WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 43 |

· · · · Кинематическая характеристика v* определяется здесь как собственная скорость физического движения dx(1) v* = c sh = ; vk* = c sh k = c cos k sh. (39A) · · · · d Все четыре вектора: v, v*, th и sh – коллинеарны. Связь между проекциями гиперболического угла k из (30A) и k из (35A) видна из соотношений:

vk c = xk(1)/ct(1) = th k = sh k / ch k = sh k / ch.

/ В псевдоплоскости гиперболической ротации рассматриваемая задача сводится к решению плоского “внутреннего” гиперболически прямоугольного треугольника (§ 6.4), в котором c – гипотенуза «g», l (1) – катет «a» и ct(1) – катет «b» (см. рис. 1А).

Заметим, что в произведениях (32A), (37A) ротационная гиперболическая матрица действует формально в усечённом виде, а именно только своей нижней строкой. Вызвано это тем, что исходный линейный элемент параллелен собственной стреле времени. Очевидно, что для использования матрицы в полном виде исходный линейный элемент должен образовывать некоторый угол со стрелой времени ct(2). Это может иметь место, например, при анализе двух- и многоступенчатых движений (см. далее в гл. 5А и 7А).

Глава 3А. Эйнштейново замедление времени Тем же тригонометрическим способом устанавливается ещё одна существенная теорема СТО и геометрии Минковского. Она формулируется так: “Из всех мировых линий, соединяющих непрерыв3+но точки М и М в ‹P ›, прямолинейный отрезок ММ имеет максимально возможную псевдоевклидову длину (или собственное время)”.

t2(2) t2(2) l = sch 2md ct(2) < (2) d ct(2) = ct2(2) – ct1(2).

t1(2) tС другой стороны, минимальная (нулевая) длина таковой непрерывной мировой линии имеет место при соединении точек М и М световыми отрезками (при условии = + ). При этом всегда достаточно двух таких отрезков.

Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости как следствие деформационного гиперболического преобразования Во внешней полости изотропного конуса (рис. 1А) рассматриваются совокупности мировых точек, для которых все межточечные интервалы вещественные, или пространствуподобные. Это тождественно тому, что все мировые точки в данной совокупности принадлежат некоторому евклидову подпространству ‹E3›(i). В соответствующем ему базисе i все эти точки имеют одну и ту же временную координату на стреле времени ct(i). Этот пространствуподобный феномен есть мировая фиксация некоторого геометрического объекта (как множества точек евклидова подпространства) в ‹P 3+1›. Мировая фиксация графическим способом задаёт понятие одновременности множества мировых точек в конкретном базисе i с условием возможности её реализации для них. С другой стороны, все мировые точки из данной совокупности 3+принадлежат своим мировым линиям в ‹P ›. Для геометрического объекта евклидова подпространства, совершающего поступательное физическое движение, мировые линии всех его точек параллельны, что соответствует по направлению собственной стреле времени ct(j).

Подпространства ‹E3›(i) и ct(j) гиперболически ортогональны тогда и только тогда, когда геометрический объект находится в состоянии физического покоя в первом из них. В этом случае вышеуказанные индексы совпадают, а мировая фиксация объекта определяется как собственная.

С математической точки зрения эйнштейново (физическое) определение одновременности, применительно к пространству событий 3+Минковского, является изящной геометрической теоремой в ‹P ›.

В двумерной трактовке: “В треугольнике АВС (рис.1А), образованном пространствуподобным отрезком АВ и парой встречных световых отрезков АС и ВС, медиана и высота, опущенные из вершины С, тождественны”. Следствие: “В вышеуказанном треугольнике АВС основание и медиана принадлежат к двум одноиндексным собственным направлениям данной псевдоплоскости, то есть они гиперболически ортогональны”. В более общей четырёхмерной трактовке: “В конусе, получаемом любым эллиптическим сечением изотропного конуса, Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости медиана, опущенная из вершины С, и её трёхмерное основание гиперболически ортогональны. И обратно: высота, опущенная из вершины С, есть медиана”. Одновременность мировой фиксации как относительное понятие определяется по отношению или к какому-либо ‹E3›(k) (параллельность ему), или к какой-либо ct(k) (гиперболическая ортогональность ей).

Собственная мировая фиксация тождественна самому геометрическому объекту в состоянии физического покоя. Произвольная мировая фиксация, по определению, есть одновременный срез мировой траектории геометрического объекта в некотором заданном псевдодекартовом базисе i. Если геометрический объект физически покоится в ‹E3›(j), его мировая траектория в пространстве Минковского j) параллельна стреле времени ct(. Тогда нахождение мировой фиксации объекта в i сводится к его аффинному проецированию на ‹E3›(i) j) параллельно ct(, то есть к его проецированию в перекрёстном базисе (i) j) i, j {x, ct( } (§ 5.11). Перекрёстное проецирование в данном k случае описывается формально гиперболическим деформационным преобразованием, действующим в той же псевдоплоскости, что и ротация. Но теперь она имеет свойства квазиевклидовой плоскости, так как при данном деформационном преобразовании в ней действует квазиевклидов инвариант, или перекрёстный евклидов инвариант (§ 12.3). Геометрический объём мировой фиксации объекта имеет максимальное значение именно для собственной характеристики:

V = v(i, j)/sch = max ‹v(i, j)›. (40A) В зависимости от размерности геометрического объекта, как хорошо известно, возможны четыре варианта его мировой траектории: линия для объекта размерности 0 (точка); полоса для объекта размерности (стержень); трёх- или четырёхмерный брус для объектов размерности (треугольник, параллелограмм) или 3 (тетраэдр, параллелепипед).

