WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 43 |

234 Приложение. Тригонометрические модели движений Заметим также, что через соотношения (80А), (81А) устанавливается релятивистский аналог формулы Циолковского для ракеты, движущейся за счёт внутренней реактивной силы:

d m0 () F = m0 () g () = u, d d m0 () u = g() d = c d(), m0 () c m0() = m0 exp[- u ()], где m0 и m0() - начальная и мгновенная масса ракеты, u - скорость истечения реактивного топлива, () = Arth [v()/c]. Для гипотетической фотонной ракеты (u = c) имеем:

m0() = m0 exp[- ()].

В сравнении с классическим вариантом Циолковского, вышеуказанная релятивистская формула даёт остаточную массу ракеты меньше исходя из достигнутой координатной скорости и больше исходя из достигнутой собственной скорости:

m0 exp(- v*/u) < m0() < m0 exp(- v/u), или sh > > th.

* * * В качестве конкретного примера для иллюстрации, в том числе и парадокса близнецов, рассмотрим тригонометрические выкладки для гиперболического движения ракеты с реверсом, схема которого приведена на рис. 3А. (Подобные примеры впервые рассматривал Ланжевен [58].) = L /2 = c2/g (ch max - 1) ch max = g /c2 + 1= /R + 1;

= (4c/g) max, t(1) = (4c/g) sh max ;

vmax = c th max, vmax*= c sh max ;

m0()/m0 = exp[(- 4c/u) max].

Полёт фотонной ракеты до окрестности ближайшей звезды “Проксима Центавра” и обратно в вышеуказанном идеальном режиме характеризуется следующими параметрами:

– расстояние в одну сторону L 4,26 световых лет 40,3·1015 м, – внутреннее ускорение g = 10м/сек2, – скорость истечения топлива u = c;

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений – результаты вычислений 20,15·1015м, R 9·1015м, tF 305 суток;

ch max 3,239; sh max 3,081; th max 0,951; max 1,8437;

vmax 0.951с, v* 3,061с, max 2.21 108 cек 7 лет, t(1) 3,70 108 cек 11,7 лет.

ct c ‹P 3+1› – g g g = ± const (i) (f) + g ‹ 3+1› – g c – g + g max ct – g (max) + g + g O O Рис. 3А. Реверсивное гиперболическое движение материальной точки в псевдодекартовых (слева) и в квазидекартовых (справа) координатах под действием постоянного внутреннего ускорения или эквивалентного гравитационного поля с постоянной напряжённостью.

236 Приложение. Тригонометрические модели движений В данном случае время в световых годах, выражающее в астрономическом масштабе покрытое расстояние туда и обратно, даже больше затрачиваемого собственного времени. Относительное снижение массы фотонной ракеты (только за счёт расхода топлива) по релятивистской формуле составляет: m0()/m0 = exp(- 4max) 1/1600.

Фотонная ракета с земным внутренним ускорением теоретически менее чем за год достигнет собственной скорости «с» и в конце разгона превысит её трёхкратно. Однако по завершении этой гипотетической экспедиции от первоначальной снаряжённой массы ракеты должна остаться совершенно ничтожная часть, что красноречиво свидетельствует об умозрительности путешествий даже к ближайшим звёздным системам за вышеуказанные порядки времён с использованием релятивистских эффектов СТО.

* * * В общем случае неравномерного, но опять-таки прямолинейного физического движения определяются мгновенные характеристики искривления мировой линии по касательным к ней гиперболе (в ‹P 3+1›) 3+или гиперболической косинусоиде (в ‹ ›) в какой-либо точке M. При таком типе движения мировая линия в целом находится в объемлющей псевдоплоскости или квазиплоскости.

Как и в случае идентичной касательной окружности к каким-либо регулярным кривым (в одной точке), для идентичных касательных гиперболы и гиперболической косинусоиды справедливо одно общее утверждение. А именно кривые с такого рода идентичными касательными в точке М имеют в ней же тождественные производные первого и второго порядка, выраженные в соответствующей соприкасающейся плоскости, псевдоплоскости, квазиплоскости.

