WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 43 |

d v* d2 d =*() = = = c d sh ch = ch = = g g () > g (). (82А) d d 2 = c d d Оно больше внутреннего ускорения, ввиду того что в (80А) дифференциал d2 x(m) (как x(m) и dx(m) ) релятивистски сокращён в сравнении с собственной величиной d2 x(1). Координатное ускорение в 1 с учётом (78А), (80А) наоборот меньше внутреннего:

d v d2 d th d =(1) g (t (1)) = = = c = c sch2 = d t(1) d t(1)2 d t(1) d t(1) d = = c sch3 = sch3 g [(t)(1)] < g [(t)(1)]. (83А) = d В изучаемых инвариантах движения в качестве временных параметров используются сt(1) и c. Инварианты движения синхронны в универсальном базисе 1, если они фиксируются в нём одновременно по обоим хронометрам. Соотношения одновременности исходя из проецирования времени параллельно ‹E ›(1) в дифференциальной и имеют вид интегральной формах в 1 :

d c = sch d ct(1), ct(1) (84A) c = sch d ct(1) ;

d ct(1) = ch d c, c (85A) ct(1) = ch d c.

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений Они получаются срезом параллельно оси x(1) =. Собственное время c, согласно (84A), есть псевдоевклидова длина дуги мировой линии. При интегральном движении (также коллинеарном) угол и скорость v изменяются непрерывно. В частности, при равномерно = = ускоренном движении g() = g = const. С учётом (80А), (84А) имеем:

= = d = g /c d R d = d c, (86A) = = = = g /c R g = c ( g = const);

= d sh = g /c d t(1) R d sh = d ct(1), (87A) = = = sh = g /c t(1) R sh = ct(1) ( g = const).

d Причём = 1/c g () – гиперболическая угловая псевдоскорость, = d = = R = c2/ g – радиус гиперболической кривизны (в том числе как мгновенные характеристики). Теперь указанные соотношения одновременности для равномерно ускоренного движения в 1 можно выразить через временные аргументы:

= = d c = d ct(1)/ 1 + [ g t(1)/c]2 = d ct(1)/ 1 + [c t(1)/R]2, = = (88A) = = c = c2 /g Arsh (g t(1)/c) = R Arsh (c t(1)/R) ;

= = d ct(1) = ch (g /c) d c = ch (c /R) d ct, (89А) = = = sh (g/c) = Rsh (c/R);

= ct(1) = c2/ g (t(1)/ = sh /).

Продолжим изучение прямолинейного равномерно ускоренного движения. Координатная и собственная скорости такого движения – функции координатного времени, но они выражаются синхронно в 1 и через собственное время:

= = = = = v = vt(t(1)) = c th = g t(1)/ 1 + [ g t(1)/c]2 v() = c th (g /c) < g < g t(1), (90А) = = = v* = v*() = c sh = c sh (g /c) vt*(t(1)) = g t(1) > g. (91А) Эти неравенства имеют тригонометрическую природу: th < < sh.

Собственное расстояние как функция времени по хронометру наблюдателя N1 имеет вид:

t(1) = = = = t(t(1)) = vt(t(1))dt(1) = R (ch - 1) = R ( 1 + [ ct(1) /R]2 - 1). (92А) 228 Приложение. Тригонометрические модели движений Неявным образом функциональная связь между и ct(1) устанавливается через cоотношения:

= ct(1) = R sh, (93A) = = R (сh - 1).

