WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 43 |

R 202 Приложение. Тригонометрические модели движений То есть при указанной формализации простых физических движений относительно неподвижного наблюдателя, в принципе, безразлично какую тригонометрию применять для описания – гиперболическую или сферическую. Но при формализации комбинированных физических движений, например, таковых относительно подвижного наблюдателя, многоступенчатых и интегральных движений применяется только первая. То же относится к основным движениям в гиперболической геометрии – простым и многоступечатым.

Так, например, сферический угол параллельности Лобачевского (a/R) [21, c. 186], широко используемый в гиперболической неевклидовой геометрии как угловой аргумент, имеет геометрический смысл исключительно в универсальном базисе и для простых движений в отличие от гиперболического угла-аргумента = a/R, определяемого корректно внешним образом в любом псевдодекартовом базисе:

() = /2 - () = /2 - arcsin (th ) = 2 arctg [exp (– )], (26A) d () = - sec d, где sin th tg /2 th /2, согласно (331), (356). При движении по геодезической (гиперболе) из центра гиперболоида II угол параллельности Лобачевского, выраженный в универсальном базисе, уменьшается от /2 до ().

В заключение данной вводной главы отметим, что изначальный математический подход Пуанкаре [39] является исчерпывающим для логически безупречного построения СТО. С другой стороны, изначальный физический подход Эйнштейна [48] к этому на основе известных двух постулатов таким свойством не обладает (см. о том же в работе [32, с. 42 – 44]) – равно как только из экстремума th max = 1 в любых системах отсчёта и математического принципа относительности невозможно построить гиперболическую тригонометрию. Исходя только из последних двух положений (эквивалентных постулатам Эйнштейна), в принципе, можно построить логически безупречным образом бесконечное множество тригонометрий (геометрий постоянного радиуса R) и их квазифизических изоморфизмов с псевдогёльдеровой (неквадратичной при p 2) метрикой:

|da|p = |dx1|p + |dx2|p + |dx3|p – |dx4|p (1 p ).

Задание именно псевдоевклидовой метрики (р = 2) было осуществлено Эйнштейном неявным образом при аксиоматическом определении им же понятия одновременности. (Определение одновременности по Эйнштейну есть теорема геометрии Минковского – см. в гл. 4А.) Глава 2А. Тензорная тригонометрическая модель однородных преобразований Лоренца В пространстве-времени Минковского исходные и новые координаты мировой точки в инерциальных системах I и II, согласно (21А), или в четырёхмерной форме как в 1 и в той же псевдоплоскости ротации связаны пассивным модальным ротационным преобразованием гиперболического типа:

roth (– Г) u{1} u{} ch 0 0 – sh ·cos x1(1) ch ·x1(1) – sh ·cos ·ct(1) 0 1 0 0 x2(1) x2(1) · = ;

0 0 1 0 x3(1) x3(1) – sh ·cos 0 0 ch x4(1) ch ·ct(1) – sh ·cos ·x1(1) x1 = сh x1(1) – sh cos · · ct(1) = [x1(1) – th cos · ct(1)]/sch, · · x2 = x2(1), x3 = x3(1); (27А) ct = сh ct(1) – sh cos · · x1(1) = [ct(1) – th cos · x1(1)]/sch.

· · (Тригонометрические однородные преобразования координат пространства и времени Пуанкаре – Минковского.) Здесь дополнительно используется множитель cos = ± 1, определяющий направление вектора тангенса. С учётом (24А) они же приобретают физическую форму однородных преобразований координат Лоренца [34]:

x1 = [x1(1) – v t (1)] / 1 – v2/c2, · x2 = x2(1), x3 = x3(1);

ct = [ct(1) – v/c x1(1)] / 1 – v2/c2.