1+Радиус гиперболической кривизны в соприкасающейся ‹P › = направлен по вектору псевдонормали p от центра касательной 1 + гиперболы. Радиус сферической кривизны в соприкасающейся ‹ › = направлен по вектору квазинормали q к центру касательной окружности.

= = Вектор касательной i псевдоортогонален p и квазиортогонален q. Все эти векторы суть единичные в своей метрике. Общий математический критерий плоского типа кривой, а следовательно, и вышеуказанного типа мировой линии есть нулевое кручение при ненулевой кривизне.

3+Пусть координаты точек мировой линии фиксируются в ‹P › в заданном универсальном базисе 1. Относительно него простое прямолинейное физическое движение материального тела определяется тем, что характеристический угол движения имеет постоянный вектор направляющих косинусов e именно в 1(3). Тогда объемлющая псевдоплоскость обязательно содержит в себе стрелу времени ct(1) = ct.

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений Ей отвечает пространственная ось. Она, касательная i и псевдо- = нормаль p имеют одинаковый вектор направляющих косинусов e.

= = Собственная ось образует угол с вектором p и угол () с вектором q.

Те же углы образует вектор i с осью ct в псевдоплоскости и с осью c в квазиплоскости. Из общих тригонометрических соображений вычисляем все определяющие характеристики касательных кривых.

Для касательной гиперболы в объемлющей псевдоплоскости d dd Arth | | | | |d| dct dctd2 x(m) = 1/R = =, 3/dc = d ct2 - d 2 = dc1 - [ d ] ( ) dct (102A) R = - ch e= R, d.

th = d ct ctR = ct - sh R, = Для касательных косинусоиды и окружности в объемлющей квазиплоскости d dd arctg | | | | d () dc dc = = 1/R = ch2 1/ r = ch2 = ch2 =, dct dc2 + d2 d 1 + ( ) dc d | | dc2 d2 x(m) = 1/ r = =. (103A) | | d 2 3/2 dct[ + d c ] ( ) R = - ch e= R, r = + cos ()= r, d sh = tg ().

dc cR = c - R, cr = c - sin () r, = = Аналогичным образом вычисляются касательные гиперболы и меридианные (большие) окружности к простым относительно плоским кривым в пространствах ‹P 2+1› и ‹Q 2+1› в гиперболической и в сферической неевклидовых геометриях.

Вообще же тригонометрические формулы d d = = 1/R =, 1/ r = (104A) dl dl применимы и в частных дифференциалах для плоских и закрученных кривых, но с условием e = const. (См.: о разложении абсолютной кривизны на две взаимно-ортогональные компоненты в гл. 10А.) Глава 6А. Изоморфное отображение псевдоевклидова пространства в квазиевклидово и в сжатое квазиевклидово пространства Пространство, само по себе, без движущейся в нём материи не имеет какого-либо физического смысла. Это всего лишь та или иная математическая абстракция, приспособленная для описания в удобной форме законов движения материи координатным способом. При наложении на формы этих законов каких-либо ограничений, например требования ковариантности, выбор допустимого координатного пространства становится более определённым. В предыдущей главе, согласно (97А), было введено специальное квазиевклидово простран3+ство ‹ › относительно заданного 1. Его гносеологическое значение может состоять в том, что в нём достаточно наглядно представляются разнообразные варианты релятивистских путешествий в объективной оценке самого путешественника N (но не его как простого наблюдателя). В такой объективной оценке евклидова составляющая пространства-времени в целом остаётся неизменной. В свою очередь, стрела текущего собственного времени путешественника N перма3 нентно сферически ортонормируется по отношению к ‹ › ‹E ›(1).