Как из (92А), так и из (93А) выводится гиперболическое кинематическое уравнение для описания равномерно ускоренного движения в координатах 1 = ‹, ct(1)›:

= + R = сh R = ct(1) = = = ( + R)2 - (ct(1))2 = R2, = R = сh - 1 = sh = const. (94А) ct(1) = sh R С точки зрения геометрии Минковского это уравнение задаёт псевдо= = окружность вещественного радиуса R = c2/ g в ‹P 3+1›, а в аффинном смысле – гиперболу. Её траектория имеет постоянную гиперболи = = ческую кривизну K = 1/R. В СТО данный тип движения поэтому именуется как гиперболическое. Это простейший тип коллинеарного интегрального движения. Кинематическая гипербола занимает промежуточное положение между нерелятивистской кинематической параболой от t(1) и изотропной прямой светового луча, исходящей из точки O [рис. 2А (3)]:

= = R + ct(1) < = (t(1)) < g t(1) /2 (sh < ch < ch2 ). (95А) t То же собственное расстояние как функция времени по хронометру наблюдателя Nm имеет вид:

= = = * = () = v () d = R (ch - 1) = R [ch (c /R) - 1]. (96А) Это уравнение гиперболической косинусоиды (цепной линии), представленное в специальных собственных квазидекартовых координатах = ‹, c› [(рис. 2A (4)]. Прямолинейная ось c здесь получается из гиперболической c в 1 спрямлением и сферической ортогонализацией по отношению к собственному евклидову 3 подпространству ‹E ›(1) ‹ ›, то есть в данном случае к оси.

Формально это осуществляется преобразованием мгновенных характеристических углов движения по сферическо-гиперболической аналогии конкретного синус-тангенсового типа (§ 6.2):

tg () sh, sin () th.

В таких квазидекартовых координатах тангенс угла наклона мировой линии (по отношению к стреле собственного времени) определяет тригонометрически собственную скорость объекта, согласно (76А).

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений Сферический угол движения в базисе заключается в пределах от 0 до /2. Специальное квазиевклидово пространство определяется здесь как прямая сферически квазиортогональная сумма собственного евклидова подпространства ‹E ›(1) ‹ 3› и преобразованной по синустангенсной аналогии спрямлённой стрелы собственного времени c:

3 + 1 ‹ › ‹ › c. (97А) На рис. 2А (2) и (4) представлены варианты как для исходной прямолинейной, так и для исходной гиперболической стрелы собственного времени. В последнем случае есть неинерциальная система. Мировая линия в этом координатном пространстве описывает движение наблюдателя N1 в обратном направлении.

Ранее, когда формально использовалась эта аналогия, преобразование самого пространства не осуществлялось. Теперь же перекрёстные подпространства подвергнуты сферической квазиортогонализации;

общий угол наклона стал истинным: () (), где tg sin.

R R Но правило суммирования согласованных углов, по-прежнему, распространяется только на гиперболические углы:

[cos (13) 13] = [cos (12) 12 + cos (23) 23] (98А) (cos (13) 13 cos (12) 12 + cos (23) 23), где cos = ± 1.

Мировая линия в специальном квазиевклидовом пространстве имеет квазиевклидову протяжённость – времениподобный инвариант преобразования defh Г rot (Г), аналогично пространствуподобному инварианту (57А):

d ct(1) = d c2 + d2 = (cos d ct(1))2 + (sin d ct(1))2 (99А) (sch d ct(1))2 + (th d ct(1))2 = const.

Равномерное прямолинейное движение описывается прямой с углом наклона = () = const как бы в обычном квазиевклидовом пространстве (гл.8А). Равномерно ускоренное прямолинейное движение описывается косинусоидой (96А). Для него при неуклонном возрастании времени собственное расстояние стремится сверху к функции = = f (с) = R (1/2 exp с/ R - 1).

В собственном квазидекартовом базисе кинематическая косинусоида располагается ниже нерелятивистской кинематической параболы от и фокальной касательной, но выше касательной окружности [рис. 2А (4)]:

230 Приложение. Тригонометрические модели движений = g /2 < = = = () < R - R 2 - (c)2, (100А) - k R + c = где справа |c| |R|, причём k = + 1 - 2 0,467; = Arsh 1 0.881.

Имеем тригонометрический эквивалент этого неравенства:

2/2 < ch - 1 < 1 - 1 - 2, где справа || 1.

