WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 43 |

В данном случае между rot и roth Г имеется принципиальное отличие, заключающееся в формах их представлений. Гиперболическая ротация имеет реперную ось y для отсчёта угла. Её структура (363), (364) и псевдоплоскость ротации определяются вектором направляющих косинусов (выраженных в декартовой части базиса).

Форма представления rot определяется только её общей структурой 2+(473). Например, в ‹P › её 22-блок есть элементарная сферическая 3+ротационная клетка. Однако в ‹P › её 33-блок rot 33 целесообразно представить как сферическую ротацию с фиксированной нормальной осью r N [27, с.448]. Тогда структура и плоскость ротации определяются вектором направляющих косинусов нормальной оси ротации r N ‹E › (выраженных в декартовой части базиса):

rot r12 r1 r2 + r2 + r1 r cos + – r3 + 1 + cos 1 + cos 1 + cos r1 r2 cos + r22 r2 r + r3 + – r1 + 1 + cos 1 + cos 1 + cos. (497) r1 r3 + r1 + r2 r3 cos + r – r2 + 1 + cos 1 + cos 1 + cos 0 0 0 § 12.2. Ротации и деформации в пространстве Минковского Пусть cos k и cos k ( k = 1, 2, 3) – направляющие косинусы углов Г и Г из (474), (475) в структуре (363); e = {cos k} и e = {cos k} – единичные векторы направляющих косинусов в структуре (364).

Применив ротационную формулу (476), последовательно получаем:

, rot 33·{ e · e }· rot 33 = e · e ( e · e = e · e). (498), e = rot 33· e 3+ В ‹P › единичные векторы e и e в силу (498) однозначно задают вектор нормальной оси ротации rot через их векторное (синусное) произведение:

rcos 2 · cos 3 – cos 3 · cos r2 cos 3· cos (499) r = = e e = – cos 1· cos N r cos 1· cos 2 – cos 2· cos 1.

Векторы e, e и r образуют правую тройку, что соответствует N принятому в работе направлению отсчёта угла против часовой стрелки; ориентированный вектор r задаёт правый винт ротации;

N ||r || = r12 + r22 + r32 = |sin |; tr rot = 2·(cos + 1).

N Наряду с чисто гиперболическими и сферическими ротациями в псевдоевклидовом пространстве Минковского представляют особый интерес, а именно в универсальном базисе, допустимые элементарные гиперболические деформации. В тригонометрической форме они представлены в (496). В базисе своего действия они имеют структуру типа (365) и совершаются в псевдоплоскости, соответствующей углу Г.

Направляющие косинусы для матриц roth Г и defh Г тождественны.

В базисе диагонального косинуса эти матрицы и рефлектор-тензор имеют общую бинарно-клеточную структуру:

{defh Г}can {roth Г}can I (q =1) sch – th ch sh + 1 th sch sh ch 0 -,,.

Из прародительской структуры, аналогично (471), порождается чистый тип гиперболической деформационной матрицы:

Rw·{defh Г}can·Rw = defh Г, (500) defh Г·defh Г = I = defh Г·defh Г, (det defh Г = + 1).

182 Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского Деформационные преобразования, конечно, не относятся к группе Лоренца, так как не удовлетворяют условию (460). Хотя при этом соотношения (500) по форме и совпадают с (470). Но согласования матриц rot и defh Г с рефлектор-тензором I осуществляются различно. А именно первые согласуются по его единичному блоку, а вторые согласуются по какой-либо его знакопеременной 22-клетке.

Иначе говоря, первые действуют в плоскостях, а вторые – в псевдоплоскостях. Хотя матрицы defh Г не удовлетворяют псевдоевклидову метрическому соотношению (460), но они же в универсальном базисе формально удовлетворяют евклидову метрическому соотношению, что следует из (500). Поэтому для этих матриц в псевдоплоскости деформации действует перекрёстный евклидов инвариант (§ 5.10).

Согласно сферическо-гиперболической аналогии конкретного, синустангенсного типа в 1, имеем:

defh Г rot Ф (Г ) th Г sin Ф(Г ) roth Г def Ф (Г ) sh Г tg Ф(Г ).

Ввиду того что все матрицы действуют в одной и той же псевдоплоскости, то и согласуются с рефлектор-тензором сходным образом:

defh Г · I · defh Г = rot Ф (Г) · I · rot Ф (Г) = = roth Г · I · roth Г = def Ф (Г) · I · def Ф (Г) = I.

