WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 43 |

qn qq qn qq Z Rot Z - I Гиперболические ротации, согласно (469), своими тригонометрическими клетками должны отвечать двум равным блокам, взятым из положительной и отрицательной единичных частей рефлектор-тензора.

В частности, при q = 1 они имеют формы (363), (364).

§ 11.3. Полярное представление псевдоевклидовых ротаций Любое линейное непрерывное геометрическое преобразование в пределах одной из вышеуказанных полостей изотропного конуса всегда сводится к какому-то тригонометрическому преобразованию из группы ‹T›. При этом в универсальном базисе любое общее преобразование (460) через полярное представление сводится к произведению одной ортосферической и одной гиперболической ротационных матриц:

T = Roth Г · Rot = Rot · Roth Г, (474), (475) где Roth Г = TT = Roth 2, Roth Г = T T = Roth 2, -1 -Rot = TT ·T = Roth (- Г) ·T = T· T T = T ·Roth (-Г), Roth Г = Rot · Roth Г· Rot. (476) 162 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Полярное представление выводится следующим образом:

T = TT ·R = R·(R· TT ·R) = R· T T, (R·TT·R = T T), det T = + 1 det R = + 1 R = Rot ;

(460) (T T) ·I · ( T T) = I = (T T) ·I · ( T T) (471) T T = Roth 2Г, TT = Roth Г (474).

T T = Roth 2Г, T T = Roth Г (475) (476).

Отметим, что в силу (476), Г и Г имеют один и тот же спектр ‹j›.

Далее полярное представление-произведение общего ротационного преобразования применяется для упрощённого описания многоступенчатых гиперболических ротаций и, в частности, таковых релятивистских движений в СТО, а также многоступенчатых движений во внешних и во внутренних сферической и гиперболической геометриях. Заметим, что в классическом полярном представлении модального линейного преобразования V = V V · R = R · V V (477), (478) матрицы R и V V выражены в координатах какого-либо единичного декартова базиса. В этом базисе они являются самостоятельными преобразованиями – ортогональным и симметричным. Но по геометрической сути полярного представления эти преобразования действуют последовательно, а именно ортогональное – в базисе 1 = {I}, симметричное – в базисе = R·1 = {R}. Поэтому второе преобразование V V нужно транслировать из координат базиса в координаты базиса 1. Тогда обе матрицы в произведении (477) выражаются в исходном базисе 1: V = (R· V V·R)·R = V V ·R. Если же использовать матрицы преобразований в координатах базисов, где они действуют, то есть в исконном виде, то тогда их последовательность в полярном представлении становится обратной, что соответствует (478). В этом заключается суть различия между формами (477) и (478).

Тот же смысл наглядно проявляется при пассивном преобразовании координат одного и того же линейного элемента:

-1 -u = V -1· u (1) = V V · R· u (1) = V V · u (1s), (479) где каждое из обратных преобразований действует в своем базисе.

В линейном псевдоевклидовом пространстве выделим множество правых псевдодекартовых базисов ‹T·1›. Все они ротационно конгруэнтны. Переход из 1 к новому базису, согласно (474), (475), представляется в двух полярных формах:

§ 11.3. Полярное представление псевдоевклидовых ротаций = T·1 = Roth Г·Rot ·1 = {Roth Г·Rot }, (480) = T·1 = Rot ·Roth Г·1 = {Rot ·Roth Г}. (481) Здесь ротационные матрицы Rot и Roth Г выражены в координатах какого-либо единичного универсального базиса. В этом базисе их можно рассматривать как самостоятельные ротационные преобразования – сферическое и гиперболическое. Но в полярном представлении они действуют последовательно. А именно сферическое – в базисе 1 = {I}, гиперболическое – в базисе 1u = Rot ·1 = {Rot }. После трансляции второго преобразования из 1u в 1 обе матрицы выражаются в 1, что соответствует (480). Если же использовать матрицы преобразований в координатах базисов, где они действуют, то тогда их последовательность в полярном представлении становится обратной, что соответствует (481). Итак, истинно гиперболическая ротация Roth Г совершается в базисе 1u после сферической ротации исходного базиса 1.

В матрице любого псевдодекартового базиса i первые n столбцов n задают собственное ‹E ›(i), остальные q столбцов задают собственное q ‹E ›(i) метрического тензора I в сумме (452). С учётом структуры (473) для матрицы Rot при преобразовании из любого универсального n q базиса (467) новые собственные подпространства ‹E › и ‹E › задаются тождественно столбцами любой из матриц:, T и Roth Г. Например, из (480) имеем:

n ‹E › im [](n + q)n im [T](n + q)n im [Roth Г](n + q)n, (482) q ‹E › im [](n + q)q im [T](n + q)q im [Roth Г](n + q)q, где в квадратных скобках взяты либо первые n, либо остальные q n+столбцов. В частности, в пространстве Минковского ‹P › при n преобразовании из универсального базиса новые ‹E › и ось y задаются тождественно столбцами матриц:, T и roth Г. Последняя как элементарная имеет структуру (363), (364). Смысл сказанного состоит в том, что любое тригонометрическое преобразование (460), n применительно к собственным евклидовым подпространствам ‹E › q и ‹E › в целом как множествам точечных элементов, в исходном универсальном базисе сводится к их чисто гиперболической ротации, взятой из представления (474). В частности, это справедливо для оси y в пространстве Минковского, так как она в целом является собственным подпространством тензора I. Следовательно, используя полярное представление (474), любое сложное тригонометрическое преобразование T универсального базиса, например многоступенчатое, для собственных подпространств метрического тензора сводится 164 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств к их чисто гиперболической ротации Roth Г = TT. Напомним, что матрицы всех псевдодекартовых базисов (которые, в частности, задают собственные подпространства метрического рефлектортензора) выражаются в исходном универсальном базисе 1 = {I}.

В универсальных координатных базисах в СТО описываются мировые события (процессы и фиксации) именно с точки зрения относительно неподвижного наблюдателя. Среди них 1 = {I} – простейший по форме исходный базис. В частности, в универсальных базисах реализуется сферическо-гиперболическая аналогия любого конкретного типа, например синус-тангенсная (§ 6. 2).

qq Кроме того, заметим, что при q = 1 матрица Rot в (473) вырожn+дается в единицу. Поэтому в ‹P › непрерывное преобразование Лоренца любой точки на оси y, независимо от исходного базиса, сводится к её чисто гиперболической ротации – либо как тензорного точечного объекта (при пассивном преобразовании координат), либо как производящего точечного элемента (при активном преобразовании координат). Дадим два примера, которые представляют интерес в СТО и в гиперболической геометрии, а именно:

u( j) = T1j–1·u(1) = roth–1 Г1j· rot–1 1j· u(1) = {roth–1 Г1j} · u(1), (483) 1u где u(1) – точечный объект, выраженный в базисе 1, причём u(1) ‹y›(1);

u( j) – тот же точечный объект в базисе j = T1j·1.

( T1j – пассивное преобразование координат объекта.) u = T· u1 = roth Г1j· rot 1j · u1 = roth Г1j· u1, (484) j где u1 – производящий точечный элемент, причём u1 ‹y›(1);

u – результирующий точечный элемент.

j ( T – активное преобразование координат элемента.) Вышеизложенное представление общего тригонометрического преобразования собственных подпространств в целом их гиперболической ротацией, вообще говоря, не относится к каким-либо подмножествам этих подпространств, например к координатным осям базиса. Из (481), где матрицы выражены в базисах своего действия, но даны в обратном порядке, следует, что координатные оси последовательно подвергаются сферической ротации Rot и гипер- болической ротации Roth Г.

Матрица преобразования T может рассматриваться как двух- валентный, псевдоевклидово квазибиортогональный тензор в силу (460). То же относится и к матрице базиса = T·{I}. Этот тензор расщепляется на пару однородных и пару смешанных тензоров, то есть однородные (nn и qq) и смешанные (nq и qn) бипроекции:

§ 11.4. Многоступенчатые гиперболические ротации n []nn – проекция на исходное ‹E › пространствуподобных единичных n векторов базиса как проекции базиса на новое ‹E ›;

q []qq – проекция на исходное ‹E › времениподобных единичных q векторов базиса как проекции базиса на новое ‹E ›;

[]nq и []qn – аналогичные смешанные проекции.

При транспонировании матрицы базиса проекции отражаются зеркально относительно её главной диагонали. Это, например, происходит при изменении последовательности многоступенчатых гиперболических ротаций на противоположную.

§ 11.4. Многоступенчатые гиперболические ротации Многоступенчатые гиперболические ротации в случае тригонометрической согласованности ротационных матриц между собой (гл. 5, 6) остаются чисто гиперболическими. Это соответствует в ротациях (363), (364) и в СТО для суммируемых движений (скоростей) равенству направляющих косинусов с точностью до общего коэффициента «±1». При этом гиперболические углы в итоговой ротационной матрице суммируются алгебраически, то есть с учётом знака данного коэффициента. Но если частные ротационные матрицы не согласованы тригонометрически между собой (хотя все они согласованы с рефлектор-тензором), то тогда многоступенчатые гиперболические ротации сводятся, как правило, к общему тригонометрическому преобразованию, в том числе в полярных формах (474), (475).

Пусть в каком-либо единичном базисе {I} заданы матрицы частных гиперболических ротаций:

Roth Г12, Roth Г23, …, Roth Г(t -1) t.