Отметим, что в псевдодекартовом и квазидекартовом базисах мировые линии равномерно ускоренного движения располагаются по разным сторонам относительно кинематической параболы. При угле движения F = ( (F) = /4) собственная скорость v* достигает значения «с» и далее преодолевает его при > ( () > /4). Для кинематической гиперболы этот угол соответствует фокусу. Фокальное значение координатной скорости составляет vF = c sch = c / 2.

Координаты фокальной точки в обоих базисах (в псевдоплоскости и в квазиплоскости) выражаются через гиперболический радиус в виде:

= F = ( 2 - 1) R 0,41 R ;

= = = = ctF(1) = R, cF = R 0,881 R.

Гиперболическое движение характеризуется также постоянной гиперболической угловой псевдоскоростью:

k d = = = = c /R = g /c. (101А) d Ось гиперболической ротации в этом случае пространствуподобна, псевдоевклидово ортогональна псевдоплоскости ротации и проходит через центр О [рис. 2А (3)]. Фокальные касательные соответствуют скоростям vF и vF* = с, а также углам наклона и () = /4. Используемая в формулах СТО скорость света – координатная характеристика.

* Собственная скорость света в вакууме с бесконечна.

Классический принцип соответствия в математической трактовке здесь проявляется в том, что кинематические гипербола и парабола в точке О1 [рис. 2А (3)] имеют одну и ту же касательную окружность радиуса R. Это тождественно тому, что три указанные кривые в точке О1 имеют одинаковые производные первого (в данном случае нулевые) и второго порядка. Следовательно, кинематическая парабола, аппроксимирующая гиперболу в окрестности начальной точки О(в нерелятивистской области), имеет тождественный “параболический радиус” в координатах Минковского исходя из соотношения:

2 2 = = g t(1) /2 = [c t(1)] /2R.

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений * * * В тригонометрической форме представляются и динамические релятивистские характеристики. С использованием дифференциальных соотношений одновременности (84А), (85А) для общего случая поступательного физического движения материального тела устанавливаются тригонометрические скалярные, векторные и тензорные координатные отображения для его инерционной массы, импульса и энергии с точки зрения наблюдателя в исходном универсальном базиса 1. При математическом описании поступательного физического движения материального тела последнее сводится к таковому для его центра массы как некоторой абстрактной материальной точки. Согласно 2-му закону механики Ньютона, имеем:

(m) [ ] dp(m) F = F() = m0 d = = = m0 g() = m0c = m0c dv d m0v(m) g () d d d с d ( ch d d (m0 csh ) d [(ch m0) th c)] d (mv) d p m0c = = = = Ft(t(1)).

dt(1) dt(1) = dt(1) dt(1) dt(1) (Причём в первой вышеуказанной форме только для мгновенного собственного псевдодекартового базиса, где m = m0 = const.) Это ковариантная форма 2-го закона Ньютона, где одна и та же собственная сила F в системах 1 и m определяется исходя из одновременности, согласно (84A), (85А), в одной и той же мировой точке массы М.

Мощность от действия собственной силы также в форме механики Ньютона в 1 выражается в виде:

ch d d (m0 c2 d (mc2) d E сh ) N = F v = m0c v = dt(1) dt(1) = dt(1) = dt(1).

(Оба уравнения в физической форме впервые получены Пуанкаре [39].) Отсюда далее в 1 определяются скалярные значения релятивистских динамических характеристик: полной массы m = ch m0, кинематического импульса p = mv = m0v* = sh m0c = sh P0, полного импульса P = mc = ch P0 и полной энергии E = mc2 = ch m0c2 = = ch E0. Следовательно, скалярные значения полных массы, импульса и энергии суть косинусные гиперболические проекции собственных характеристик:

* m = ch m0 = m02 + (p /c)2 m0 + m0v /2c2 m0 + m0v2/2c2, * mc = P = ch P0 = P02 + p P0 + m0v /2c P0 + m0v2/2c, * mc2 = E = ch E0 = E02 + (p c)2 E0 + m0v /2 E0 + m0v2/2.

