WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 43 |

188 Приложение. Тригонометрические модели движений Показана взаимосвязь между конкретными тригонометрическими характеристиками и хорошо известными физическими параметрами движущихся объектов – как инерциально, так и неинерциально в пространстве-времени Минковского. Изложена трактовка физического движения как гиперболической ортопроекции абсолютного движения по мировым линиям. Получен релятивистский гиперболический аналог формулы Циолковского. (Главы 5А и 7А.) В рамках изоморфного преобразования псевдоевклидова пространства Минковского в специальным образом сжатое квазиевклидово пространство получены гиперболические отображения, определяющие трактрису и псевдосферу Бельтрами как подобные однопараметрические фигуры в своих классах. (Глава 6А.) Установлена теорема о приведении суммы двух движений к биортогональной (квадратичной) форме – коммутативной для евклидовой и некоммутативной для неевклидовых геометрий. Установлены формулы вычисления и общая тригонометрическая интерпретация для особой ортосферической ротации (по физической терминологии буста) неточечных объектов, в том числе координатного базиса, возникающей при неколлинеарном (негеодезическом) движении. Частный случай её описывает известная скалярная формула Зоммерфельда для прецессии Томаса при ортогональном суммировании двух скоростей. Доказана тождественность угла ортосферической ротации и сферической угловой девиации Гаусса – Бонне для двумерных замкнутых геометрических фигур, образуемых суммируемыми геодезическими отрезками на гиперболоидах Минковского или на гиперсфероиде – поверхностях постоянного радиуса. Для геометрических объектов квазиевклидова или псевдоевклидова пространства с индексом «1» возможно бесконечное множество разнообразных проективных преобразований.

Показано, что любые тригонометрические проективные отображения гиперсфероида и гиперболоидов Минковского I и II на проективную гиперплоскость или на проективный гиперцилиндр дают модели сферической и двух сопутствующих гиперболических геометрий.

Для отображения движений в модели Клейна (внутри и вне абсолюта) тригонометрическим методом вычислены все коэффициенты искажения неевклидовых расстояний и углов. (Главы 7А и 8А.) Последние две главы Приложения имеют дискуссионный характер и приводятся для завершённости рассматриваемого здесь тригонометрического представления движений в теории относительности.

Известно, что ОТО в изначальной геометрической интерпретации А. Эйнштейна в силу своих многочисленных противоречий принимается далеко не всеми специалистами в области теории гравитации и небесной механики. Иные точки зрения отображены в известных книгах, Введение например: Бриллюэн Л. «Новый взгляд на теорию относительности» – М.: Мир, 1972; Боулер М. «Гравитация и относительность» – М.: Мир, 1979, а также в фундаментальных публикациях в научных журналах, например: Дикке Р. «Гравитация без принципа эквивалентности» Rev.

Mod. Phys., v. 29, p. 363 (1957); Тирринг В. «Альтернативный подход к теории тяготения» Annals of Physics. v. 16, p. 96 (1961). Поэтому рассмотрение любых обобщений СТО в поле тяготения до сих пор имеет гипотетический характер и подлежит свободному непредвзятому научному обсуждению. Автор данной монографии исходит из принципа максимальной простоты и непротиворечивости теории общепринятым фундаментальным законам Природы и данным наблюдений.

Показано, что все основные и достаточно хорошо изученные общерелятивистские эффекты, наблюдаемые в Солнечной системе, интерпретируются элементарным образом в базовом пространствевремени Минковского, связанном с априори инерциальной системой Маха. Последнее отвечает, например, полевой (негеометрической) релятивистской теории гравитации (РТГ). Эта физическая теория как фундаментально обоснованная концепция впервые была изложена М. Боулером (1976 г.) в вышеуказанной известной учебной монографии.

Аналогичная, но более развёрнутая по содержанию концепция РТГ и именно, как отрицающая ОТО, была развита позднее в публикациях А. А. Логунова с рядом коллег-соавторов. Данные исследования были недавно подытожены в фундаментальной монографии: Логунов А. А.

«Теория гравитационного поля» – М.: Наука, 2001. В связи с этим здесь показаны дополнительные возможности для применения тензорной тригонометрии в теории относительности. (Глава 9А.) С использованием изоморфного отображения координат материальной точки и её мировой линии из эффективного псевдориманова пространства-времени в базовое псевдоевклидово пространство-время (оба в РТГ имеют топологию аффинного пространства) рассмотрена гравитационно-неискажённая тензорная тригонометрическая модель абсолютного движения в гравитационном поле, в том числе при дополнительном воздействии сил иной природы. Развит четырёхмерный псевдоаналог классической теории Френе – Серре применительно к мировым линиям в пространстве-времени Минковского.

