вне отрезка, то есть его прямолинейным продолжением.

В простейшем случае е = е 12 = 13, согласно реверсивному аналогу (135A); при этом имеем:

cos = - sh 23 ch 12 (сh 23 - 1) sh 12.

· / · Исходя из преобразования e3 = T e2 в общей комбинированной · форме с учётом промежуточного приведения элементов к виду (149A), то есть к e2(1) и e3(1), в базисе 2 имеем:

T23 = roth Г23 rot (- 13) rot = roth Г23 rot. (152 А) · · · В частности, в указанном выше случае Т = Т = roth Г23 = roth Г23.

Тогда заключаем, что матрица гиперболического движения e2 e3 по гиперболоиду I та же, что и для гиперболоида II при движении i2 i3.

* * * Используя аналогичным образом матричный подход ротационной тензорной тригонометрии, но уже в самом общем случае, определим далее основные итоговые характеристики (скалярные, векторные, тензорные) для многоступенчатого (суммарного) гиперболического движения. При этом установим также в самой общей форме закон суммирования частных движений в гиперболической геометрии и, что тождественно, – общий закон сложения скоростей в СТО. В этом случае матрица движения Т, или она же – матрица непрерывного однородного преобразования Лоренца имеет общую тригонометрическую каноническую форму, выражаемую в 1 в виде:

262 Приложение. Тригонометрические модели движений Т = roth Г rot = rot roth Г = (153А), (154А) · · ch ee + ee sh e rot 33 o · · = = · sh e ch o · rot 33 o ch ee + ee sh e · · = = · o sh e ch · (ch - 1) ee + rot 33 sh e · · (e e = cos ee) = · ·.

sh e ch · Матрица roth Г вычисляется по формуле (114А). Матрица rot в целом выражается канонической формой (497). Здесь она вычисляется либо по формуле (115А), либо через представление (497) с использованием при этом значений Г, Г и формул (120А), (499). Далее имеем:

ch 2 = s44 ; ch = + (s44 + 1)/2, sh = + (s44 - 1)/2, th = v/c = + (s44 - 1) (s44 + 1) = sh ch ; (155А) / / cos k = s4k s442 - 1, th k = vk c = cos k th = s4k (s44 + 1) ;

/ / · / cos = 0,5 tr rot - 1 = (tr rot 33 - 1) 2 = e e.

/ · Вместе с полярным представлением (153А) формулы (154А), (155А) дают в генеральной форме закон суммирования многоступенчатых движений в геометрии Лобачевского – Больяи и соответственно физических скоростей в СТО. Скалярные параметры движения не изменяются при зеркальной перестановке частных движений. Но зеркальная перестановка вызывает транспонирование общей матрицы тензора движения Т при исходном базисе 1 = {I}.

Тензорная тригонометрия в рассматриваемом здесь варианте применима к решению разнообразных задач гиперболической геометрии и кинематики СТО. Она представляет особый интерес для геометрических объектов, задаваемых внешним образом в псевдоевклидовом пространстве Минковского. Например, длины и расстояния вычисляются через и d; площади фигур – через и d;

объёмы тел – через площади и ортогональные им высоты.

Глава 7А. Модели неколлинеарных гиперболических движений * * * Вернёмся к закону суммирования движений в скалярной и векторной тангенсных формах (125A) и (138A). С точки зрения модели Клейна внутри абсолюта (§12.1, рис. 4) в универсальном базисе 1 суммирование тангенсных проекций начинается из центра проектирования O – общего центра всех псевдодекартовых базисов. Первая тангенсная проекция угла th 12 евклидово не искажается. Как вектор она исходит из точки O (рис. 4А). Последующие тангенсные проекции th 23, th и т. д. прилагаются в конце предыдущего вектора и в общем случае евклидово искажаются по длине. Далее суббазис 1(3) играет роль однородных координат. Согласно ортогональному тангенсному представлению (125A) и (138A), перпендикулярная проекция искажённого вектора th 23 вычисляется в 1(3) следующим образом:

sin ·th 23·sch th 23 = 1 + cos ·th ·th. (156A) Соответствующая ей параллельная проекция искажённого вектора th вычисляется как разность искажённой параллельной проекции в (138A) и её неискажённой части th 12:

Pages:     | 1 |   ...   | 31 | 32 || 34 | 35 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.