WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 43 |

n + q n q ‹A › ‹A › ‹iA › CONST. (441) Здесь постоянны, во-первых, суммарное пространство и, во-вторых, n + q размерности слагаемых подпространств. В ‹A › допускаются такие линейные преобразования V, которые сохраняют бинарную структуру:

V V11 i·V12 nn nq V11 ± V I Z =. (442) i·V21 V22 qn qq i·V21 ± i·V Z ± i·I n Первые n столбцов матрицы базиса задают ‹A ›, остальные q столбq -цов задают ‹i A ›. Соответственно модальная матрица V (с такой же матричной структурой) приводит какой-либо бинарный базис к простейшей диагональной (псевдоединичной) форме. Кроме того, она осуществляет пассивное модальное преобразование координат -линейного элемента: z{} = V · z{0}.

Бинарный комплексный базис в тригонометрических формах представляется псевдоединичными матрицами двух типов:

1 0 1 0 -0 = = I, 0 = = I. (443), (444) 0 i 0 - i В любом бинарном комплексном базисе линейный элемент пространства представляется прямой суммой, состоящей из вещественной и мнимой аффинных проекций:

154 Глава 10. Варианты комплексификации тензорной тригонометрии x z = x iy =. (445) iy Ввиду аффинности пространства в целом подпространства-слагаемые и базисы могут подвергаться операции параллельного переноса на элемент (445). Применение базиса (443) целесообразно для представления канонических форм в псевдогиперболическом варианте тригонометрических функций (§ 5.9) с собственными углами ij. Он тождествен (271).

Применение базиса (444) целесообразно для представления канонических форм в псевдосферическом варианте тригонометрических функций (§ 6.1) с собственными углами ij. Он тождествен базису, обратному (271).

Вместе с тем, оба базиса эрмитово сопряжены по отношению друг к другу. Имеем соответствующие модальные преобразования:

- I I cos j - sin j ch (- ij) sh (- ij) 1 0 1, sin j cos j = sh (- ij) ch (- ij) 0 - i 0 i что отвечает преобразованию (322);

- I I ch j sh j cos ij - sin ij 1 0 1 sh j ch j 0 - i = sin ij cos ij, 0 i что отвечает преобразованию (323). Кроме того, базис (444) целесообразен как исходный для изложения псевдоевклидовой геометрии в форме комплексного квазиевклидова изоморфизма.

А именно введём для комплексных линейных элементов бинарного n+q аффинного пространства ‹A ›, выраженных в базисе (444), скалярное произведение с единичным метрическим тензором:

z1·z2 = x1·x2 - y1·y2.

При этом пространство трансформируется в комплексное квазиевклидово пространство с индексом q. Оно представляется прямой сферически ортогональной суммой, состоящей из вещественного и мнимого евклидовых подпространств:

n + q n q ‹E › ‹E › ‹iE › CONST. (446) Здесь знак, как и ранее (§ 8.1), обозначает сферически ортогональное суммирование. По существу это есть комплексное бинарное квазиевклидово пространство, задаваемое рефлектор-тензором I.

Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств § 11.1. Овеществление бинарного евклидова пространства Далее применим к бинарному комплексному квазиевклидову пространству, в том числе к исходному комплексному базису в нём, овеществляющее модальное преобразование:

1 = I 0 = {I}. (447) Последнее выходит за пределы множества допустимых ортогональных модальных преобразований данного квазиевклидова пространства, так как I · I I. Ввиду этого пространство становится иным.

Теперь оно есть вещественное псевдоевклидово пространство с рефлектор-тензором и, вместе с тем, – метрическим тензором I и с индексом q:

z· z = const = ( I · u)· ( I ·u) = u· I · u. (448) Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисе 1 = {I} и обозначается как «u». В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Базис 0 в (447) выражен в единичном базисе 1. Но, если другой исходный координатный базис связан с вышеуказанным универсальным (декартовым) базисом 1 (§ 6.3) каким-либо вещественным линейным преобразованием V, то в нём базисы 1 и 0 выражаются в виде:

1 = {V}-1 (449) ·, -1 -1 - -1 -1 -0 = { I }1· 1 = { V · I ·V} ·{V } · = {V · I }·. (450) -Здесь матрица преобразования I переводится из координат базиса в координаты базиса, как это осуществляется при последовательных модальных преобразованиях [27, с. 428–429]. Скалярное произведение в новом единичном базисе по-прежнему то же, поскольку оно определяет исконную метрическую величину элемента:

z· z = const = ( I ·V· a)·( I ·V· a) = a·{V· I ·V}· a. (451) 156 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Здесь тот же самый линейный элемент z выражен в базисе и обозначается как «a». В скобках осуществляется пассивное преобразование координат. Ввиду несогласованности преобразования V с метрическим рефлектор-тензором I последний претерпевает общее конгруэнтное преобразование G = V · I ·V. (452) Например, такой метрический тензор формально действует в гауссовых криволинейных координатах псевдоевклидова пространства (с искажённой метрикой) как функция от его точечного элемента.

Взаимный метрический тензор выражается в виде:

= {G }–1.

-1 -G = V · I ·V (453) В свою очередь, геометрия с постоянным метрическим тензором (452) изоморфна псевдоевклидовой геометрии с теми же параметрами размерностей n и q. Она по сути есть линейное отображение последней во множестве допустимых аффинных базисов:

‹af › ‹Taf ›·, (454) где формально действует метрический тензор G.

T ·V · I ·V·Taf = T · G ·Taf = G. (455) af af Из (455) следует, что det Taf = ± 1. Чтобы Taf входило в группу непрерывных преобразований, примем det Taf = + 1. Исходя из этого зададим группу аффинных тригонометрических преобразований ‹Taf›, соответствующую тензору G, в виде условий:

T · G ·Taf = G = Const, af (456) det Taf = + 1.

