WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 43 |

j,i) ct( = l th ij. (61А) В классической кинематике его бы не было. Конечно, в обоих случаях одновременность трактуется по Эйнштейну, чтобы не учитывать время распространения света от одного конца стержня к другому. Это релятивистский эффект неодновременности встречи начала и конца двух равноценных стержней (коллинеарных и соосных направлению движения). Он обусловлен тем, что движущееся евклидово пространство претерпевает гиперболическую ротацию (как и стрела времени), а вместе с ним и стержень. Формула (61А) выражает эксцесс времени для случая, когда один из стержней покоится, а другой движется. Если сопоставить друг против друга равноценные точки этих стержней, то контакт пар точек при встрече стержней распространяется в системе j j) вдоль оси x( слева направо со сверхсветовой скоростью:

j,i) w = l t( = c cth ij = c2/v > c. (62А) 0 / Понятно, что в классической кинематике все эти пары точек встречаются одновременно.

В квазиплоскости гиперболической деформации, тождественной псевдоплоскости гиперболической ротации, рассматриваемая задача сводится к решению плоского “внешнего” гиперболически (i, j) прямоугольного треугольника (§ 6.4), в котором l – гипотенуза «g», j,i) l – катет «a» и ct( – катет «b» (см. рис. 1А).

Заметим, что в произведениях (46А)–(48А) деформационная гиперболическая матрица действует формально в усечённом виде, а именно только своими тремя верхними строками. (Сравним это с аналогичным замечанием в гл. 5А для ротационного преобразования координат.) Вызвано это тем, что исходные линейные элементы (линеоры) параллельны собственному евклидову подпространству.

Результат лоренцева сокращения движущегося векторного элемента выражается в векторном виде формулой (49A), а в скалярном виде Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости формулой (54A). В перекрёстном базисе для двух векторов имеем:

i, j j) j) j) j) j) j) j) cos 12(i, = [g1(i, ] g2(i, /||g1(i, || ||g2(i, || = [e1(i, ] e2(i,.

Здесь используется обычное выражение для косинуса скалярного угла между векторами-фиксациями в евклидовом подпространстве ‹E3›(i).

Применив к этому выражению ранее полученное соотношение (54А), в итоге получаем релятивистский вариант формулы для косинуса угла между двумя вместе движущимися векторными элементами:

j) cos 12( – cos 1 cos 2 th j) –1 < cos 12(i, = < +1 (63A) 1 – cos2 1 th2 1 – cos2 2 thj) (0 < 12(i, < + ), j) где 12(i, – скалярный угол между данными векторами, измеряемый наблюдателем Ni. Заметим, что исходная пара векторов и вектор антискорости составляют некоторую тройку векторов в евклидовом пространстве ‹E3›( j). Согласно неравенству Адамара, для определителя Грама имеем:

0 det {[e1 e2 e3] [e1 e2 e3]} = s1232 1. (64A) Отсюда следует тригонометрическое неравенство 2cos 12 cos 13 cos 23 cos2 12 + cos2 13 + cos2 1 + 2cos 12 cos 13 cos 23.

В данном случае 13 = 1, 23 = 2, 12 = 12. С учётом этого и дополнительного условия th2 < 1 неравенство (63A) получает строгое обоснование. Если исходный угол между векторами прямой (cos 12( j) = 0), то новый угол либо острый (cos 1 cos 2 < 0), либо j) тупой (cos 1 cos 2 > 0). Если же 12( j) = 0, то 1 = 2 и 12(i, = 0.