Важно отметить, что все эти четыре соотношения в универсальном базисе 1 имеют место как в гиперболической, так и в сферической геометриях. Поэтому они представлены здесь в самом общем виде – через углы ротации Г и Ф с рефлектор-тензором I Ref. Основное различие между ними заключается в том, что в гиперболической n+ геометрии в допустимом псевдодекартовом базисе в ‹P › действует только определяющее движения соотношение roth Г· I · roth Г = I ;

с другой стороны, в сферической геометрии в допустимом n+ квазидекартовом базисе в ‹Q › действует только определяющее движения соотношение rot Ф · I · rot Ф = I. Во внешних вариантах они реализуются на собственных гиперболоидах Минковского I и II n+ в псевдоевклидовом пространстве ‹P › (первое) и на собственном n+ гиперсфероиде в квазиевклидовом пространстве ‹Q › (второе).

Основные свойства деформационных матриц и преобразований сходны с таковыми для ротационных. Но для них Правило №2, в части алгебраического суммирования тригонометрически согласованных углов-аргументов, не выполняется. (Хотя коммутативность матриц с согласованными углами сохраняется.) Деформационные матрицы § 12.3. Специальный математический принцип относительности n+ целесообразно применять в ‹P ›, например, при перекрёстном (недекартовом) проецировании, то есть при определении перекрёстных 3+координат или перекрёстных проекций. Такое проецирование в ‹P › формально математически интерпретирует лоренцево сокращение пространственных образов линейных объектов в направлении их физического движения. Согласно исконной блочной структуре (442), для деформационных матриц имеют место соотношения – аналоги (482).

§ 12.3. Специальный математический принцип относительности Все утверждения, относящиеся к ‹евклидовой, квазиевклидовой, псевдоевклидовой› геометрии за вычетом её аффинной части, имеют место именно в ‹декартовом, квазидекартовом, псевдодекартовом› базисе ‹евклидова, квазиевклидова, псевдоевклидова› пространства.

Любая геометрия с квадратичным инвариантом (или квадратичная геометрия) как свод утверждений по их форме никак не связана с выбором конкретного допустимого базиса за исходный единичный базис. Иначе говоря, ‹евклидова, квазиевклидова, псевдоевклидова› геометрия инвариантна по отношению к преобразованиям, осуществляющим переход от одного вышеуказанного базиса к другому, то есть она инвариантна к ‹ортогональным, квазиортогональным, псевдоортогональным› преобразованиям и к операции параллельного переноса в пространстве. (Ориентация в указанных пространствах, конечно, сохраняется именно при непрерывных преобразованиях.) Это специальный математический принцип относительности, действующий в любой плоской (квадратичной) геометрии, в частности, в псевдоевклидовой геометрии Минковского. Применительно к СТО ему тождествен специальный физический принцип относительности Пуанкаре. Он заключается в форминвариантности физических законов в равномерно и прямолинейно движущихся системах отсчёта (вплоть до околосветовых скоростей), или относительно преобразований Лоренца.

Оба принципа связывает физико-математический изоморфизм.

Ротационные преобразования Лоренца в активной форме оставляют инвариантными в целом каждую полость изотропного конуса и n q сам конус. Но при этом собственные подпространства ‹E › и ‹E › неинвариантны и преобразуются активно вместе с базисом. Хотя они вместе со своими координатными осями всегда находятся в своих полостях изотропного конуса – внешней и внутренней. Кроме того, n q ‹E › и ‹E › преобразуются активно так, что всегда составляют прямую сумму и остаются гиперболически ортогональными друг к другу.

184 Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского n q Поэтому одноиндексные ‹E › и ‹E › относительны, но взаимозависимы как ортогональные дополнения в псевдоевклидовом пространстве.

В соответствии с (462) каждое из них является взаимно-однозначной функцией от другого. В СТО это соотношение даёт математическую формулировку закона Пуанкаре – Эйнштейна об относительности, взаимозависимости и единстве пространства и времени (n = 3, q = 1).

n+q Но само псевдоевклидово пространство ‹P ›, как и пространство3+1 время Минковского ‹P › ‹E ct›, – в целом абсолютно, то есть оно инвариантно по отношению к преобразованиям Лоренца (как множество точек данной структуры).

В четырёхмерном пространстве-времени Лагранжа ‹E t› законы нерелятивистской физики (механики), выраженные в инерциальных системах отсчёта, как и соответствующая евклидово-афинная геометрия в нём, инвариантны по форме к преобразованиям Галилея.

