WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 43 |

Постулат №1 устанавливает, что реальное пространствовремя изотропно (наряду с его однородностью). Это достигается использованием для временнй координаты некоторого постоянного масштабного коэффициента « с », имеющего размерность скорости.

Постулат №2 устанавливает, что реальное пространствовремя представляется как ориентированное бинарное комплексное квазиевклидово пространство с индексом q = 1. Его мнимая координата i·ct – стрела времени, направленная из прошлого в будущее.

Принятие этих двух постулатов позволило в новой концепции полностью уйти от вышеотмеченных недостатков нерелятивистского пространства-времени. Например, согласно первому постулату, в (8А):

t : ct, (11A) tg : tg = v/c.

R 196 Приложение. Тригонометрические модели движений Это даёт безразмерную, чисто тригонометрическую форму описания физического движения. В свою очередь, второй постулат сводит описание движения к гиперболической (псевдосферической) тригонометрии. Причём в базисе 1 естественным образом реализуется сферическо-гиперболическая аналогия абстрактного и конкретного типа (гл. 6):

t : i ct, (12A) tg = - x/i ct = i·v/c = tg (i) = i th.

Здесь или = i, что соответствует (323), или tg th, что R соответствует (354).

Переход к новой концепции формально осуществляется в два этапа:

3+сначала к пространству ‹E ›, затем к его вещественному изоморфизму 3+‹P › с вводом метрического тензора I. Таким образом, пространствовремя Лагранжа преобразуется в пространство-время Минковского.

Преобразования Галилея автоматически заменяются на преобразования Лоренца. Евклидово векторное пространство тангенсов или скоростей преобразуется в гиперболическое векторное пространство – модель Клейна внутри абсолюта (§ 12.1).

Эта революционная трансформация концепции пространствавремени, как известно, была последовательно осуществлена 100-летие назад в классических трудах создателей СТО: Лоренца, Пуанкаре, Эйнштейна и Минковского [34, 36, 39, 48]. Причём в работах Пуанкаре и Минковского был реализован вышеуказанный фундаментальный математический подход к проблеме. (Приоритет в главном безусловно принадлежит Пуанкаре [66].) Но ввиду приложения новой теории к физике принцип относительности трактуется до сих пор почему-то только в физическом смысле. Хотя, как было показано в § 12.3, он имеет свой математический эквивалент. Любое пространство-время, прежде всего, есть некая математическая абстракция, используемая в тех или иных координатных формах записи объективных законов движения материи. В координатной трактовке этих законов и проявляется подлинная физическая реальность пространства-времени.

Пространство-время Минковского в целом однородно. Если же его рассматривают иерархически более сложно – с учётом допустимых направлений, а именно как четырёхмерное векторное пространство, то тогда по отношению к псевдоевклидовой метрике оно распадается на три изотропные составляющие: множество элементов вне светового конуса ‹‹ E ›(k)›, множество элементов внутри светового (k) конуса ‹ct › и множество элементов на конусе. Соответственно первое множество включает пространствуподобные (вещественные) Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и Минковского элементы, второе множество включает времениподобные (мнимые) элементы, а конус включает элементы с нулевой метрикой. В силу того что эти составляющие изотропны, линейные преобразования в нём, связанные с ротациями и деформациями, описываются четырёхмерными тензорными тригонометрическими моделями. Впервые 1+тригонометрические функции в псевдосферической форме в ‹E › применил Пуанкаре [39]. Впоследствии Минковский [36] аналогично 1+использовал тригонометрические гиперболические функции в ‹P ›.

Cкалярная тригонометрия привлекалась ими для моделирования ротационных гиперболических преобразований на псевдоплоскости.

3+Тензорные тригонометрические модели преобразований в ‹P ›, изложенные уже частично в § 6.3 и § 12.2, позволяют придать чисто тригонометрическую четырёхмерную тензорную форму кинематике СТО.

Исходные постулаты и следствия из них, фигурирующие в физической трактовке CТО, имеют изоморфные тригонометрические прототипы (физико-математический изоморфизм).

Однородным непрерывным преобразованиям Лоренца соответствуют псевдоевклидовы тригонометрические ротации. Эйнштейнову замедлению времени соответствуют тригонометрические гиперболические ротации с псевдоевклидовым инвариантом: 1 = ch2 - sh2, где ch > 1. Лоренцеву сокращению протяжённости соответствуют тригонометрические гиперболические деформации с перекрёстным квазиевклидовым инвариантом: 1 = sch2 + th2, где sch < 1. При рассмотрении этих двух явлений на псевдоплоскости, соответствующей углу Г, в обоих случаях формально осуществляется решение гиперболически прямоугольного треугольника (§ 6.4). Специальному физическому принципу относительности Пуанкаре соответствует специальный математический принцип относительности приме3+нительно к ‹P › (§ 12.3). Закон Пуанкаре – Эйнштейна о взаимозависимости пространства и времени и об их относительности объясняется тем, что одноиндексные евклидово подпространство и релятивистская стрела времени всегда являются гиперболически ортогональными дополнениями друг к другу, изменяясь только вместе при гиперболических ротациях:

3+1 ‹P › ‹E › ct CONST. (13А) Это пространство-время есть единый четырёхмерный геометрический континуум.