Даны четыре абсолютные локальные скалярные и векторные дифференциальногеометрические характеристики искривлённой мировой линии, которые полностью определяют её конфигурацию, а также кинематику и динамику материальной точки в окрестности каждой собственной мировой точки. Вычислены все три абсолютные кривизны, связанные с мировыми тригонометрическими ротациями (от первого до третьего порядка), и их направления. (Глава 10А.) Дополнительные обозначения b – единичный 4-вектор бинормали, c – скорость света в вакууме (пустоте), c – 4-вектор псевдоскорости абсолютного движения материи, ct – стрела координатного времени в относительно неподвижном, (универсальном) базисе c – стрела собственного времени в мгновенном относительно подвижном базисе, m e – единичный пространствуподобный вектор, e = {cos k} – единичный вектор 1-го движения, e = {cos k} – единичный вектор 2-го движения, e = {cos k} – единичный вектор суммарного движения, e = {cos k} – единичный вектор суммарного движения с обратной последовательностью частных движений, E – полная энергия, F – собственная сила в мгновенном базисе, m = g, g и g – внутреннее ускорение, его тангенциальная и нормальная проекции, h – единичный 4-вектор тринормали, i – единичный времениподобный 4-вектор в ‹P 3+1›, в том числе вектор касательной к мировой линии, K – абсолютная кривизна мировой линии (в данной её точке), = k, k и k – 4-вектор абсолютной кривизны мировой линии, его тангенциальная и нормальная проекции, l и l – евклидово и псевдоевклидово расстояние (длина), m и m0 – масса движущейся и покоящейся материальной точки, n – единичный (n + 1)-вектор нормали, = p, p и p – единичные 4-векторы псевдонормали, её тангенциальной и нормальной проекций, = q, q и q – единичные 4-векторы квазинормали, её тангенциальной и нормальной проекций, P – полный импульс, p – импульс (количество движения), Дополнительные обозначения R – радиус абсолютной кравизны мировой линии или радиус пространства с постоянной кривизной, t(i) – координатное время в базисе i, T и t – кручение и 4-вектор кручения, u – 4-радиус-вектор мировой точки в ‹P 3+1›, v, v – векторная и скалярная координатная скорость физического движения, v*, v* – векторная и скалярная собственная скорость физического движения, w – сферическая угловая скалярная скорость, x(i) – пространственная проекция мировой точки в базисе i, x(i) – пространственная координата мировой точки или материальной k точки в базисе i,, – основной гиперболический угол движения в каком-либо базисе в векторной и скалярной формах, – скалярный угол между направляющими векторами 1-го и 2-го движения, – гиперболическая угловая скалярная скорость, () – сферический угол параллельности Лобачевского в универсальном базисе 1, = xk(1) – собственная пространственная координата мировой точки, k выражаемая в универсальном базисе 1.

Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и пространствовремя Минковского как математические абстракции и физическая реальность Вначале обратимся к четырёхмерному пространству-времени Лагранжа ‹ E t › и рассмотрим в нём условно тригонометрическую модель кинематики физического движения материальной точки.

Как исходную единичную систему координат выберем какой-либо универсальный базис 1 = {I}. В нём, по определению (в данном случае), все четыре координатные оси ( x1, x2, x3, t ) как бы евклидово ортонормированы. Три пространственные оси составляют евклидову пространствуподобную часть базиса (3) (то есть декартов суббазис).

Стрела времени t есть одномерная направленная времениподобная аффинная составляющая базиса. При допустимых преобразованиях базиса пространственные оси (x1, x2, x3) всегда ортонормированы и образуют в (3) правую тройку. Поэтому в ‹E › действует трёхмерная сферическая тригонометрия с безразмерными функциями. Отношение между тремя пространственными координатами и стрелой времени характеризует направленный вектор тангенса, тождественный вектору скорости материальной точки с соответствующей размерностью:

tg = x / t v, tg k = xk/ t vk (k = 1, 2, 3). (1A) Допустимые линейные преобразования в пространстве-времени Лагранжа образуют группу однородных преобразований Галилея ‹VG›.

Это математически обусловливает принцип относительности Галилея.

(Условие их непрерывности det VG = +1 обеспечивает сохранение ориентации базиса.) В конкретном декартово-аффинном базисе пространство-время Лагранжа может рассматриваться как линейное.

В частности, в каком-либо оно представляется прямой суммой 3 ‹E t› ‹E › t CONST, (2А) где, в свою очередь, ‹E › CONST + p, (3А) Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и Минковского где p – произвольный вектор параллельного переноса. (Тут в некоторой степени имеется аналогия с бинарными пространствами из гл. 11, отображающая здесь “параболическую” геометрию Клейна [26, 50]).

В векторной трактовке стрлы времени составляют полное множенство осей ‹ t ›, включающее только времениподобные элементы.

С другой стороны, ‹E › включает только пространствуподобные элементы. В данном случае все они вещественные. Преобразования Галилея сохраняют данное статус-кво, вследствие того что они сводятся к трём возможным простейшим типам:

1) автоморфная сферическая ротация ‹E ›, 2) параллельная ротация t относительно евклидова подпространства ‹E ›, 3) параллельный перенос ‹E › и t.