Здесь используются простейшие геометрические объекты, сводимые математически к линеорам (§ 5.1). Множество всех мировых фиксаций данного объекта тождественно множеству всех пространствуподобных сечений его мировой траектории. В частности, относительно неподвижный наблюдатель N1 фиксирует стержень одновременно как проекцию на ‹E3›(1) параллельно ct(2) (рис.1А).

Мировые фиксации, как и мировые линии, или траектории, – тензорные понятия валентности 1. Для вышеуказанных простейших геометрических объектов мировая фиксация выражается либо как 41-вектор, либо как 42-линеор, либо как 43-линеор в зависимости от размерности. Если объект физически покоится в ‹E3›(j), то в j 214 Приложение. Тригонометрические модели движений определяется его собственная мировая фиксация. В базисе j объекты размерности 1, 2 и 3, приложенные в некоторой мировой точке, выражаются как элементы линейного пространства Минковского:

( j) ( j) ( j) x1 x11 x12 x11 x12 x x2 x21 x22 x21 x22 x j) j) j) a( = ; A 42( = ; A 43( =. (41А) x3 x31 x32 x31 x32 x 0 0 0 0 0 В комбинированном перекрёстном базисе j,i они те же:

j,i) j) ( j,i) ( j) ( j,i) ( j) a( = a( ; A = A ; A = A. (42А) 42 42 43 При деформационных модальных преобразованиях координат этих тензоров в другой перекрёстный базис i,j действует квазиевклидов метрический инвариант:

j) j) j) j) [a( ] a( = [a(i, ] a(i, = l = const > 0, (43А) j) j) j) j) [A( ] A( = [A(i, ] A(i, = |A|2 = Const. (44А) Этот инвариант схож с евклидовым ввиду имеющейся в ij сферическогиперболической аналогии конкретного типа (§ 6.2):

defh Гij rot Ф (Гij). (45А) Поскольку при определении мировой фиксации применяется перекрёстное проецирование, то для нахождения новых координат тензоров используется деформационная матрица с тем же гиперболическим углом, но обратная по отношению к модальной матрице, связывающей перекрёстные базисы:

j) x1(i, j) x2(i, j) j,i) a(i, = defh Гij a( =, (46А) j) x3(i, j,i) ct( j) j) x11(i, x12(i, j) j) x21(i, x22(i, j) j,i) A42(i, = defh Гij A42( =, (47А) j) j) x31(i, x32(i, j,i) j,i) ct1( ct2( Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости j) j) j) x11(i, x12(i, x13(i, j) j) j) x21(i, x22(i, x23(i, j) j,i) A43(i, = defh Гij A43( =. (48А) j) j) j) x31(i, x32(i, x33(i, j,i) j,i) j,i) ct1( ct2( ct3( Первые три строки тензоров в новом перекрёстном базисе определяют новые евклидовы характеристики (координаты) объекта в конкретной мировой фиксации. Используя каноническую структуру (365), выразим новые координаты стержня (46А) через исходные:

j) x1( – cos 1 cos l (1 – sсh ) · · · j) x2( – cos 2 cos l (1 – sсh ) · · · j) a(i, =, (49А) j) x3( – cos 3 cos l (1 – sсh ) · · · cos l th · · j) где: l = ||a( || – длина стержня в состоянии покоя; – угол между j) стержнем в состоянии покоя и вектором антискорости (– vji) = (e vij)( с направляющими косинусами в суббазисе j(3), что и у вектора vij в суббазисе i(3). Причём имеем соотношение:

j) j) j) j) j) cos 1 x1( + cos 2 x2( + cos 3 x3( = e a( = cos l a( ||. (50A) 0 = ||vv Изложенное выражает тригонометрическим образом лоренцево сокращение линеорных объектов с точки зрения преобразования их псевдодекартовых координат в состоянии относительного покоя.

Отметим ещё один релятивистcкий эффект: векторы скорости и антискорости образуют гиперболический угол ij, а не тождественны.

Если направление скорости совпадает с осью x1, то cos 1 = +1, cos 2 = cos 3 = 0; и новые координаты стержня определяются в виде:

j) 0 + sch x1( · j) x2( + j) a(i, =, (51A) j) x3( + j) 0 + th x1( · где дана разбивка на нерелятивистскую и релятивистскую части. Если же при этом ориентация стержня и вектора антискорости одинакова (cos = + 1), то имеем:

216 Приложение. Тригонометрические модели движений sch l · j) a(i, =. (52A) th l · Первая евклидова координата здесь определяется по формуле лоренцева сокращения протяжённости [37, с.109]:

j) l (i, = sch ij l = 1 - (v/c)2 l < l (53A) 0 0 0.

