WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 43 |

Аналогичная формула для тех же коэффициентов, но выраженная в явном виде, представляет больше теоретический интерес [27, с. 38] trB 1 0 … trB2 trB 2 … … … … … … k(B,t) = · det. (3) t! trBt-1 trBt-2 trBt-3 … t - trBt trBt-1 trBt-2 … trB § 1.2. Генеральное неравенство средних величин Формулы (2) и (3) получаются из системы линейных уравнений Ньютона с n известными корнями относительно n неизвестных коэффициентов применением той же схемы замены. Последовательность скалярных коэффициентов или сумм Виета, согласно системе линейных уравнений Ньютона, взаимно-однозначно связана с такой же последовательностью характеристических следов или сумм Варинга вплоть до порядка t = r = min{rang Вh} r, то есть до минимума ранга указанной степенной матрицы. (При t > r все скалярные характеристические коэффициенты порядка t обнуляются.) Параметр r для матрицы В здесь определяется как её 1-й рок. (В дальнейшем будет видно, что обнулению матричных характеристических коэффициентов отвечает некий 2-й рок r.) Решение любых задач, связываемых изначально со скалярными коэффициентами, можно рассматривать также исходя из значений характеристических сумм Варинга, а для матриц – значений характеристических следов.

§ 1.2. Генеральное неравенство средних величин Во втором разделе основной части монографии особое значение имеют положительно (полу)определённые ранга r симметричные или эрмитовы матрицы и их скалярные инварианты. Для таких матриц вековое уравнение в принятой знакопеременной форме имеет необходимо положительные скалярные коэффициенты вплоть до порядка r = r = rang B. Кроме того, все n его решений (собственных значений) – вещественные неотрицательные числа. Для совокупности n неотрицательных чисел i, причём r n из них ненулевые, определим специальные характеристики – малые медианы (или средние алгебраические), большие медианы (или средние степенные):

i m1 = M1 = n, (4) t t t t mt = t, (5) s (i) /Сn = k(B,t) /Cn M = =, (6) S(i) /n tr B/n где черта сверху означает усреднение. Здесь st(i) – суммы Виета, S(i) – суммы Варинга, n – размер совокупности чисел или матриt цы, t или – порядок соответствующих средних величин, C – n биномиальные коэффициенты Ньютона. (Среднее арифметическое 18 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов m1 = M1 является пересечением множеств средних алгебраических и средних степенных.) При t > r малые медианы вырождаются в нуль, что имеет место при наличии нулевых исходных чисел. Если же таковые отсутствуют, то могут быть полезными реверсивные аналоги малых и больших медиан, которые определяются как -i -v1 = V1 = ( ), (7) n -t -t t t vt = (8) st(i-1) Сn = k(B-1,t) /Cn, / V = =. (9) S(i-1) /n tr B-/n Они производятся как обращённые средние от обратных исходных чисел и также являются средними величинами. Например, если прямая медиана относится к косинусному инварианту, то реверсивная медиана относится к секансному инварианту, но обратна ему, как и должно быть для секанса. (Среднее геометрическое mn = vn является пересечением множеств средних алгебраических и их реверсивных аналогов.) Для совокупности n вещественных положительных чисел ‹µi›, из которых хотя бы одно число отличается от другого, имеет место генеральное неравенство средних величин, охватывающее всю область данной совокупности:

max‹ i› = M > … > M > … > M1 = (10) = m1 > … > mt > … > mn = (11) = vn > … > vt > … > v1 = (12) = V1 > … > V > … > V = min ‹i› (13) (t = 1, …, n; = 1, …, ).

Знак же равенства, причём сразу для всех медиан (средних величин), имеет место тогда и только тогда, когда µ1 = … = n. Если бы совокупность содержала s = n - r нулевых чисел, то цепь неравенств вырождалась справа, начиная с mr + 1, а слева все медианы оставались ненулевыми. При этом в случае равенства ненулевых чисел между собой медианы изменялись бы как функции:

t t t mt = / Cr /Cn, M = r n.

