WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 43 |

(Последнее объясняет дополнительное обозначение для угла Г.) 168 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Обратим также внимание на то, что многоступенчатые ортосферические ротации, в соответствии с их структурой (473), имеют конечным результатом опять-таки ортосферическую ротацию.

Многоступенчатые гиперболические ротации точечного элемента последовательно производят реперные точки (вершины) каких-либо геометрических фигур, например гиперболических многоугольников.

Для реализации последних необходимое условие – замкнутость цикла гиперболических ротаций:

n q Roth Г(k)·u1 = u1, где u1 принадлежит ‹E ›(1) или ‹E ›(1).

k В силу непрерывности частных ротаций такие централизованные фигуры расположены в одной из полостей изотропного конуса – там, где находится элемент u1, причём (u) = (u1) = const. Фигуры и их геометрия реализуются на какой-либо гиперболоидной поверхности с заданным инвариантом. Непрерывные преобразования Лоренца включают в себя тригонометрические ротации ‹T› и параллельные переносы. Они осуществляют любые непрерывные движения в псевдоевклидовой геометрии.

С другой стороны, однородные преобразования Лоренца ‹T›, используемые активно, осуществляют движения производящего точечного элемента (u = T·u1) на той же гиперболоидной (псевдосферической) поверхности:

n q xk2 – yt2 = 2(u1) = const, (495) k = 1 t = где 2(u1) – квадратичный метрический инвариант. Эта централизованная гиперповерхность находится либо во внешней полости конуса (2 > 0), либо во внутренней полости конуса (2 < 0), либо она есть конус ( = 0). Она же как многообразие есть функция от метрического инварианта. Метрика псевдосферической гиперповерхности – внешняя, псевдоевклидова. Её родственные подмножества – псевдосферические m-поверхности меньшей размерности и псевдоокружности (m = 1).

С точки зрения аффинной геометрии они же суть гиперболоидные поверхности и гиперболы. Каждую из них можно представить как гиперповерхность в некотором своём подпространстве ‹P n + q› ‹P n + q›, где 1 n n, 1 q q. В частности, любая гипербола на гиперповерхности (495) принадлежит некоторой своей псевдоплоcкости.

Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского § 12.1. Проективные тригонометрические модели сопутствующих гиперболических геометрий n+ В ‹P › реализуется псевдоевклидова геометрия Минковского.

Две псевдосферические гиперповерхности в нём ( n 2, q = 1), отличающиеся знаком квадратичного инварианта (+ или –), в аффинном смысле, суть пара сопутствующих гиперболоидов. Геометрическим путём они производятся сферической ротацией относительно направленной оси y с числом степеней свободы (n – 1) соответственно одной времениподобной гиперболы (например правой) и двух пространствуподобных гипербол (верхней и нижней) – см. рис. 3. Первый из них (топологически односвязный, с инвариантом 2 = + R2) находится во внешней полости конуса. Второй из них (топологически двухсвязный, с инвариантом 2 = - R2) находится по отдельности в двух внутренних полостях конуса – верхней и нижней. В метрическом смысле эти объекты представляют собой две гиперпсевдосферы – одна с вещественным (± R), а другая с мнимым (± iR) радиусом.

(В том же смысле изотропный конус есть гиперпсевдосфера нулевого радиуса.) Они известны как гиперболоиды Минковcкого I и II. На этих сопутствующих гиперболоидах реализуются особые внешние n+ гиперболические геометрии с псевдоевклидовой метрикой в ‹P ›.

Их название обусловлено тем, что гиперболические траектории на гиперболоидах Минковcкого – геодезические линии (в указанной внешней метрике).

Если некая гиперболическая траектория проходит по какойлибо псевдосфере меньшей размерности (1 < n < n), принадлежащей гиперболоиду Минковcкого, то она и на данной поверхности остаётся геодезической. При n = 1, то есть на собственной секущей псевдоплоскости, остаётся только гипербола, сама по себе. Здесь на псевдоплоскости в координатах (x, y) легко определяется её псевдоевклидова протяжённость (гл. 6), так как длина данной кривой остаётся той же.

170 Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского Централизованные геодезические движения производящего элемента u1 (рис. 4) по гиперболоиду с инвариантом (u1) осуществляет ротационная матрица-функция roth Г = F (), согласно структуре (363), (364). Нецентрализованное геодезическое движение производящего элемента u = T·u1 по тому же гиперболоиду осущест-вляет ротационная матрица{roth Г}, или {T·roth Г·T }1, где = Т·1. Причём изменяется непрерывно от 0 до + (dy > 0) или от 0 до – (dy < 0). Протяжённость геодезической траектории на обоих гиперболоидах определяется формально также, как псевдоевклидова длина гиперболической дуги (гл. 6) в пределах псевдоплоскости.

А именно, как a = R· (на гиперболоиде II) и как ia = iR· (на гиперболоиде I). Выражение для данной характеристики протяжённости «a» тождественно таковому для меры Ламберта, принятой в гиперболической неевклидовой геометрии.