· Используя гиперболическую ротационную модальную матрицу с общей канонической структурой (363) в 1, получаем генеральные тригонометрические преобразования координат в четырёхмерной форме (k = 1, 2, 3):

204 Приложение. Тригонометрические модели движений xk = cos k [ch (cos 1 x1(1) + cos 2 x2(1) + cos 3 x3(1)) – sh ct(1)] + · · · · · · + [xk(1) – cos k (cos 1 x1(1) + cos 2 x2(1) + cos 3 x3(1))], (28А) · · · · ct = ch ct(1) – sh (cos 1 x1(1) + cos 2 x2(1) + cos 3 x3(1)).

· · · · · Те же тригонометрические преобразования в векторной форме:

x = [ch ee x(1) – sh e· · ct(1)] + (I – ee) x(1) = · · · = [ee x(1) – th e· · ct(1)]/sch + ee x(1), (29A) · · ct = ch ct(1) – sh e x(1) = [ct(1) – th e x(1)]/sch, · · · · · где e = {cos k} – вектор направляющих косинусов скорости движения или вектора тангенса;

ee = ee = vv = vv/||v||2;

I – ee = ee = vv – ортопроекторы (§ 2.5) на ‹ im v› и ‹ im v›.

Генеральные тригонометрические преобразования координат (29A), если использовать сравнение с (27A), трактуются так.

Во первых, пространственная проекция x(1) в 1(3) представляется прямой суммой из релятивистской и нерелятивистской составляющей – параллельной и сферически ортогональной вектору v ‹E ›(1).

Во вторых, при гиперболической ротации базиса 1 в псевдоплоскости ‹v, ct(1)› пассивному модальному преобразованию подвергаются только времення проекция ct(1) и релятивистская составляющая пространственной проекции ee x(1). Ортогональная составляющая · ee x(1) есть инвариант преобразований Лоренца и Галилея. Далее, · ||th || = th = ||v|| c = + th2 1 + th2 2 + th2 / (при физическом движении > 0), th k = cos k th = vk c (th = th e), (30A) · / · (1) где k – частный гиперболический угол между ct и проекцией ct (1) на координатную псевдоплоскостъ ‹ xk(1), ct ›. Заметим тут же, что любые тензоры с нулевой четвёртой координатой в псевдодекартовых 3+базисах в ‹P ›, в том числе векторы тангенса и скорости физического движения, подчиняются формулам евклидовой геометрии в собственном ‹E ›; в частности, их модули и проекции удовлетворяют теореме Пифагора. Аналогичные генеральные преобразования координат пространства-времени в физической форме имеют вид:

Глава 2А. Тензорная модель преобразований Лоренца x = [ ee x(1) – v t(1)]/1 – ||v||2/c2 + ee x(1), · · · ct = [ct(1) – v x(1)/c] /1 – ||v||2/c2.

· Преобразования координат в четырёхмерной физической форме вывел Герглотц [57; 37, с. 27], используя разложение x(1) в ‹E ›(1)на релятивистскую и нерелятивистскую ортопроекции (принцип Герглотца).

Во всех вышеуказанных преобразованиях координат мировой точки применяется два вида базиса: 1 = {I} и = roth Г 1 = {roth Г}.

· Первый из них входит во множество универсальных базисов (16A). Понятие универсальный базис, очевидно, относительно. Оно привязано к конкретному наблюдателю, например, к N1 в системе 1. Напомним, что именно в 1, как правило, выражаются матрицы других псевдодекартовых базисов. Концепция универсального базиса позволяет установить отношение наблюдателя N1 к любому другому псевдодекартову базису i = T1i 1. При этом возможны 3 варианта:

· 1) T1i T1i = I i ‹rot › – другой универсальный базис, то есть с · тем же наблюдателем N1;

2) T1i = T1i i ‹roth Г› – гиперболически связанный базис с наблюдателем Ni;

3) T1i = roth Г1i rot 1i i ‹Т› – общий псевдодекартов базис с · наблюдателем Ni.

В первом варианте суббазис i(3) неподвижен относительно Nи сферически сдвинут относительно суббазиса 1(3) на угол 1i. Во втором варианте i(3) движется со скоростью v = c th относительно · N1. В третьем варианте оба эти движения реализуются формально последовательно. В двух последних вариантах, в принципе, возможно перейти к новому собственному универсальному базису, если выполнить модальное преобразование T1i–1 i = {I}. В этом новом · единичном базисе относительно неподвижен наблюдатель Ni. Но тогда и все матрицы других базисов нужно выразить именно в нём.