§ 1.2. Генеральное неравенство средних величин Генеральное неравенство содержит как частные случаи неравенство Коши для средних арифметического и геометрического и его реверсивный аналог для средних гармонического и геометрического, неравенство Маклорена для средних алгебраических и его реверсивный аналог и неравенство Гёльдера для средних степенных и его реверсивный аналог [3, 47]. Для спектрально положительной матрицы (для которой i > 0) определим, в частности, арифметическую, геометрическую и гармоническую медианы:

m1 = tr B /n = M1, (14) n mn = det B = vn, (15) -. (16) v1 = (tr B-1/ n) = VЕсли В = АА, где А есть nm-матрица и, в частности, А = а есть nl-вектор, то арифметическая медиана выражается через нормы Фробениуса и Евклида как ||A||F2, n · m1(B) = tr B = ||a||E2.

Для спектрально положительной матрицы (i > 0) в соответствии с вышеуказанным генеральным неравенством справедливы оценки:

max‹in› tr Bn n (tr B n)n det B (tr B-1 n)-n (tr B-n n)-1 min ‹in›. (17) / / / / Дефекты этих неравенств тем меньше, чем ближе друг к другу все собственные значения матрицы. Равенство имеет место тогда и только тогда, когда матрица прямо пропорциональна единичной матрице. Очевидно, что предельные медианы совпадают с крайними собственными значениями:

max ‹ i› = lim M, (18) min ‹ i› = lim V. (19) Далее рассмотрим доказательство сформулированного выше генерального неравенства средних величин в целом и его анализ.

Воспользуемся дифференциальным методом изучения экстремума.

Определим скалярные функции для разности и для отношения соответствующих средних величин из совокупности n положительных чисел xi (i = 1,n ), задающих радиус-вектор x = (x1, …, xn) в первом квадранте:

20 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов t r (x) = mt(x) - mt + 1(x), t + r (x) = m1(x) - mn(x), n t f (x) = mt(x) mt + 1(x), / t + f (x) = m1(x) mn(x), / n + R (x) = M + 1(x) - M(x), R (x) = M(x) - M1(x), + F (x) = M + 1(x) M(x), / F (x) = M(x) M1(x).

/ Функции r и R, а также f и F имеют общее и единственное стационарное значение с аргументом-решением в форме центрального луча ‹b› – биссектрисы первого квадранта, соответствующее их нулевому градиенту:

r(b) = f (b) = R(b) = F(b) = 0, где b – любая точка этой биссектрисы, то есть это решение x1 = … = xn = b;

r(b) = R(b) = 0, f(b) = F(b) = l.

Функции принимают минимальные значения, так как матрицы Гессе точно на биссектрисе-решении – положительно полуопределённые ранга (n - 1):

t 1 t r (b) = (n - 1)·r (b) = b·f (b) = b·(n - 1)·f (b) = n t + n t + n·I– It + 1 + = R (b) = 1/( 1)·R (b) = b·F (b) = b/( 1)·F (b) = = G, 1 n2·b § 1.2. Генеральное неравенство средних величин где It есть тотально-единичная матрица, все элементы которой рав- ны 1. Детерминанты главных миноров матрицы G порядка r :

r 1 n – r > 0 при r < n.

n·b n Матрица Гессе вырождена вдоль биссектрисы – линейного подпространства размерности 1. Учитывая вышеуказанные стационарные значения функций, получаем:

t t r, f (b) = m · r, f (b);

t + m t + + + m R, F (b) = m · R, F (b).