При этом она же оказывает перманентное воздействие на ct = ct(1), что 3 + выражается в конкретной мировой линии наблюдателя N1 в ‹ ›.

Следовательно, для каждого возможного варианта путешествия есть 3 + свой отклик в ‹ › в виде мировой линии - стрелы времени ct, в общем случае криволинейной. Квазидекартовы координаты точек этой мировой линии фиксируют затраченное собственное время с путешественника N и покрытое им собственное расстояние, измеряемое синхронно с наблюдателем N1 в универсальном базисе. Условие 3 + синхронизации событий в ‹ › всегда одно и то же: параллельность множества мировых точек постоянному подпространству ‹ ›, что отвечает соотношению (85А). Евклидова длина мировой линии равна здесь затраченному координатному времени ct.

3 + В данном аспекте ‹ › формально синтезируется только из 3 + времениподобной составляющей векторного пространства ‹P ›.

Например, в координатах ‹, c› (рис. 2А) линия или вектор с любым наклоном отображает только временной процесс, то есть Глава 6А. Изоморфное отображение псевдоевклидова пространства это всегда мировая линия. (Возможно аналогичное всеобъемлющее 3 + 1 3 + преобразование ‹P › : ‹ › совместно с конкретными геомет3 + рическими объектами.) В ином аспекте ‹ › синтезируется только 3 + из пространствуподобной составляющей векторного ‹P ›. В этом специальном квазиевклидовом пространстве все линии и векторы пространствуподобны. Особый интерес представляют такие преобразования исходного пространства соместно с гиперболоидами I и II.

Гиперболоид I как геометрическое место времениподобных 3 + гиперболических кривых c в ‹P › преобразуется в цилиндрическую 3 + поверхность в ‹ ›, образующие которой - те же спрямлённые гиперболы c. С другой стороны, исходный цилиндр из кругового 3 + 1 3 + множества осей ct в ‹P › преобразуется в катеноид I в ‹ › как геометрическое место времениподобных косинусоидных кривых ct.

Катеноид I – односвязная (минимальная) гиперповерхность, получаемая вращением времениподобной гиперболической косинусоиды вокруг централизованной оси cR.

Аналогичное преобразование гиперболоида II как геометрического места пространствуподобных гиперболических кривых 3 + даёт катеноид II - двухсвязную гиперповерхность в ‹ ›.

Он получается вращением пространствуподобной гиперболической косинусоиды вокруг оси ct. В данном случае стрела времени остаётся неизменной, а преобразуются только пространственные оси с сохранением их вектора направляющих косинусов.

Между гиперболоидами I, II и катеноидами I, II устанавливается изоморфизм на основе равенства либо пространственных координат (в первом случае), либо временной координаты (во втором случае).

Но более того, геометрию гиперболоида I возможно реализовать на изометричной ему гиперповерхности в некотором объемлющем n + специальном квазиевклидовом пространстве {‹E ›}. Для этого осуществим дальнейшее изоморфное преобразование катеноида I.

Как известно, эвольвента гиперболической косинусоиды ct (цепной линии) есть трактриса. Причём при развёртке косинусоиды её евклидова длина ct переносится на нормаль трактрисы. Вместе с тем, текущий нормальный вектор трактрисы тождествен текущему касательному вектору гиперболической косинусоиды как вектор-расстояние между двумя указанными кривыми [рис. 2А (4)]. Формально это означает спрямление криволинейной стрелы времени сt в текущую нормаль ct трактрисы с соответствующей ей длиной. В процессе вышеуказанного вращения времениподобной косинусоиды вокруг централизованной оси cR вместе с сопутствующей времениподобной трактрисой внутри катеноида I дополнительно производится гиперпсевдосфера Бельтрами.

(Заметим, что при этом трактриса считается непрерывной кривой.) 240 Приложение. Тригонометрические модели движений Все четыре указанные поверхности вращения: гиперболоид I, цилиндр, катеноид I и гиперпсевдосфера - гомеоморфны и имеют один и тот же характеристический параметр R (радиус вращения).