Для двухсвязного гиперболоида II этот факт объясняется тем, что внешняя гиперболическая геометрия на нём изоморфна в целом (а, следовательно, и в малом) внутренней гиперболической геометрии Лобачевского – Больяи при одних и тех же n и R. Причём различие геометрий на верхней и на нижней частях гиперболоида II заключается только в перемене знаков перед гиперболическими углами Г и (обращении ротационной матрицы roth Г) для зеркально симметричных n движений на них относительно гиперплоскости ‹E ›(1). Но при этом всегда для этих углов при dy > 0 применяется знак «+», а при dy < применяется знак «–». Углы Г и (– Г) имеют тождественный вектор направляющих косинусов e. То же относится к двум соответствующим антиподным частям гиперболического пространства Лобачевского – Больяи. Последнее, как и гиперболоид II, по сути двухсвязное.

Изоморфизм в целом внешней геометрии на гиперболоиде II и внутренней геометрии Лобачевского – Больяи наиболее просто доказывают тем, что они обе приводятся центральными проективными преобразованиями к одной и той же форме – модели Клейна внутри овального абсолюта Кэли [25; 38, ч.II, с.178 – 193]. Для внешней геометрии на гиперболоиде II модель Клейна (внутри абсолюта) есть её центральное проективное отображение (рис. 4) на проективную n гиперплоскость «E ». С тригонометрической точки зрения модель Клейна (внутри абсолюта) есть её тангенсное отображение в векторной форме ( : th, cos k = constk ), или тангенсная проекция на n централизованную «E ». Для геометрии Лобачевского – Больяи модель Клейна есть её центральное проективное отображение на указанную n проективную гиперплоскость «E ». (Заметим, что впервые эту модель для неё предложил Бельтрами.) Все эти отображения по отношению к гиперплоскости проектирования – двухсторонние и двухсвязные.

§ 12.1. Проективные модели сопутствующих геометрий + 1 u А y ‹P n › vCII u CuCII uv iR v OII O v x C1 OI (OI ) - R B «E n» O x OII OI OI (OI) + R II I 0 (0) II 0 0 I () Рис. 4. А) Тригонометрические соответствия точек гиперболоидов Минковского I и II в псевдоплоскости ротации.

В) Проективные модели Клейна гиперболоида II (тангенсная) и I (котангенсная), относительно овального абсолюта Кэли, на проективной гиперплоскости.

(1) гиперболоид I, (2) гиперболоид II, (3) абсолют Кэли, (4) пара смежно параллельных прямых (геодезических) внутри и вне абсолюта, (5) различные варианты соответствий прямых внутри и вне абсолюта.

Общим для них является то, что мера Ламберта трансформируется в проективную меру. Кроме того, изоморфизм в целом, как известно, включает одну и ту же топологию геометрических пространств 172 Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского с точностью до их гомеоморфизма. В рассматриваемом случае это есть топология внутренней области овального абсолюта Кэли. Поскольку последняя не включает в себя абсолют, то есть не имеет границы, то такая область проективной гиперплоскости n n «E » топологически эквивалентна ‹E ›. (То же относится к двум антиподным пространствам Лобачевского – Больяи и к обеим частям n гиперболоида II.) Все они по сути имеют топологию ‹ ›.

n Внутри овального абсолюта на проективной гиперплоскости «E » действует проективная мера в тангенсной форме «R·th a / R», отождествляемая с евклидовой мерой. В модели Клейна внутри абсолюта проективная мера ограничена радиусом R. При R гиперболоид II n и пространство Лобачевского – Больяи трансформируются в ‹E ›.

Если = a / R 0, то есть либо a 0, либо R, то R·th a / R a;

при этом в обоих вариантах меры Ламберта и Евклида совпадают.

В свою очередь, для односвязного гиперболоида I тождественность псевдоевклидовой меры и меры Ламберта объясняется тем, что внешняя гиперболическая геометрия на нём изоморфна в целом (а, следовательно, и в малом) внутренней цилиндрической гиперболической геометрии.

Цилиндрическое гиперболическое пространство отличается от пространства Лобачевского-Больяи с той же метрикой только в большом, а именно тем, что оно топологически эквивалентно цилиндрическому евклидову пространству или наиболее общо – аффинному цилиндру.

Обе гиперболические геометрии с цилиндрической топологией центральными проективными преобразованиями приводятся к одной и той же форме – модели Клейна вне овального абсолюта Кэли. Для внешней геометрии на гиперболоиде I модель Клейна (вне абсолюта) есть её центральное проективное отображение (рис. 4) на проективную n гиперплоскость «E ».

С тригонометрической точки зрения модель Клейна (вне абсолюта) есть её котангенсное отображение в векторной форме ( : cth, n cos k = constk), или котангенсная проекция на централизованную «E ».