В общем случае базис линейно преобразуется следующим образом:

VG R·R0 Ra0+ R a R0 a+ а · = (R ‹rot 33›). (4A) o o 1 o Первые 3 столбца матрицы базиса задают постоянное ‹E ›, 4-й столбец задаёт переменную стрелу времени t. При a0 = о : 0 ‹1u› (универсальный базис). При этом, если R0 = I, то 0 = 1 = {I}.

Тогда обратная матрица VG-1 (с той же структурой) приводит какойлибо бинарный декартово-аффинный базис к простейшей единичной форме, то есть к исходному базису. Кроме того, она осуществляет пассивное модальное преобразование координат линейного элемента из 1 в. В любом бинарном базисе линейный элемент пространства представляется прямой суммой:

x u = x t =.

t Исходя из вышеизложенного однородные преобразования Галилея в тригонометрической форме представляются как произведение автоморфной сферической и параллельной ротаций:

VG = F(,tg ) f (tg ) rot rot 33 tg I33 tg rot 33 o = · = rot ·f (tg ), (5A) o 1 o 1 o где det VG = det f (tg ) = det rot = +1; tg = rot (– 33) · tg.

194 Приложение. Тригонометрические модели движений Обратное однородное преобразование Галилея представляется в виде:

VG-1 rot (– ) f (– tg ) rot (- 33) - rot (-33)· rot (- 33) o I33 - tg ·tg = · = f (– tg )·rot (– ). (6A) o 1 o o Формула (5A) является аналогом полярного представления (474), (475). Сам базис преобразуется аналогично (480):

= VG·1 = f (tg )·rot ·1 = f (tg )·1u. (7A) С физической точки зрения суббазис (3) движется относительно суббазиса 1(3) со скоростью v. Матрица (6A) преобразует координаты элемента пространства-времени Лагранжа следующим образом:

rot (– 33)·(x(1) – tg ·t ) (1) -1 (1) u = VG-1·u = F (, tg )·u =. (8А) t Если = Z, то имеем чисто параллельные ротации, выраженные в условно тригонометрической форме:

(1) (1) x = x – tg ·t = x – v·t, (9А) (1) t = t.

Заметим, что параллельная ротация, применяемая здесь для стрелы времени, геометрически промежуточна между сферической и гиперболической ротациями. Такой вид ротации обусловлен тем, что скалярное время является её инвариантом и, в принципе, может (1) отсчитываться только на исходной оси t. Многоступенчатые параллельные ротации дают нерелятивистский коммутативный закон сложения тангенсов или скоростей в матричной и векторной формах в евклидовом подпространстве (3А):

f (tg 12)·f (tg 23) = f (tg 23)·f (tg 12) = f (tg 12 + tg 23), (10A) f (tg ij) = f ( tg ij).

Множество ‹f (tg )› – кинематическая коммутативная подгруппа группы Галилея.

Пространство-время Лагранжа однородно в силу равнозначности всех его составляющих точечных элементов. (Выбор какого-либо элемента за начало координат никак не влияет на характер допустимых преобразований.) Глава 1А. Пространство-время Лагранжа и Минковского Если же его рассматривать иерархически более сложно, а именно как четырёхмерное векторное пространство, то тогда, согласно (2А), оно распадается на две составляющие: изотропное неориентированное евклидово подпространство ‹E › и ориентированное подпространство ‹ t ›. Последнее ориентировано по собственной стреле времени всегда из прошлого в будущее. В целом оно неизотропно в силу хотя бы того, что времення и пространственные координаты его элементов имеют различные размерности. Отсюда вытекает аффинный характер их взаимоотношений и условность тождества (1А).

Пространство-время Лагранжа широко применяется в классической нерелятивистской физике. Однако ещё в конце XIX века выяснилось, что излагаемые в нём уравнения электродинамики Максвелла при переходе от одной инерциальной системы Галилея к другой изменяют свою форму. В связи с этим Лоренц (1892г.) предложил специальные преобразования координат пространства и времени, устраняющие этот существенный недостаток. (Ещё ранее в 1877г. их установил Фойгт исходя из упругой теории света.) В 1904г. Лоренц с учётом физического принципа относительности Пуанкаре (для всех физических явлений) показал, что эти преобразования непосредственно следуют из условия форминвариантности волнового уравнения [34]. Последнее, согласно теории Максвелла, объясняет и описывает распространение света.

* * * Далее обратимся к пространству-времени Минковского. В ходе происшедшей в начале ХХ века революционной трансформации пространства-времени в его более совершенную – релятивистскую концепцию в СТО с математической точки зрения были введены два принципиально новых постулата.

Pages:     | 1 |   ...   | 22 | 23 || 25 | 26 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.