WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 43 |

Тензорная тригонометрия, в принципе, применима в решении разнообразных задач геометрий с квадратичными инвариантами, реализуемых в многомерных арифметических пространствах и во вложенных в них подпространствах постоянной кривизны. В качестве отдельных примеров специфического применения новых методов тензорной тригонометрии в линейной алгебре дано спектральное представление собственных проекторов, тригонометрическая теория простых квадратных корней из единичной матрицы, а также показана тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности простых матриц.

Основная часть монографии состоит из двух разделов. В первом из них (главы 1 – 4) рассматривается ряд аспектов теории точных матриц, необходимых для обоснования вновь вводимых геометрических и тригонометрических характеристик матричных объектов в многомерных арифметических пространствах с квадратичной метрикой.

Второй раздел (главы 5 – 12) посвящён тензорной тригонометрии.

В качестве весьма важного частного и простейшего случая дано представление тензорных тригонометрических ротаций и деформаций в элементарных формах (то есть с одним собственным углом движения и с реперной осью для его отсчёта). Показано, что при этом открываются новые интересные возможности для изучения движений в неевклидовых геометриях постоянной кривизны и в теории относительности. Эти вопросы освещаются в монографии достаточно подробно в отдельном приложении (главы 1А – 10А).

Отметим также то особое обстоятельство, что монография с данным приложением выходит в свет в преддверии отмечаемых научным миром в 2004 – 2005г г. двух знаменательных Юбилеев: 175-летия со времени первой и основополагающей публикации по неевклидовой геометрии – «О началах геометрии» Н. И. Лобачевского, а затем «Аппендикса» Я. Больяи, и 100-летия со времени открытия Г. Лоренцем, А. Пуанкаре и А. Эйнштейном изначальных законов теории относительности.

Именно этим историческим событиям в фундаментальной науке и их великим творцам она посвящается.

В заключение автор считает своим долгом почтить светлую память известного российского математика Михаила Михайловича Постникова, просмотревшего незадолго до своей безвременной кончины рукопись монографии и давшего на неё положительный отзыв.

Используемые обозначения 1. Обозначения матриц (матричный алфавит) А – прямоугольная матрица или nr-линеор, {lig (t)A} – субматрица строк А порядка t, {col (t)A} – субматрица столбцов А порядка t, A+– (сферически ортогонально) квазиобратная матрица Мура – Пенроуза, В – квадратная матрица или внешняя мультипликация линеоров А1 и А2, B – – аффинно (гиперболически ортогонально) квазиобратная матрица, Bi = (B – i·I) – i-я собственная матрица для В, Bp – нуль-простая матрица, B или Bp – аффинный проектор на ‹im B› параллельно ‹ker B› или гиперболически ортогональный проектор на ‹im В›, B или Bp – аффинный проектор на ‹ker B› параллельно ‹im В› или гиперболически ортогональный проектор на ‹ker B›, Bm и Bn – (адекватно и эрмитово)нуль-нормальные матрицы, BB или Bm ( Bn ) – сферически ортогональный проектор на ‹im В›, BB или Bm ( Bn ) – сферически ортогональный проектор на ‹ker B›, {D-minor (t)B} – диагональный минор В порядка t, {Dh-minor (t)B} – гиподиагональный минор В порядка t, C – внутренняя мультипликация линеоров А1 и А2 или свободный матричный множитель, в том числе клеточный, C – матрица клеточной формы, D – диагональная матрица, D{P} – диагональная форма простой матрицы Р, 10 Используемые обозначения E – матрица единичного полирёберного угла, – матрица единичного базиса, F – матрица-функция, G – метрический тензор, G и G – метрические тензоры риманова и псевдориманова прос транства, H – (эрмитово симметричная) эрмитова комплексная матрица, I – единичная матрица, { I }S и I – фундаментальный рефлектор-тензор квази- или псевдоевклидова пространства, ориентированного и нет, J – матрица жордановой формы, K – матричный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы В порядка t либо 1-го рода K1(B,t), либо 2-го рода K2(B,t), KB() – матричный характеристический многочлен от параметра для матрицы В, L – треугольная матрица, L – матрица клеточной треугольной формы, M – (адекватно) нормальная вещественная или комплексная матрица, N – (эрмитово) нормальная комплексная матрица, O – нильпотентная матрица, P – простая матрица, Q – редуцированный матричный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы В порядка t либо 1-го рода Q1(B,t), либо 2-го рода Q2(B,t), QB() – редуцированный матричный характеристический многочлен от параметра матрицы В, R – (адекватно) ортогональная вещественная или комплексная матрица, Rq – квазиортогональная матрица, S – симметричная матрица, S – положительно определённая симметричная матрица, T – матрица ротационного тригонометрического преобразования, U – (эрмитово ортогональная) унитарная комплексная матрица, V – матрица общего линейного преобразования (активного и пассивного), W – моно-бинарная клеточная форма простой матрицы, X и Y – матрица-аргумент, Z – нулевая матрица.