Постулат Эйнштейна о максимуме и постоянстве скорости света в любых галилеевски инерциальных системах отсчёта непосредственно трактуется как факты псевдоевклидовой тригонометрии:

198 Приложение. Тригонометрические модели движений || v || c = || th || < 1, (14А) / ± =. (15А) (в любой псевдодекартовой системе координат) Релятивистские законы сложения физических скоростей определяются законами суммирования гиперболических ротаций (485), (491). Так, последние в виде законов сложения гиперболических отрезков (гл.7А) трактуют и независимость скорости света от движения его источника.

Аналогичные тригонометрические интерпретации имеют место для ряда специальных релятивистских эффектов, относящихся первично ко времени и евклидову подпространству и обусловленных гиперболическим характером их совместных преобразований. То, что масштабный коэффициент, принятый впервые Пуанкаре для координаты времени, равен скорости света в вакууме, следует в результате изложения электродинамики Максвелла – Лоренца или 3+волновой квантовой механики Шрёдингера – Дирака в ‹E › или в 3+‹P › в ковариантной релятивистской форме.

Выберем в качестве исходного единичного базиса 1 = {I}, в котором пространствуподобная составляющая 1(3) находится в состоянии покоя относительно наблюдателя N1. Наблюдатель имеет собственный хронометр и априори инерциален. С ним связано полное множество универсальных базисов относительно N1, определяемое условиями:

1u = rot ·1 = {rot }, (16A) rot ·I ·rot = I = rot ·I ·rot ;

где рефлектор-тензор имеет вид 1 0 0 0 1 0 I =. (17A) 0 0 1 0 0 0 -В базисе 1 и в других универсальных базисах явления описываются с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя N1. В них все координатные оси изначально совместно евклидово и псевдоевклидово ортонормированы. Напротив, прочие базисы ортонормированы только псевдоевклидово, а именно следующим образом:

·I · = I = ( I ·) ·( I ·), (18A) где I – арифметический квадратный корень типа (443). Это соотноше3+ние также означает, что для бинарного декартова базиса в ‹E › Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и Минковского все пространственные оси с мнимой четвёртой координатой всегда сферически ортонормированы, а времення ось с мнимой четвёртой координатой всегда сферически антиортонормирована.

В декартовой графике псевдоевклидовы базисы отображаются в четырёхмерном евклидовом пространстве в координатах исходного единичного базиса 1. Последний как универсальный базис является декартовым. Выраженные в нём вектор-столбцы матриц новых базисов определяют расположение координатных осей, сферические углы между ними и евклидовы масштабы по осям.

Базис 1u, согласно (16А), смещён относительно 1 на сферический тензорный угол. Ротация на угол элементарна и осуществляется 2 в некоторой плоскости ‹E › ‹E ›(1). Евклидово подпространство и стрела времени остаются теми же, что и в 1.

Пусть новый базис получается чисто гиперболической ротацией 1h = roth Г · 1 = {roth Г}. (19A) Тогда новые координатные оси, согласно (363), полно сферически не ортогональны друг другу и имеют масштабные искажения в евклидовой метрике (хотя бы две из них, включая стрелу времени). Новая единица времени растянута с коэффициентом q4 = ch2 + sh2 = ch 2.

Новые единицы пространственных осей растянуты с коэффициентами qk = ch 2 · cos2k + sin2k. Новые сферические углы между осями (в интервале 0 < < ) определяются по их косинусам:

cos kj = 2 sh2 · cos k · cos j /qk· qj, cos k4 = sh 2 /qk· q4.

Если cos 3 = 0, то cos 2 = ± sin 1 и искажается только угол между x1 и x2. Если cos 3 = cos 2 = 0, то cos 1 = ±1 и углы между пространственными осями остаются прямыми (двумерный классический вариант Лоренца). В общем случае новый базис, согласно полярному представлению (480), получается последовательно сферической и гиперболической ротациями в элементарной форме:

= roth Г · rot · 1 = roth Г · 1u. (20А) (Здесь все матрицы согласованы с рефлектор-тензором.) Чисто гиперболическая ротация базиса (19A) физически соответствует равномерному прямолинейному (поступательному) движению суббазиса 1h(3) относительно суббазиса 1(3) со скоростью v = c · th. Гиперболическая ротация элементарна и осуществляется в 1+1 3+псевдоплоскости ‹P › ‹P ›, задаваемой стрелой времени сt(1) и направлением вектора тангенса th или вектора скорости v в ‹E ›(1).