Нормальные относительно вектора антискорости координаты стержня не изменяются. Новые и исходные координаты стержня в (49A) и в частных случаях (51A), (52A) подчиняются квазиевклидову инварианту (43A). Просуммировав квадраты пространственных координат в (49A), получаем квадрат евклидовой длины движущегося стержня. В самом общем случае для ориентированного стержня лоренцево сокращение его евклидовой проекции-фиксации равно j) j) l (i, = || x(i, || = l cos2 sch2 ij sin2 = l 1 - cos2 th2 ij = + 0 = l 1 - cos2 (v/c)2 < l (54A) 0 0.

В соответствии с принципом Герглотца выявим её релятивистcкую и нерелятивистcкую составляющие. Часть стержня-фиксации, нормальная вектору антискорости в j3, инвариантна и является нерелятивистcкой составляющей e x( j) – e·cos l j) j) [a(i, ]inv = a( – cos l =. (55A) Вычитая из (49A) вектор (55A), получаем релятивистcкую часть e e· cos sch l j) [a(i, ]rel = = cos sch l. (56A) cos th l sh Применяя к данной евклидовой части теорему Пифагора, получаем релятивистскую составляющую квадрата евклидовой длины движущегося стержня (cos sch l )2. Аналогичным образом из (55А) и (50А) получаем нерелятивистскую составляющую (sin l )2.

Это алгебраически объясняет структуру (54А). (Она же может быть получена графическим способом.) Итак, евклидова длина движущегося стержня складывается, согласно (54А), в ортогональной сумме Герглотца в ‹E ›(i) из нерелятивистской проекции «sin l » и релятивистской Глава 4А. Лоренцево сокращение протяжённости проекции «cos sch l 0». Первая из них есть нормальная проекция стержня относительно вектора антискорости (– vij). При перекрёстном проецировании (гиперболической деформации) она инвариантна.

Поэтому данная составляющая сферически ортогональна обоим векторам скоростей: vij в ‹E3›(i) и (– vji) в ‹E3›( j). Вторая из них получается из параллельной проекции стержня перекрёстным проj) ецированием параллельно ct( на ‹E3›(i), конкретно на направление vij.

Квадрат квазиевклидовой длины стержня как в целом, так и только в его релятивистской проекции, согласно (43A), есть квадратичный метрический инвариант вне изотропного конуса, или квазиевклидов инвариант:

2 j,i) j) j,i) j) j,i) l = [l ( ]2 = ||x(i, ||2 + 2ct( = [l (i, ]2 + 2ct( = const, (57А) 2 j) j,i) j) j,i) [l ]rel2 = l cos2 = ||x(i, ||rel2 + 2ct( = [l (i, ]rel2 + 2ct( = const. (58А) 0 Инвариант (58А) приводится к тригонометрической форме (sch2 1 + sch2 2 + sch2 3 ) + th2 = ||sch2 || + th2 = sch2 + th2 = 1, (59А) где k – гиперболический угол между вектором антискорости (– vij) и осью xk в суббазисе i3; sch k = cos k sch. Это инвариант деформационных гиперболических преобразований для единичного пространствуподобного линейного элемента. Собственная длина стержня, то есть его евклидова длина в состоянии покоя, – квазиевклидов метрический инвариант в любых других перекрёстных базисах k, j, в частности, и в i, j:

(i, j) l (i, j) l = = max < l. (60А) cos2 sch2 + sinРодственная формула (54А) выражает тригонометрически релятивистский эффект лоренцева сокращения евклидовой протяжённости движущегося стержня вдоль направления его физического движения.

Данный эффект также имеет чисто координатную природу. Отметим, что эффект сокращения движущегося объекта исторически впервые установил Фитцжеральд (1892 г.).

Множество всех мировых фиксаций движущегося стержня по сути полуоткрытое, так как оно не содержит крайних сечений его мировой траектории гиперповерхностью изотропного конуса (рис. 1А).

Указанные крайние сечения имеют нулевую евклидову длину релятивистской ортопроекции, а для объектов ранга > 1 имеют нулевые евклидовы нормы порядка 1 и 2 для релятивистской составляющей 218 Приложение. Тригонометрические модели движений проекции и порядка 3 – для их объёмной фиксации в целом. Они соответствуют объектам, движущимся как бы со скоростью света.

Рассматриваемый пространствуподобный феномен в новом пере крёстном базисе, согласно (49А), имеет и временную проекцию.

i, j j) Но эта проекция относится к стреле времени ct(. Следовательно, она трактуется в системе и объясняется так. Наблюдатель Nj j воспринимает другой равноценный стержень, покоящийся на оси x(i), как укороченный с евклидовой длиной, тождественно равной (53А).

Когда в процессе движения оба стержня сойдутся, их отдельно левые и отдельно правые концы встретятся с эксцессом времени в системе j :

Pages:     | 1 |   ...   | 25 | 26 || 28 | 29 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.