Как преобразования они осуществляются последовательно в базисах:

1 = {I}, 2 = {Roth Г12}()·1, …, t -1 = {Roth Г(t - 2)(t - 1)}( )·.

t - t - После трансляции матриц частных ротаций из координат базисов, где они действуют, в координаты исходного базиса 1 получаем формулу итогового многоступенчатого преобразования базиса t = Roth Г12· Roth Г23·…· Roth Г(t -1) t· 1. (485) Например, её можно доказать по индукции, начиная с t = 3:

3 = {Roth Г12·Roth Г23·Roth-1Г12}()·{Roth Г12}()·1 = = Roth Г12·Roth Г23·1. (486) 166 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств В формулах (485), (486) в итоге имеет место обратный порядок расположения частных гиперболических матриц, так как они задают последовательные преобразования базиса в координатах собственных единичных базисов.

В свою очередь, координаты тензорных объектов преобразуются пассивно, но в прямом порядке расположения матриц:

u(t) = Roth (- Г(t -1) t) ·…· Roth (- Г23) · Roth (- Г12) · u(1), (487) u(3) = Roth (- Г23) · Roth (- Г12) · u(1) = Roth (- Г23) · u(2). (488) Здесь модальные матрицы также выражены в координатах собственных единичных базисов 1, 2,...,, то есть как они были заданы исконно t -в единичном базисе {I}.

В псевдоевклидовой геометрии матрица чисто гиперболической ротации – либо симметричная, либо нет, но всегда простая. Всё зависит от того, в каком базисе она действует и выражается. Общее правило тут такое. Эта матрица всегда симметричная в любом псевдодекартовом базисе своего действия = Т·1 как модальная.

В координатах же исходного базиса 1 при T ‹Rot › она несим-метричная. Матрицы вида {T·Roth Г·T } и {Roth Г} представляют одну и ту же гиперболическую ротацию, заданную соответственно в универсальном базисе и в псевдодекартовом базисе своего действия.

Простая матрица гиперболической ротации также принадлежит группе Лоренца. Её W-форма и собственные углы j – те же, что и у симметричной матрицы. Это выделяет множество чисто гиперболических ротаций с простыми матрицами в группе Лоренца.

Конечно, аналогичные выводы относятся к сферическим ротациям -{T· Rot ·T } и {Rot }. Они, как и гиперболические ротации,, либо в базисе могут быть выражены либо в универсальном базисе своего действия.

При активном многоступенчатом гиперболическом ротационном преобразовании производящего точечного элемента в 1 частные модальные матрицы образуют обратный порядок, так как те же матрицы действуют последовательно в своих базисах:

, ut = Roth Г12· Roth Г23·…· Roth Г(t -1)t· u1 (489) u3 = Roth Г12· Roth Г23· u1 = {Roth Г23}2·u2. (490) Все вышеуказанные соотношения (485) – (490) выражают частные случаи общего правила многоступенчатых линейных преобразований.

Например, аналогичные последовательности из сферических ротационных матриц составляются в евклидовой геометрии для многоступенчатых сферических движений.

§ 11.4. Многоступенчатые гиперболические ротации Для анализа многоступенчатых гиперболических ротаций используется полярное представление:

= Roth Г · Rot · 1 = Rot · Roth Г · 1, (491) j u( j) = Roth (- Г ) · Rot (- ) · u(1) = {Roth (- Г )}1u· u(1u), (492) A( j) = Roth (-Г ) · Rot (- ) ·A(1) = {Roth (- Г )}1u·A(1u). (493) Таким образом, двух- и многоступенчатые гиперболические ротации в общем случае разлагаются на две составные ротации чистых типов:

сферическую и гиперболическую.

Согласно (491) во втором варианте, сначала осуществляется внутренняя сферическая ротация (1) угол исходного базиса на n q вместе с ‹E ›(1) (на nn) и ‹E › (на qq). При этом указанные собственные подпространства в целом как множества остаются постоянными. Затем осуществляется гиперболическая ротация на n n q q угол Г смещённого базиса 1u вместе с ‹E ›(1) ‹E ›(1u) и ‹E ›(1) ‹E ›(1u).

Именно так она воспринимается из 1u. Но в 1 эта же ротация воспринимается как на тензорный угол Г по первому варианту (491).

В формулах (492), (493) выражены соответствующие изменения координат одновалентного тензорного объекта (линейного элемента u или линеора A ). Эти изменения геометрически воспринимаются так, как если объект сначала был подвергнут сферической ротации на угол, а затем гиперболической ротации на угол Г. Но последняя из 3+воспринимается как ротация Г. В пространстве Минковского ‹P › как пространстве событий СТО это изменение первоначальной сферической ориентации на угол неточечного объекта в евклидовом подпространстве в результате последовательного сложения скоростей с отличающимися направлениями является тоже релятивистским эффектом (именуемым по физической терминологии как буст), равно как и гиперболический характер закона сложения скоростей.

n+q В свою очередь, в общем псевдоевклидовом пространстве ‹P › изменяется внутренняя сферическая ориентация гиперболических n q проекций тензорного объекта в ‹E › (на угол nn) и в ‹E › (на угол qq) относительно декартовых осей базиса этих подпространств. При противоположной последовательности частных ротаций имеем:

( T T), []nq {[]qn}, (494) Г Г.

Pages:     | 1 |   ...   | 18 | 19 || 21 | 22 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.