Специальный физико-математический принцип относительности здесь проявляется в том, что общие формулы преобразований координат в инерциальных системах ковариантны. Применяя формулы многоступенчатых преобразований (485) - (488), получаем:

j = Tij i, k = Tik i = Tij Tjk i = { Tij Tjk Tij–1} Tij i ;

· · · · · · · · u(j) = Tij–1 u(i), · – в координатах i u(k) = Tik–1 u(i) = Tjk–1 Tij–1 u(i), · · · u(k) = Tjk–1 u(j) – в координатах j.

· 206 Приложение. Тригонометрические модели движений Отсюда видно, что преобразование u(j) : u(k) выражается ковариантно наблюдателями Ni и Nj в базисах i и j. В частности, i = 1, T ‹ roth Г›.

В СТО преобразования Лоренца в активной форме трансформируют исходный псевдодекартов базис. В силу однородности и изотропности пространства-времени Минковского они имеют чисто тригонометрическую природу. В скалярной тригонометрии, в зависимости от смысла решаемой задачи, вычисляют проективные характеристики двух принципиально различных видов – либо синуснокосинусные, либо тангенсно-секансные. Аналогично, в тензорной тригонометрии применяются либо ротационные, либо деформационные тригонометрические матрицы. Причём в исходном 1 они выражены в канонических формах (363), (365). В сокращённой векторной форме записи эти матрицы представляются в виде:

roth Г defh Г ch ee + ee sh e sch ee + ee – th e · · · ·. (31A) sh e ch + th e sch · · Отметим, что термин группа преобразований Лоренца ввёл в научную терминологию (математическую и физическую) именно Пуанкаре в своих изначальных публикациях по теории относительности [39].

Преобразования Лоренца составляют существенную часть выдвинутого им ранее физического принципа относительности, как дальнейшего развития принципа относительности Галилея.

В следующих двух главах рассматривается тригонометрическая трактовка релятивистских эффектов во внутренней и во внешней полостях изотропного конуса.

Глава 3А. Эйнштейново замедление времени как следствие ротационного гиперболического преобразования Понятие “изотропный световой конус” геометрически связано с мировой линией, так как его мгновенный центр есть точка мировой линии. В ней он всегда отделяет прошлое от будущего. Мировые точки укладываются на одну и ту же мировую линию тогда и только тогда, когда все интервалы между ними мнимые, или времениподобные. Во внутренней полости конкретного изотропного конуса описываются мировые линии материальных точек, совершающих равномерное прямолинейное физическое движение, после их прохождения через общее начало координат О (рис. 1А). Эти линии образуют семейство центральных прямых внутри конуса. В качестве таковой материальной точки для протяжённого объекта выбирают его центр инерции, тождественный центру массы. Материальная точка М находится в ‹P 3+1› в состоянии относительного физического покоя в некоторой системе отсчёта 2 и в состоянии относительного физического движения в (рис.1А). Мировая линия точки М тождественна стреле времени ct(2) с точностью до параллельного переноса. Пусть оба вышеуказанных базиса связаны гиперболической ротацией: 2 = roth Г12 1.

· С точки зрения наблюдателя N1 материальная точка M физически движется в ‹E3›(1) со скоростью v12 = c th 12. В окрестности данной · точки может протекать какой-либо процесс. По хронометру наблюда(2) теля N2 этот процесс длится некоторый интервал времени t, определяемый отрезком MM с учётом масштаба по стреле времени ct(2). Это, согласно СТО, есть собственное время данного процесса = t(2), так как оно измеряется относительно неподвижным хронометром. Собственное время в движущемся объекте – абсолютная характеристика, или псевдоевклидов метрический инвариант внутри изотропного конуса. В системе 2 оно же тождественно координатному (2) времени t. Но в системе 1 координатное время того же процесса, измеряемое наблюдателем N1, определяется проекцией отрезка MM на стрелу времени ct(1) с учётом её масштаба и составляет величину (1) t [37, с.109]. Координатное время в движущемся объекте есть относительная характеристика. Например, в системе 1 оно вычисляется через ротационное модальное преобразование следующим образом:

208 Приложение. Тригонометрические модели движений ct(1) ct(2) (c) (1) g2 = b2 – a2 = const = 2 c;

ch2 – sh2 = (световой луч) a M b g (2) x(2) M C a2 = g2 + b2 = const = l B sch2 + th2 = C A a b 12 O A g B x(1) (световой луч) Рис. 1А. Скалярные тригонометрические интерпретации основных релятивистских эффектов внутри и вне изотропного конуса в псевдоплоскости гиперболической ротации:

(1) – эйнштейново замедление времени в движущемся объекте (g < b, или < t(1), или 1 < ch );

(2) – лоренцево сокращение протяжённости движущегося объекта (g < а, или x(1) < l 0, или sch < 1).

Глава 3А. Эйнштейново замедление времени (1) 0 sh 12 cos 1 c x· · 0 sh 12 cos 2 c x· · u(1) = rothГ12 u(2) = rothГ12 = =, (32A) · · 0 sh 12 cos 3 c x· · c сh 12 c ct · ct(1) = ch 12 c > c. (33A) · В рассматриваемом частном случае отрезок прямой мировой линии, соответствующий данному процессу, есть линейный тензорный элемент в форме времениподобного 4-вектора u. Его квадратичный псевдоевклидов инвариант выражается в виде:

– (c)2 = (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 – (ct)2 = const. (34A) Этот инвариант приводится к тригонометрической форме:

– 1 = (sh2 1 + sh2 2 + sh2 3) – ch2 = ||sh ||2 – ch2 = sh2 – ch2, (35A) где k – гиперболический угол между c и её ортопроекцией на координатную псевдоплоскость ‹xk, ct›; sh k = cos k sh. Это есть · инвариант преобразований Лоренца для единичного времениподобного линейного элемента. Инвариантное собственное время в каком-либо псевдодекартовом базисе выражается тригонометрически в виде:

= t /сh = min ‹ t(i)›. (36A) Для криволинейной мировой линии то же, но мгновенное ротационное преобразование применяется к её дифференциалу как к линейному элементу:

(1) 0 d x0 d xdu(1) = {roth Г}(m) du(m) = {roth Г}(m) =. (37A) 0 d xd c d ct Элемент du(m) выражен в координатах мгновенной системы m, которая на дифференциальном уровне в СТО всегда инерциальна (с точки зрения наблюдателя N1 в 1), а их перевод осуществляется в априори инерциальную систему 1. В дифференциальной форме d(1) = dt(1)/ch = d l /ic = min ‹ dt(i)›. (38A) 210 Приложение. Тригонометрические модели движений В результате интегрирования (38А) имеем соотношение = l /ic, где l – псевдоевклидова длина отрезка мировой линии [37, с.110].

Формулы (36A), (38A) выражают тригонометрически релятивистский эффект эйнштейнова замедления времени процесса в движущемся объекте. Это происходит с точки зрения наблюдателя N1 или любого другого инерциального наблюдателя, относительно которого движется данный объект. Указанный эффект, как и другие релятивистские эффекты в СТО, имеет чисто координатную природу. (В свою очередь, природа собственного времени требует отдельного обсуждения, что затрагивается в последней главе.) Отметим, что эффект сокращения времени в движущемся объекте исторически впервые установил Фойгт (1887 г.) и затем независимо от него Лоренц (1892 г.).

Рассматриваемый времениподобный феномен – отрезок мировой линии, согласно (32A) и (37A), в базисе 1 имеет ещё проекцию на ‹E3›(1) – пространственный путь объекта, выражаемый как через координатное, так и через собственное время:

l (1) = 2x1(1) + 2x2(1) + 2x3(1) = th ct(1) = v t(1) = sh c = v*.

Pages:     | 1 |   ...   | 24 | 25 || 27 | 28 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.