Но среди них только гиперболоид I и гиперпсевдосфера Бельтрами имеют одну и ту же – постоянную и отрицательную гауссову кривизну.

Последнее обстоятельство, согласно теореме Бельтрами, определяет гиперболическую неевклидову метрику на таких поверхностях, или метрику Ламберта. Как известно, гомеоморфизм и изометричность в малом каких-либо поверхностей необходимы и достаточны для изометричности в большом, то есть для изоморфности их внутренних геометрий в целом.

Отсюда следует главный вывод. Цилиндрическая гиперболическая неевклидова геометрия (§ 12.3) изоморфна в целом геометрии Бельтрами на вещественной непрерывной гиперпсевдосфере при одном и том же характеристическом радиусе R.

В данном изометричном отображении (n - 1)-мерный центральный пояс (или экватор) гиперболоида I и гиперпсевдосферы суть автоморфизмы. Фигуры, проходящие в процессе движения через него на гиперпсевдосфере Бельтрами претерпевают излом под углом 180°, что не отражается на их метрических и топологических свойствах.

Далее установим, как преобразуются координаты в процессе трансформации гиперболоида I в гиперпсевдосферу Бельтрами.

Асимптотическая ось cR образующих трактрис (собственная ось вращения гиперпсевдосферы) параллельна c [рис. 2А (4)]. Ось R трактрис направлена противоположно оси - к центру вращения О на оси cR, но имеет тот же вектор направляющих косинусов. Точка возврата трактрисы О1 отображает центральную точку гиперболы и поэтому также принадлежит кривой. При c > 0: v и > 0 в = верхней и нижней частях, а в точке возврата они нулевые ( g = const > 0).

Из тригонометрических соображений и с учётом (89А), (94А) текущие координаты ответной точки М трактрисы выражаются в виде:

R = sin () ct - th ct - = sch, · · · (105 А) cR = c - сos () ct c - sch ct = [1 - (th ) /] c, · · · где функции sch и th / при движении вдоль кривой монотонно убывают от 1 до 0. Они вносят соответствующие уменьшающие коэффициенты в непрерывные отображения : R, c : cR, в результате чего исходная гипербола преобразуется в трактрису. Поэтому R и cR определяются как сжатые координаты собственного расстояния и n + собственного времени; {‹E ›} определяется как специальное сжатое квазиевклидово пространство, объемлющее псевдосферу Бельтрами.

Глава 6А. Изоморфное отображение псевдоевклидова пространства Применив далее формулы гиперболического движения (86А), (87А), приводим соотношения (105А) к полной тригонометрической форме и вместе с этим вычисляем евклидово расстояние l вдоль трактрисы:

R R = R y = R (1 - sch ), · · d cR d z cR = R z = R ( - th ), = = sh tg (), (106A) · · dR dy l = R l = R ln ch, d l = dx(m) = R th d = v d.

· · · R R Из этих параметрических уравнений следует, что все трактрисы подобны между собой, аналогично окружностям и равнобочным гиперболам. Множитель «R» есть коэффициент подобия как для гипербол, так и для трактрис. Уравнения для единичной трактрисы в явной и параметрической формах выражаются в виде:

z = Arch 1/u - 1 - u2, u = 1 - y = sch 1, (107A) l = - ln u, (uR = R sch ).

· u = sch cos (), z = - th Arth sin () - sin (), (108A) l = ln ch ln sec ().

Для сравнения укажем параметрические уравнения сферической циклоиды:

u = cos, uR = R u, · z = - sin, zR = R z, · l = 4 (1 - cos /2), l = R l.

· · R Циклоиды также подобны между собой. Следовательно, по сути трактриса есть гиперболический аналог циклоиды, но с одним циклом.

Pages:     | 1 |   ...   | 28 | 29 || 31 | 32 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.