В другой, тангенсной цилиндрической модели, ортогональной предыдущей, тангенсная проекция отображается на боковую гиперповерхность централизованного гиперцилиндра с радиусом R и с высотой 2R, расположеного между двумя овальными абсолютами.

Для цилиндрической гиперболической геометрии модель Клейна (вне абсолюта) есть её центральное проективное отображение на указанную n гиперплоскость «E »; а цилиндрическая модель есть её последующее гомеоморфное отображение на цилиндрическую евклидову гиперповерхность радиуса R. Все отображения в модели Клейна (вне абсолюта) по отношению к гиперплоскости проектирования – двухсторонние и односвязные.

§ 12.1. Проективные модели сопутствующих геометрий Последнее свойство обусловлено непрерывностью отображения n гиперболоида I на обе стороны области гиперплоскости «E », находящейся вне абсолюта. (Топологическая связь между обеими этими сторонами модели Клейна осуществляется через бесконечно n удалённую условную границу проективной гиперплоскости «E ».) Для цилиндрической модели это же утверждение вполне очевидно.

Гиперболоид I и соответственно цилиндрическое гиперболическое пространство аналогично, но не топологически разделяются на две половинные части – с положительным и с отрицательным направлением оси y. Цилиндрическая модель также разделяется n пополам гиперплоскостью «E ». Выбор знака для углов движений Г и осуществляется, согласно вышеуказанной схеме, с учётом направления оси y (по знаку dy). В модели Клейна вне овального n абсолюта на проективной гиперплоскости «E » действует проективная мера в котангенсной форме «R·cth a / R», отождествляемая с евклидовой мерой. При R гиперболоид I и цилиндрическое гиперболическое пространство вырождаются вместе с абсолютом в бесконечно удалённую границу проективной гиперплоскости.

В цилиндрической модели на внутренней области между двумя овальными абсолютами на проективном гиперцилиндре действует проективная мера в тангенсной форме, а именно как «R·th a / R», отождествляемая с евклидовой мерой. Если a 0, то = a / R и R·th a / R a; при этом меры Ламберта и Евклида совпадают.

В этом отображении (n – 1)-мерный центральный пояс гиперболоида I и цилиндрической модели (радиуса R) является автоморфизмом.

Причём в модели Клейна вне абсолюта ему соответствует бесконечно удалённая граница проективной гиперплоскости.

Кроме того, гиперболоид I и цилиндрическое гиперболическое пространство, в принципе, возможно отобразить изометрично в целом на гиперпсевдосферу Бельтрами с теми же параметрами n и R. При этом последняя рассматривается как топологически односвязная гиперповерхность (эквивалентная цилиндрической гиперповерхности).

Гиперболическая геометрия на её верхней и нижней частях увязывается воедино с положительными, нулевым и отрицательными значениями угла. (Доказательство данного изоморфизма приводится в главе 6А Приложения.) Уравнение овального абсолюта для всех вышеуказанных гиперболических геометрий (2-х внешних и 2-х внутренних) одно и то n же: xk2 = R2. Сумма 2-х сопутствующих неевклидовых пространств k = и разделительного изотропного конуса отображается двухсторонне 174 Глава 12. Тригонометрия псевдоевклидова пространства Минковского n на всю проективную гиперплоскость «E ». Точно также сумма двух гиперболоидов Минковского и изотропного конуса отображается n n+ двухсторонне на всю «E ». Данная конструкция в ‹P ›, состоящая из гиперболоидов I и II Минковского, в том числе в её тангенснокотангенсном отображении на проективную гиперплоскость или в её тангенсном отображении на проективный гиперцилиндр по сути олицетворяет некое трёхсвязное гиперболическое пространство.

Его внешняя, односвязная часть трактуется как гиперболическое неевклидово пространство с парой антиподных «чёрных дыр». Роль последних выполняют антиподные пространства Лобачевского - Больяи.

В моделях Клейна оба сопутствующие гиперболические пространства трансформируются в области проективной гиперплоскости n «E » внутри и вне абсолюта радиуса R. С учётом последнего факта, если прямые (геодезические) и их формальные продолжения в односторонних тангенсно-котангенсных моделях Клейна (внутри и вне абсолюта) рассматриваются вместе, то тогда их смежная параллельность в сопутствующих пространствах обусловливается на n проективной гиперплоскости «E » пересечением в какой-либо точке абсолюта (рис. 4). В цилиндрической модели оба сопутствующие гиперболические пространства трансформируются в два основания и в боковую поверхность проективного гиперцилиндра. Диаметр и высота этого гиперцилиндра равны 2R.

Обе сопутствующие геометрии вместе с геометрией изотропного конуса целесообразно, на наш взгляд, трактовать как единую гиперболическую геометрию с группой Лоренца, задаваемой рефлектортензором в псевдоевклидовом пространстве Минковского.

Pages:     | 1 |   ...   | 19 | 20 || 22 | 23 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.