Используемые обозначения 2. Обозначение тензорных углов и их функций Ф = Ф и Ф = – Ф – основной сферический угол, проективный и моторный, Rot Ф (rot Ф) – матрица ротации на угол Ф, в том числе элементарной, Def Ф (def Ф) – матрица деформации на угол Ф, = (/2 – Ф) – дополнительный к Ф (до прямого угла /2) сфериче ский угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору), Г = – Г и Г = Г – основной гиперболический угол, проективный и моторный, Roth Г (roth Г) – матрица ротации на угол Г, в том числе элементарной, Defh Г (defh Г) – матрица деформации на угол Г, – дополнительный к Г (до бесконечного прямого угла ) гиперболи ческий угол (все три угла отвечают рефлектор-тензору), – ортосферический угол ортогональной ротации по отношению к Ф или Г, = Ф + i·Г и = Ф + i·Г – комплексные сферические углы, проектив ный и моторный, = * и = – * – эрмитов сферический угол, проективный и моторный.

3. Обозначения пространств n ‹A › – арифметическое (аффинное) пространство размерности n, ‹E n› – евклидово пространство размерности n, n + q ‹E › – комплексное бинарное евклидово (псевдоевклидово) пространство индекса q и размерности (n + q), ‹P k› – подпространства пересечений собственных пространств, ‹P n + q› – вещественное псевдоевклидово пространство индекса q и размерности (n + q ), n + q ‹Q › – вещественное квазиевклидово пространство индекса q и размерности (n + q).

12 Используемые обозначения 4. Прочие обозначения Cnt – биномиальные коэффициенты Ньютона, ||A||F – норма Фробениуса матрицы A, ||A||th – определённая геометрическая норма матрицы или линеора А порядка t и степени h, |{B}|th – полуопределённая геометрическая норма квадратной матри цы В порядка t и степени h, det B – детерминант (определитель) матрицы B, dim … – размерность пространства …, Dl (r)B – дианаль квадратной матрицы B, численно равная сумме детерминантов всех её базисных диагональных миноров, ‹im B› – образ матрицы B, ‹im A› – образ матрицы A, ‹ker B› – ядро матрицы B, ‹ker A› – ядро матрицы A, k (B,t) – скалярный характеристический коэффициент для сингулярной матрицы B порядка t, kB () – скалярный характеристический многочлен от параметра для матрицы B, l и l – евклидова и псевдоевклидова протяжённость, mt и M – средние алгебраические и средние степенные порядка t и, Mt (r)A – минорант матрицы А, численно равный квадратному корню из суммы квадратов детерминантов всех её базисных миноров, n – размерность аффинного или евклидова пространств, q (B,t) – редуцированный скалярный характеристический коэффици- ент для сингулярной матрицы B порядка t, qB () – редуцированный скалярный характеристический многочлен от параметра для матрицы B, r = rang B или rang A – ранг матрицы, r – 1-й рок сингулярной матрицы B, то есть максимальный порядок ненулевого коэффициента k (B,t), r – 2-й рок сингулярной матрицы B, то есть максимальный порядок ненулевых коэффициентов K1,2 (B,t), si = (n - ri ), si = (n - ri) и si° = (ri - ri + 1) – геометрическая, алгебраическая и аннулирующая кратность собственного значения i, t (или ) – порядок характеристик (либо размер выборки из совокупности чисел, либо размер миноров матрицы), tr B – след B, vt и V – реверсивные средние алгебраические и средние степенные порядка t и.

Используемые обозначения Используемые обозначения – скалярный основной гиперболический угол, – скалярный сферический эрмитов угол, – скалярный угол ортосферической ротации, ортогональной по от- ношению к или, – дополнительный к (до бесконечного прямого угла ) гиперболи ческий угол, i – i-е собственное значение матрицы B, – размерность пространства пересечения im A1 и im A2, – размерность пространства пересечения im A1 и ker A (или im A2 и ker A ), – дополнительный к (до прямого угла /2) сферический угол, – открытый сферический угол, i – i-е собственное значение матрицы AA или AA, – скалярный основной сферический угол, = Arsh 1 – особый гиперболический угол, отвечающий фокусу гиперболы.

5. Используемые символы – знак простого транспонирования, * – знак эрмитового транспонирования, – множество… принадлежит множеству…, – множество… принадлежит или тождественно множеству…, – элемент… принадлежит множеству…, – элемент… не принадлежит множеству…, U – знак объединения множеств, – знак пересечения множеств, – знак тождества множеств, – знак прямого суммирования, – знак сферически ортогональной прямой суммы, – знак гиперболически ортогональной прямой суммы, ~ – обозначение для тензорных углов (сверху) проективного типа, – обозначение для тензорных углов (сверху) в случае многоступен чатых ротаций с обратным порядком частных движений.