Если оба вектора ортогональны вектору антискорости, а следовательно, и сам угол тоже, то в таком случае, конечно, релятивистский эффект j) j) изменения угла отсутствует: cos 1 = cos 2 = 0 12(i, = 12(. Если же один из векторов коллинеарен вектору антискорости, то тогда |cos 12| уменьшается. При этом тупой угол уменьшается, а острый увеличивается:

1 – thj) j) j) 0 < cos 12(i, = cos 12( < cos 12(. (65A) j) 1 – cos2 12( th220 Приложение. Тригонометрические модели движений Релятивистская площадь параллелограмма, образуемого движущимися векторами, составляет:

j) (i, j) (i, j) j) S12(i, = l l sin 12(i, = 1 j) S12( j) j) = j) sin2 12( - (cos2 1 + cos2 2 - 2cos 12( cos 1 cos 2) th2. (66A) sin 12( Диагонали движущегося параллелограмма подвержены лоренцеву сокращению, если при этом они не ортогональны вектору антискорости.

В общем случае имеем следующие релятивистские значения для длин диагоналей (первой и второй):

j) j) ( j) ( j) [L(i, ]1,22 = [L( ]1,22 - [l cos 1 ± l cos 2]2 th2. (67А) 1 Объём параллелепипеда, как и любого другого тела, уменьшается прямо пропорционально секансу гиперболического угла движения.

Учтя дополнительно (64А) и (54А), вычисляем синусную норму движущегося трёхмерного линеорного угла:

j) s123( sch j) 0 < s123(i, = < 1. (68А) 1 – cos2 1 th2 1 – cos2 2 th2 1 – cos2 3 th Неравенство нетрудно доказать, выразив ту же синусную норму через (63А) и (64А):

j) j) j) j) j) [s123(i, ]2 = 1 + 2 cos 12(i, cos 13(i, cos 23(i, - cos2 12(i, j) j) - cos2 13(i, - cos2 23(i,.

Глава 5А. Тригонометрические модели коллинеарных двух-, многоступенчатых и интегральных движений в СТО и в гиперболической геометрии Рассмотрим тригонометрическую интерпретацию суммирования коллинеарных физических движений. В этой главе, как правило, скорости и ускорения фигурируют в скалярной форме. Релятивистский закон сложения скоростей Пуанкаре - Эйнштейна для случая их коллинеарности имеет простую гиперболическую интерпретацию в форме согласованной двухступенчатой ротации (486):

roth Г13 = roth Г12 roth Г23 = roth (Г12 + Г23);

cos (13) 13 = cos (12) 12 + cos (23) 23 (cos = ±1, > 0), (69А) th [cos (13) 13] = th [cos (12) 12 + cos (23) 23], (70А) v13 = c th [Arth v12 с + Arth v23 с] = (v12 + v23) (1 + v12 v23 с2) / / / / (v12 v23 > 0 |v13| < |v12| + |v23|, v12 v23 < 0 |v13| > ||v12| – |v23||).

Гиперболическая форма данного закона впервые была установлена Зоммерфельдом с геометрической интерпретацией на сфере мнимого радиуса [37, c. 111; 62]. В свете вышеизложенного последняя есть гиперболоид II Минковского (§ 12.1). По существу это есть правило суммирования тангенсных проекций согласованных гиперболических отрезков. Релятивистский закон сложения нескольких коллинеарных скоростей в тригонометрической форме выражается в многоступенчатой интерпретации в виде:

m cos = cos (t) (t) (cos = ± 1, > 0), (71А) t = m v = c th Arth vt с. (72А) / t = Термин “коллинеарность” здесь довольно условен и означает только то, что векторы частных скоростей всегда коллинеарны собственной оси x(t) в пределах одной и той же псевдоплоскости ‹x, ct›. При этом безразлично, в каких конкретных точках мировой траектории 222 Приложение. Тригонометрические модели движений осуществляются элементарные акты суммирования скоростей. Но обязательно то, чтобы сама мировая линия оставалась всегда в пределах этой псевдоплоскости. В частности, скорости могут суммироваться интегрально вдоль мировой линии при движении с ускорением.

Аналогично, в пространстве-времени Минковского или Лагранжа прямолинейное физическое движение определяется такой мировой линией, которая располагается в пределах одной и той же псевдоплоскости. Отсюда видна условность термина “прямолинейное движение” для этих пространств событий. Проекция такой криволинейной мировой траектории параллельно любой мгновенной оси собственного времени на собственное евклидово подпространство есть прямая линия со своим направляющим вектором. (В частности, последнее может относиться к.