Это специальный принцип относительности Галилея в общей физикоматематической форме. С математической точки зрения пространствовремя Лагранжа – бинарное евклидово-аффинное пространство n q ‹E A › с n = 3 и q = 1 с допустимыми в нём преобразованиями Галилея. Пространство-время Лагранжа в целом абсолютно, то есть инвариантно относительно последних (как множество точек данной структуры). По отношению к активным однородным преобразованиям Галилея евклидово подпространство ‹E › в целом и скалярное время t тоже инвариантны; но стрела времени t неинвариантна (каждый раз это какая-либо мировая линия). Она претерпевает, в том числе возможно на дифференциальном уровне, особое линейное преобразование – параллельную ротацию относительно ‹E › (сочетающее поворот на угол от исходной t и компенсационное растяжение с коэффициентом sec ). Данная ротация как бы промежуточна между сферической и гиперболической. Кроме того, ‹E › и t могут смещаться на вектор параллельного переноса. Евклидово подпространство и время образуют здесь единство, так как составляют прямую сумму, но они не взаимозависимы. Евклидово-аффинная геометрия по форме своих утверждений никак не связана с выбором конкретного бинарного декартово-аффинного базиса за исходный единичный базис. В универсальном базисе 1 = {I}, как принято ранее, четыре координатные оси ортонормированы. Допустимые базисы связаны общими непрерывными преобразованиями Галилея. Отметим, что евклидово-аффинная геометрия пространства-времени Лагранжа (индекса 1), отвечающая принципу относительности Галилея, тождественна “параболической” геометрии Клейна из его знаменитой Эрлангенской программы [26]. (Это было установлено в ХХ столетии в ряде математических исследований по неевклидовым геометриям и их связям с физикой [50].

§ 12.3. Специальный математический принцип относительности 3+С другой стороны, в ‹P › при общих непрерывных преобразованиях Лоренца тензорные объекты подвергаются относительно базиса согласованным с рефлектор-тензором элементарным ортосферической и гиперболической ротациям, а также операции параллельного переноса. При этом исходные пространственные образы объектов подвергаются элементарной гиперболической деформации.

Именно гиперболические ротации и деформации с тригонометрической точки зрения ответственны за релятивистский характер преобразований Лоренца – Пуанкаре – Эйнштейна в абсолютном четырёхмерном пространстве-времени Минковского. Гиперболические ротации и деформации в элементарных канонических формах (363), (365) выражаются в универсальном базисе как в исходном, то есть как базисе своего действия.

Между ротационной тригонометрией в псевдоевклидовом пространстве Минковского, гиперболической геометрией на гиперболоидах Минковского I и II и гиперболической неевклидовой геометрией в сопутствующих пространственных топологических формах устанавливается отношение изоморфизма. Между сферической и гиперболической неевклидовыми геометриями на основе сферическогиперболической аналогии абстрактного типа устанавливается формальная взаимосвязь, позволяющая увязать их собственные движения в единой теории в рамках тензорной тригонометрии n+ n+ 1 надпространств ‹P › и ‹Q ›.

Вышеизложенное позволяет создать как отдельное приложение тензорные тригонометрические модели кинематических преобразований в теории относительности, а также движений в гиперболической и в сферической (эллиптической) неевклидовых геометриях.

Приложение Тригонометрические модели движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности Введение В Приложении излагается конкретное применение тензорной тригонометрии в элементарных ротационной и деформационной формах к теоретическому анализу движений в неевклидовых геометриях и в теории относительности. Поясним вкратце его содержание.

На основе сферическо-гиперболической аналогии конкретного типа показан геометрический смысл сферического угла параллельности Лобачевского, проявляемый внешним образом в псевдоевклидовом пространстве Минковского исключительно в универсальном базисе.

В СТО этот базис отвечает относительно неподвижному инерциальному наблюдателю. В отличие от своего сферического аналога-функции гиперболический угол движения имеет исконный (неискажённый) геометрический смысл в любых псевдодекартовых, или инерциальных базисах. (Глава 1А.) Определены канонические формы тригонометрических тензоров основного движения и деформации. Показано, что именно эти тензоры обуславливают математически релятивистские эффекты замедления времени и сокращения протяжённости для движущихся объектов.

Выявлены компоненты (по две проекции) этих эффектов с надлежащей тригонометрической и физической интерпретацией. (Главы 2А – 4А.) С целью суммирования двух или любого иного количества движений (скоростей), а также для его тригонометрического анализа используется полярное разложение общего (суммарного) тензора движения.

Закону суммирования движений (скоростей) придана генеральная форма, полученная в соответствии с правилом последовательного применения линейных преобразований. Изучены четырёхмерные тензорные тригонометрические модели кинематики и динамики СТО.

Pages:     | 1 |   ...   | 21 | 22 || 24 | 25 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.