Этот анализ показывает, что на биссектрисе-решении ‹b›, во-первых, матрицы Гессе отношений соседних средних величин не зависят от порядка; во-вторых, они изменяются аддитивно с ростом интервала между порядками; в-третьих, они совпадают для функций отношений между соседними средними степенными и отношения между средними арифметическим и геометрическим. Для отношений соседних средних алгебраических эта же матрица делится на (n - 1) равных частей. Но самое парадоксальное заключается в том, что матрица Гессе для функции отношения между средним степенным и средним арифметическим на биссектрисе неограниченно возрастает пропорционально порядку.

Хотя при в силу (18) эта же функция F стремится к отношению xmax, изменяется непрерывно и на биссектрисе равна 1 (минимуму).

/M Кроме того, матрица Гессе для функции отношения соседних средних степенных на биссектрисе даже при сохраняет постоянное значение. Хотя в силу (18) эта же функция F стремится к 1 независимо от аргумента, то есть к константе, для которой градиент и матрица Гессе нулевые. Эти, казалось бы, противоречивые факты объясняются влиянием соотношения бесконечно малого (отклонения аргумента от биссектрисы) и бесконечно большого (параметра ). Вследствие чего в окрестности биссектрисы матрица Гессе терпит разрыв и становится нулевой. В свою очередь, функция F (x) при имеет постоянное значение 1, но с точностью до бесконечно малой зависит от аргумента, принимая абсолютный минимум (1) на биссектрисе, где + F (x) принимает сразу же это минимальное значение.

22 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов Более наглядно указанные закономерности можно продемонстрировать на модельной функции от одного скалярного аргумента, например:

+ + 1 + x + 1 1 + x F1 (x) =, 2 1 + x 1 + x F2 (x) = (при x > 0, 2).

1 2 Здесь х 1 играет роль аргумента и максимального элемента из выборки ‹1, x›. При конечном :

F1(1) = F2(1) = 1 = min, F2(x) > F1(x) > 1;

d F1 d F(1) = (1) = 0;

dx dx d2 F2 d2 F2 d2 Fd2 F1 – dx2 dxdx2 (1) = 4, (1) = 4, dx2 (x) (x) > 0.

При бесконечном :

F1(х) = 1 + (х), (х) 0, (1) = 0; F2(1) = 1 = min, x > 1 2x (1 + x), / F2 = x < 1 2 (1 + x);

/ d F 1 d F2 d F(x) = 0, (1) = 0, (1 ± ) = ± ( 0);

dx dx dx d2 F1 x > d2 F1 dx2 (1) = 4, dx2 x < 1 = 0, d2 F2 – 1 d2 Fdx2 (1) = 4, dx2 (1 ± ) = 0 ( 0).

Ввиду разрыва матрицы Гессе в окрестности биссектрисы можно сделать вывод, что трёхвалентная симметричная матрица третьих производных при должна быть на биссектрисе бесконечной, но в отрицательной области. Отметим также, что для аналогичных функций реверсивных средних величин все вышеизложенные закономерности остаются в силе, но знак перед матрицами Гессе меняется на противоположный, а формальный их вид сохраняется. То же происходит, если в функциях отношений средних величин поменять местами числитель и знаменатель. Таким образом, с учётом предельных формул § 1.3. Предельный метод решения векового уравнения (18) и (19), доказательство и анализ генерального неравенства средних величин нами завершён. Далее рассмотрим отдельные возможности его применения в теории решений алгебраических уравнений, в том числе векового уравнения квадратной матрицы.

§ 1.3. Предельный метод решения векового уравнения с вещественными корнями Малые и большие медианы связаны системой модифицированных уравнений Ньютона и модифицированной рекуррентной формулой Варинга – Леверье, например прямого типа – аналог формулы (2), где при t > r mt = 0:

t - 1 t - t - 1 - 2 Сn - 1 (mt)t = Сn (mt - 1)t - 1 · (M1) – Сn (mt - 2)t · (M2) + … 1 - 1 - … + (– 1)t - 2 Сn (m1)1 · (Mt - 1)t + (– 1)t (Mt)t, t - 1 t - 1 t - 1 - где Сn - 1 = Сn – Сn + … + (– 1)t - 2 Сn + (– 1)t.