универсальному базису 1 ) В тригонометрической версии СТО определяется характеристический гиперболический угол движения как угол наклона мировой линии к стреле времени (рис. 2А). Он относителен, как и последняя.

Если особо не оговорено, то отсчитывается в универсальном базисе относительно сt(1). Угол движения ij и любые его функции есть относительные инварианты. Для прямой мировой линии относительная скорость между наблюдателями N1 и N2 определяется гиперболическим тангенсом угла движения с двух противоположных точек зрения [рис. 2A (1)]:

th 12 = v12 с = x(1) ct(1) = ( x(1) ) ct(1) ) = / / sch /( sch = - x(2) ct(2) = - th 21 (73А) / (x(1) =, ct(2) = c – собственные координаты).

То же имеет место при прямолинейном физическом движении с ускорением (замедлением). С каждой точкой его мировой линии связан мгновенный псевдодекартов базис с учётом вектора параллельного переноса центра координат в эту точку:

m = roth Г 1 = F1(, e ) 1. (74А) Гиперболический тангенс, определяющий скорость физического :

движения, выражается двояко - с точек зрения наблюдателей N1 и Nm (m) d x(1) = d x(1) sch d x(m) th = v = d sch = - d x = - d c. (75А) c d ct (1) = d ct(1) d ct(1) d ct(m) За собственное (истинное) расстояние здесь принимается координата x(1), то есть неподвижная в исходном универсальном базисе 1.

Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений 1+‹P1+1› ‹ › «E1+1» tg R th sin ct(1) c c ct(1) v* < c v* > c x(2) x(2) c () < /O1 ~ R() < /4 O (1) (2) 2c = 2ct(1) - 2 2ct(1) = 2c - (3) (4) v* > c v* < c cR sh tg c ct(1) vF = c/ct(m) c g2/ gt2/ () M ct(1) M ctF(1) x(m) cF /M M cRF O O1 F F O+R M RF – kR R O 2 – R dc2 = dct(1) - d2 dct(1) = dc2 - dРис. 2А. Мировые линии материальной точки М для простейших прямолинейных физических движений – равномерного (1, 2) и равномерно ускоренного (3, 4) в универсальном, собственном и сжатом базисах ( – кинематические параболы).

За собственное время здесь принимается величина t (m) (1) = = dt, то есть время, измеренное по хронометру в движу dt sch 0 щемся объекте или суббазисе m(3).

224 Приложение. Тригонометрические модели движений Криволинейная мировая траектория тождественна криволинейной t стреле собственного времени d ct(m) с [рис. 2А (3)] для движущегося объекта. Её направленная касательная ct(m), вместе с тем, есть мгновенная стрела собственного времени. В формулах (73А), (75А) при вычислении относительной скорости наблюдателей N2 или Nm используется движущаяся координата x(2) или x(m), которая в релятивистски сокращена в сравнении с собственной координатой = x(1). Аналогично, при измерении той же скорости v наблюдателем Nиспользуется координатное время t(1), которое здесь релятивистски увеличено в сравнении со временем. Поэтому вычисляемая скорость v по существу координатная. С другой стороны, собственная скорость физического движения (39A) определяется с использованием только собственных координат, а тригонометрически – через соответствующий относительный синусный инвариант:

* d x(1) d v v = = = ch th = sh >. (76А) c c d ct(m) d c Закон сложения коллинеарных собственных скоростей имеет синусную интерпретацию (хотя гиперболические углы суммируются точно также, как и ранее):

v13* = c sh [cos (13) 13] = c sh [cos (12) 12 + cos (23) 23] = (77А) = v12* 1 + v23* c)2 + v23* 1 + v12* c) ( / ( / (v12 v23 > 0 |v13*| > |v12*| + |v23*);

*v* = v 1 - / / / / / / (v c)2, v = v* 1 + (v* c)2 (1 v2 = 1 v + 1 c2), / что эквивалентно соотношению cth2 = cosсh2 + 1.