200 Приложение. Тригонометрические модели движений В двумерном варианте имеем:

ch sh · cos II = {roth Г}22 · I = (cos = ±1). (21А) sh · cos ch Графически это преобразование сводится к гиперболической ротации (1) (1) обеих осей x и ct на угол (в сторону биссектрисы первого квадранта при cos = +1 и в обратную сторону при cos = -1).

(2) Физически это преобразование сводится к движению оси x вдоль оси (1) (1) x со скоростью v (в направлении оси x при cos = +1 и в обратную сторону при cos = -1).

Пусть некоторая материальная точка движется (физически) равномерно и прямолинейно так, что в нулевой момент времени t = 0 она проходит через начало координат O (общее для всех одноцентровых базисов ). Тогда её мировая линия есть центральная прямая внутри изотропного конуса [36]. Сам изотропный конус – геометрическое место всех центральных световых мировых линий. Какой-то псевдодекартов базис, в котором вышеуказанная материальная точка физически неподвижна, имеет стрелу времени ct, совпадающую с её прямой мировой линией. (Вообще же, все новые координатные оси задаются вектор-столбцами матрицы нового базиса.) Данная прямая мировая линия или она же – новая стрела времени ct взаимно-однозначно определяется в 1 углом и направляющими косинусами вектора th ‹E ›(1) или также взаимно-однозначно определяется ротационной матрицей roth Г с канонической структурой (363).

Заметим, что во всех формулах и законах, связанных с описанием материальных явлений во времени (процессов), как известно, t > (dt > 0). Соответственно и гиперболический угол движения в любом псевдодекартовом базисе может только увеличиваться (d > 0). Это выражает общий принцип возможности физического движения только из прошлого в будущее, то есть по мгновенной стреле собственного времени. Он же тождествен принципу детерминизма для материальных явлений. В СТО этот принцип не противоречит тому, что материальные объекты, имеющие одни и те же начальную и конечную мировые точки, но различные мировые линии между ними, затрачивают в общем случае различное собственное время на всё путешествие, то есть время по собственным хронометрам (“парадокс близнецов”). Следовательно, в тригонометрической форме кинематики теории относительности при активных преобразованиях координат в тензоре движения (21А) перед углами Г и применяется только знак «+». (Отрицательный знак перед данными углами возможен только при мысленных движениях в прошлое, когда применяется антиподная гиперболическая геометрия – § 12.1.) Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и Минковского Это в определённой степени отличает гиперболическую кинематику СТО от правил движения в геометрии Лобачевского – Больяи.

Одна и та же стрела времени ct или прямая мировая линия как в верхней, так и в нижней полости изотропного конуса определяется одной и той же матрицей roth Г. Это физически соответствует одному и тому же вектору скорости, а геометрически выражается как движение:

roth Г = F(, e ) F(–, – e ). (22A) (Последнее выражение дано для антиподной гиперболической (1) геометрии.) С другой стороны, симметричная ей относительно ct стрела времени или прямая мировая линия определяется обратной матрицей. Это физически соответствует аддитивно противоположному вектору скорости, а геометрически выражается как движение:

roth-1 Г = F(, – e) = roth (– Г) F(–, e). (23А) (Последнее выражение дано для антиподной гиперболической геометрии.) Обратим внимание на то, что в обоих равенствах формально значение положительно для направления материального движения по стреле времени и отрицательно для направления мысленного движения против стрелы времени (то есть в данном случае 1+реперной оси для отсчёта угла ротации). Из (21A) следует, что в ‹P › координатная скорость физического движения в ‹E › выражается тригонометрическим способом через соотношение:

v x x sh cos · = = = th cos, (24A) · c = c· t ct ch где cos = ±1. В самом же общем случае вектор скорости характеризуется модулем ||v|| и направляющими косинусами: cos 1, cos 2 и cos 3.

Его три ортопроекции в тригонометрической форме имеют вид:

v x x k k k = = = th cos k (k = 1, 2, 3), (25A) · c c· t ct где -1 cos k +1; cos2 1 + cos2 2 + cos2 3 = 1.

При описании физического движения со скоростью v в псевдо1+плоскости ротации ‹P › в координатах ‹x (1), ct (1)› новые координатные оси x и сt отклоняются на один и тот же гиперболический угол = Arth v/c. В универсальном базисе имеет место сферическогиперболическая аналогия конкретного типа (гл. 6), например тангенстангенсная или синус-тангенсная:

x(1)/ct(1) = th tg sin = v/c (cos = +1).

Pages:     | 1 |   ...   | 23 | 24 || 26 | 27 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.