Предельные формулы (18) и (19) могут использоваться для последовательного вычисления всех корней алгебраического уравнения при условии, что все они – вещественные. Кратность каждого корня может находиться в процессе сокращения. Однако целесообразно предварительно отделить кратные корни, используя 1-ю производную и алгоритм Евклида. С применением метода Штурма и априорных границ вещественных корней ( ) устанавливают их вещественность. Кроме того, вещественные корни уравнения, как известно, удовлетворяют неравенству для знакопеременной формы уравнения [27, с. 40]:

hh[- 1 - – min kj ] = (-) < i < (+) = [1 + – min (- 1)j · kj ], где (-) – граница отрицательных корней, (+) – граница положительных корней, h1 и h2 – индексы первых отрицательных коэффициентов kj и j (- 1) · kj.

Предельный метод решения алгебраического уравнения сводится к следующему. Пусть уже известно, что корни уравнения – вещественные неотрицательные числа. В частности, это суть собственные значения положительной матрицы типа АА. Первый этап – вычисление сумм Виета и характеристических сумм Варинга вплоть до порядка r.

Например, для матриц используется рекуррентная формула Варинга – Леверье прямого типа (2), а для самостоятельного уравнения обратного типа, которая при > r имеет вид:

24 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов S = s1· S - 1 - s2· S - 2 + … + (- 1)r - 2·sr - 1· S - r + 1 + (- 1)r - 1 ·sr· S - r = = F(S1, …, Sr ) = f(s1, …, sr), = r + 1, r + 2, ….

Откуда далее последовательно вычисляются средние степенные:

M = S r.

/ Причём приближение к цели идёт именно снизу, согласно неравенству (10). Очевидно, что скорость процесса тем выше, чем более различны корни уравнения между собой. Подставив в вышеуказанную рекуррентную формулу предельное значение (18) и сократив общий множитель x – n, получим исходное уравнение как тождество.

Именно поэтому на каком-то этапе вычисления обрываются из-за неминуемой ошибки округления. Так находится максимальный корень.

Минимальный ненулевой корень, согласно (19), можно вычислять аналогично, используя реверсивную форму алгебраического уравнения, то есть поделив исходное уравнение на xn и старший коэффициент a.

n Если корни уравнения – точные рациональные числа, то в процессе последовательного приближения у результата неизбежно появляются цифровые периоды после некоторой значащей цифры. Исходя из этого вычисляется точное значение корня с проверкой по заданному уравнению. Иррациональные корни вычисляются с задаваемой степенью точности. Таким образом, применяя соответствующий алгоритм, последовательно находят все корни алгебраического уравнения. Обратим внимание на то, что изложенный метод, близкий по идее к методу Лобачевского – Греффе (1834г), по сути, имеет глобальный характер.

Все исходные расчётные характеристики в нём строго предопределены.

Если же уравнение имеет вещественные знаконеопределённые корни, то вначале сместим аргумент, например, в область положительных корней, но, по возможности, меньше – для большей скорости сходимости. Априори, как известно, вещественные собственные значения имеют вещественные симметричные матрицы S = S и мнимые кососимметричные матрицы (iК) = – iK, где К = – К вещественные.

Для вещественной В это могут быть соответствующие характеристические матрицы:

SB = (B + B) 2, KB = (B – B) 2 (B = SB + KB).

/ / В случае SB·KB = KB·SB В ‹ М› – нормальная матрица.

Тогда они вместе приводятся к диагональной форме. Их собственные § 1.3. Предельный метод решения векового уравнения значения суммируются для суммы этих матриц. Следовательно, решая отдельные уравнения для SM и – iKM (последнее – биквадратное), можно получить также отдельно вещественные и сопряжённые мнимые части комплексных собственных значений матрицы М. Далее остаётся сделать подбор соответствующих пар путём проверки на вековом уравнении для М.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.