Векторы v*, sh имеют те же направляющие косинусы, что и векторы v, th, так как они получаются из одного и того же векторного параметра dx в числителе дроби.

d x(m) Заметим также, что в формуле (75А) производная задаёт d c скорость удаления N1 от Nm, где d x(m) < 0. Совершенно другой смысл d x(m) имеет производная, когда ускорение движения рассматривается d c с точки зрения мгновенной системы m. Тогда в её мгновенном начале координат M скорость (производная) нулевая. Поэтому определим в окрестности точки M криволинейной плоской мировой траектории два гиперболических угла, а именно (1) = – общий угол движения Глава 5А. Модели коллинеарных гиперболических движений в системе 1 и (m) - дополнительный угол движения в системе m, вызванный внутренним ускорением (или замедлением) движения.

Дифференциалы координатных скоростей в 1 и в m в окрестности точки М выражаются в тригонометрической форме:

d d d x(1) = d = d th = sch2 d, (78A) d ct(1) d ct(1) d x(m) d x(m) d = d = d th (m) = sch2 (m) d (m) = d (m) = d (m) = d. (79A) d ct(m) d c Причём в точке М: (m) 0, а d выражается в том же мгновенном базисе m вдоль мировой линии с постоянным e и поэтому d (m) = d. Тогда внутреннее ускорение в системе m с учётом (79A) вычисляется следующим образом:

d v(m) d2 x(m) d th (m) d = = c = c = g(). (80A) d d d d Для мгновенных систем отсчёта m в пространстве-времени Минковского СТО используется на дифференциальном уровне (с последующим интегрированием получаемых выражений). Поэтому принимается мгновенно инерциальной [8, с. 25].

логично, что m Одновременность трактуется здесь именно в универсальном базисе 1.

d x(m) Ввиду того что внутренняя скорость в окрестности точки M d исчезающе мала, объект в системе m имеет инертную массу, равную массе покоя m0. Следовательно, при действии на материальный объект в момент времени некоторой собственной силы F в направлении оси x(m) он получает в системе m внутреннее ускорение, согласно 2-му закону механики Ньютона:

g() = F()/m0. (81A) Собственная сила F, действующая в m, тождественна во всех системах отсчёта (например, для силы инерции это есть число по шкале динамометра в m(3)). Точно также и масса покоя m0 не зависит от системы отсчёта. Ввиду этого внутреннее ускорение, определяемое формулами (80A), (81A), есть абсолютный инвариант. В отличие от соответствующих относительных инвариантов эта характеристика непосредственно от (или от скорости движения) не зависит.

Значение внутреннего ускорения первично определяется каким-либо абсолютным законом, вызывающим действие собственной силы именно в точке её приложения. В силу принципа относительности для его значения безразлично: движется расчётная координата x(m) или покоится.

226 Приложение. Тригонометрические модели движений С учётом этого обстоятельства именно g() является базовым ускорением в теории относительности. Оно же однозначно определяет гиперболическую кривизну мировой линии в пространстве-времени Минковского. Причём при тангенциальном ускорении мировая линия вместе с векторными параметрами движения остаётся в пределах = одной и той же псевдоплоскости и g() || x(m). В частности, постоянное = тангенциальное внутреннее ускорение g = g задаёт равномерно ускоренное (замедленное) движение по псевдоокружности (гиперболе).

Заметим, что кинематическая гипербола всегда принадлежит собственному гиперболоиду I Минковского с общим их центром.

Впервые такой простейший тип неравномерного релятивистского движения в СТО был изучен Минковским, а затем – в работах Борна и Зоммерфельда [37, c. 111 – 114; 51, 62]. Представляют интерес ещё два типа тангенциального ускорения. Собственное ускорение в m с учётом (76А), (80А) вычисляется следующим образом:

Pages:     | 1 |   ...   | 26 | 27 || 29 | 30 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.