232 Приложение. Тригонометрические модели движений Причём первые приближённые значения ограничивают характеристики сверху, а вторые – снизу, что следует из тригонометрического неравенства 1 + th2 /2 < ch < 1 + sh2 /2.

Указанные три релятивистские полные характеристики имеют одинаковое теоретическое значение, так как они прямо пропорциональны друг другу. В состоянии относительного покоя (при р = 0) любой материальный объект имеет собственный импульс P0 = m0c и собственную эйнштейнову энергию E0 = m0c2. Происхождение этой пары динамических характеристик материального тела (в состоянии относительного покоя) может объяснить постулат, согласно которому все материальные объекты совершают перманентное движение в ‹P 3+1› вдоль своих мировых линий с постоянной псевдоскоростью «с».

(Подробнее это обсуждается в последней главе 10А.) К вышеуказанным скалярным значениям динамических характеристик привели изначальные законы классической механики Ньютона, записанные с учётом релятивистского сложения скорости физического движения. В тригонометрической трактовке понятию “физическая скорость” отвечают гиперболический угол движения и его тригонометрические функции.

Но последние в релятивистском смысле имеют тензорный характер.

3+Они представляются в ‹P › как двухвалентные тензоры в целом и как одновалентные тензоры – векторы в виде смешанных проекций.

Следовательно, для тех же динамических характеристик в теории относительности наряду со скалярными существуют векторные и тензорные формы, получаемые соответствующей модификацией вышеприведённых уравнений механики Ньютона. Матрица гиперболического ротационного преобразования (364), (31А) в 1 имеет вид:

roth Г ch ee + ee sh e · ·.

sh e ch · Это гиперболически ортогональный тригонометрический тензор движения. Если вышеуказанный материальный объект с точки зрения наблюдателя в исходном универсальном базисе 1 совершает поступательное физическое движение с мгновенной скоростью * * v = v e = c th = c th e или v = v e = c sh = c sh e, то в том же базисе определяются три мгновенных сопутствующих тензора:

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений тензор полной инерционной массы, тензор полного импульса и тензор полной энергии (плюс их смешанные векторные проекции):

Tm = m0 roth Г, p/c = m0 sh e, Tp = m0c roth Г, p = m0c sh e = m0v* = mv, TE = m0c2 roth Г, pc = m0c2 sh e.

Например, последний из указанных известен как тензор энергииимпульса. В физической форме в 1 он определяется в виде * E ee + E0 ee p c mc2 ee + m0c2 ee v m0c· · · · · · =.

* p c E v m0c2 mc· · В свою очередь, этот 44-тензор проективно расщепляется (§ 11.3) на 33-тензор (проекция на евклидово подпространство ‹E ›(1)), скаляр (проекция на стрелу времени сt(1)) и пару сопряжённых векторов (смешанные проекции). В мгновенном собственном базисе этот двух- валентный тензор является абсолютным инвариантом E0 I = m0c2 I.

C другой стороны, физические характеристики, подвергаемые лоренцеву сокращению, вычисляются в 1 через деформационную матрицу-тензор (365), (31А), которая в нём имеет вид:

defh Г sch ee + ee – th e · ·.

+ th e sch · По существу это есть сферически квазиортогональный тензор деформации в 1. Отметим, что релятивистское возрастание массы движущегося тела имеет также чисто кажущуюся – координатную природу. С учётом лоренцева сокращения объёма (40А) формальная координатная плотность тела возрастает ещё более. Но это вовсе не означает, что на тело в движении действуют какие-либо дополнительные сжимающие силы. Последние как собственные определялись бы одинаково в любых инерциальных системах отсчёта, в том числе в мгновенном базисе m. В тригонометрической трактовке СТО все релятивистские преобразования физических величин определяются операциями с вышеуказанными тензорами движения и деформации.

Pages:     | 1 |   ...   | 27 | 28 || 30 | 31 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.