Раздел I. Ряд общих вопросов теории точных матриц Тензорная тригонометрия базируется на монобинарном тригонометрическом спектре всех собственных проекторов так называемой нуль-простой nn-матрицы, у которой её образ и ядро образуют прямую сумму. Полный тригонометрический спектр имеют простые матрицы. Существенную роль в выводе и строгом обосновании тригонометрического спектра для нуль-простой nn-матрицы играют коэффициенты её характеристических многочленов – скалярного и матричного. Соответственно структура и свойства скалярных и матричных коэффициентов детально изучаются в главе 1. Здесь формулируется и доказывается в целом генеральное неравенство для средних величин, включающее цепь частных неравенств Маклорена для средних алгебраических – основы вводимых впоследствии иерархических норм.

Показаны также его дополнительные возможности в теории решения алгебраических уравнений. Исходя из найденной структуры матричных характеристических коэффициентов высшего порядка nn-матрицы идентифицирован её минимальный аннулирующий многочлен. В главе 2 устанавливаются явные формулы для собственных проекторов нуль-простой матрицы через её характеристические коэффициенты высшего порядка. Как весьма важный частный случай, дополнительно вводятся и изучаются нуль-нормальные матрицы, у которых образ и ядро образуют прямую ортогональную сумму. В главе 3 определяются скалярные характеристики матриц, имеющие косинусную и синусную природу и обобщающие известные алгебраические нормы для косинуса и синуса угла между векторами в евклидовом арифметическом пространстве. При этом здесь вводятся в рассмотрение в качестве общих линейных геометрических объектов – линеоры A и планары ‹im A›, задаваемые nm-матрицами, где 1 m n (в частности, при m = 1 это векторы и прямые). В главе 4 рассматриваются альтернативные варианты комплексификации характеристик – адекватный и эрмитов при переходе от вещественного арифметического пространства к комплексному. Дан ряд конкретных примеров обоих подходов.

Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов § 1.1. Совместное определение скалярных и матричных коэффициентов В теории точных матриц особое место занимает раздел, относящийся к характеристическим многочленам. Он включает алгебраические и геометрические аспекты. Их детальная проработка необходима нам для последующего построения фундамента тензорной тригонометрии.

Как известно, каждая nn-матрица имеет своё вековое алгебраическое уравнение. Его задаёт скалярный характеристический многочлен от параметра, то есть многочлен со скалярными коэффициентами. Решения векового уравнения суть собственные значения матрицы i. С другой стороны, та же nn-матрица имеет матричный характеристический многочлен от параметра, то есть многочлен с матричными коэффициентами. В данной работе указанные характеристические многочлены квадратной матрицы применяются, как правило, в знакопостоянной форме от противоположного скалярного параметра = –. Введём в рассмотрение сразу же оба типа характеристических многочленов и их коэффициентов, например, по методу Д. К. Фаддеева [45].

Пусть В есть ненулевая nn-матрица ранга r, I – единичная матрица.

Обратимся к следующему преобразованию (резольвенте матрицы):

K () (B + I)V B (B + I) - 1 = =. (1) k () det (B + I) B По существу это есть обычная формула обращения квадратной матрицы (B + I) в виде дроби, в числителе которой находится присоединённая к ней матрица, а в знаменателе детерминант; где – произвольный скалярный параметр. При указанной операции обращения получаются сразу оба характеристических многочлена от, а именно скалярный порядка n в знаменателе дроби и матричный порядка (n - 1) в её числителе:

16 Глава 1. Коэффициенты характеристических многочленов n n - t kB() = k (B,t) · = n + tr B · n - 1 + … + det B, t = n - KB() = K1(B,t) · n - t - 1.

t = В данных многочленах присутствуют скалярные k(B,t) и матричные K1(B,t) характеристические коэффициенты для исходной матрицы B.

Причём последние – пока 1-го рода, а матричные коэффициенты 2-го рода K2(B,t) будут определены позднее. Последовательно увеличивающееся число t есть порядок этих скалярных и матричных коэффициентов. Противоположный параметр = - относится к собственным значениям матрицы B. Аналогичный скалярный многочлен от параметра для матрицы B и её вековое уравнение используются в знакопеременной форме:

kB(- ) = (- )n + tr B · (- )n - 1 + … + det B = 0.

Поэтому определённые выше скалярные коэффициенты порядка t представляют собой суммы Виета или суммы детерминантов всевозможных диагональных миноров размера tt, но без изменения алгебраического знака перед ними. Согласно методу Леверье [45], для матрицы B они вычисляются по рекуррентной формуле Варинга, где осуществляется замена сумм Виета на её характеристические скалярные коэффициенты, а сумм Варинга на её характеристические следы одного и того же порядка t:

t k(B,t) = · (–1) - 1·k(B,t - ) · tr B. (2) t = Это есть рекуррентная формула Варинга – Леверье прямого типа.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.