§ 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций Положим в (452) V = R. Тогда имеем метрический тензор пространства как симметричный рефлектор-тензор (см. § 6.3):

G = R·I · R = { I }S. (457) Напомним, что { I}S обозначает некоторый симметричный квадратный корень из I. Метрический тензор (457) действует в ориентированном псевдоевклидовом пространстве. Группа ротационных тригонометрических преобразований ‹T› в нём задаётся с учётом (456) в виде условий:

§ 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций T ·{ I}S ·T = { I}S = Const, (458) det T = + 1.

В частности, метрический тензор (457) формально действует в ориентированном псевдоевклидовом пространстве, задаваемом срединным рефлектором тензорного угла Г, если R = RW, = RW · 1 = {RW}1. В этом пространстве осуществляется гиперболическая интерпретация собственных косогональных проекторов из § 2.1. Отметим также, что допустимые тригонометрические преобразования в псевдоевклидовом пространстве определяются равнозначно как внутренней, так и внешней мультипликацией:

T ·{ I}S· T = { I}S, T ·{ I}S· T ·{ I}S = I, T ·{ I}S· T ·{ I}S·T = T, (459) { I}S· T ·{ I}S· T = I, T ·{ I}S· T = { I}S.

(Соответствующий аналог в евклидовом пространстве: R·R = R·R = I.) Положив в (452) V = I, возвращаемся в неориентированное псевдоевклидово пространство с метрическим рефлектор-тензором I. Группа ротационных тригонометрических преобразований ‹T› в нём задаётся с учётом (458), (459) в виде условий:

T · I · T = I = T · I ·T = Const, (460) det T = + 1.

Она известна как группа однородных непрерывных преобразований Лоренца. Установим изоморфную связь между группами аффинных ‹Taf› и ротационных ‹T› тригонометрических преобразований:

-1 - (V ·T·V) ·{V·I ·V}·(V ·T·V) = {V·I ·V}, -Taf = V ·T·V. (461) Эта формула показывает, что обе группы подобны. Группа ‹T› является трансляцией группы ‹Taf› из аффинных базисов {Taf} в псевдодекартовы базисы {T}. Заметим, что евклидовым аналогом ‹Taf› является группа:

-‹Taf› V ·‹Rot Ф›·V в евклидовой версии тригонометрии - см. § 5.12.

(Тригонометрические функции в ней выражаются в аффинной форме.) 158 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств Псевдоевклидово пространство в каком-либо псевдодекартовом базисе представляется гиперболически ортогональной суммой, состоящей из двух вещественных евклидовых подпространств:

n + q n q ‹P › ‹E › ‹E › CONST. (462) Здесь и далее знак обозначает гиперболически ортогональное суммирование по отношению к метрическому рефлектор-тензору.

Например, ‹ im Bp ker Bp› ‹P r + (n - r)› по отношению к тензору Ref {cos Ф } = Ref {ch Г }. Согласно (462), псевдоевклидово Bp Bp пространство имеет бинарную структуру, задаваемую I и конкретным псевдодекартовым базисом. Одновалентный тензор в этом пространстве расщепляется на две гиперболически ортогональные проекции n q – на ‹E › и на ‹E ›. Двухвалентные тензоры расщепляются на пару n однородных проекций nn (бипроекция на ‹E ›) и qq (бипроекция q на ‹E ›) и пару смешанных проекций nq и qn. В частности, при q = это суть nn-тензор, скаляр и пара векторов. Для одновалентных тензоров определяются внутренняя и внешняя мультипликации:

a1 · I ·a2 = c12, (463) A1 · I ·A2 = C12.

I · T·{a1a2}·T· I = B12, (464) I · T ·{A1A2}· T · I = B12.

Как видно, указанные мультипликации транслируются именно в исходное бинарное комплексное евклидово пространство (446).

Вследствие этого они применимы в формулах евклидовой геометрии, включая тензорную тригонометрию. В частности, применяя к этим мультипликациям соотношения (120), (121), получаем псевдоаналоги данных формул:

с12 = tr B12, a · I ·a = tr { I · T·{aa}·T· I }, (465) k (C12,t) = k (B12,t), k [(A · I ·A),t] = k{( I ·T·AA ·T · I ),t}.

Для векторных и линеорных объектов в псевдоевклидовом пространстве эти скалярные характеристики являются по сути соответствующими псевдонормами.

При t = r определяются псевдоминорант и дианаль:

Mp 2(r) A = k{( I ·T·AA ·T · I ), r} = det (A· I ·A), (466).

Dl (r) B12 = k (B12,r) = det C§ 11.2. Группа псевдоевклидовых ротаций Одновалентные тензорные объекты псевдоортогональны, если C12 = Z (c12 = 0), – по аналогии с (155) – и хотя бы частично псевдоортогональны, если det C12 = 0, – по аналогии с (229). Сферическая ортогональность может иметь место между объектами, находящимися оба в n q ‹E › или оба в ‹E ›. Гиперболическая ортогональность может иметь n q место между объектами, находящимися порознь в ‹E › и в ‹E ›.

Множество универсальных базисов (352) тождественно множеству согласованных с тензором I ортосферических ротационных матриц:

‹1u› ‹ Rot ›·{I} ‹{Rot }›, (467) Rot · I · Rot = I = Rot · I ·Rot.

Согласованные с метрическим тензором общие ротационные матрицы и рефлекторы не изменяют ни внутренние мультипликации (463), ни собственные углы между линейными объектами (векторами, линеорами, планарами). Заметим, что рефлекторы в ‹P n + q› могут быть сферически, гиперболически и псевдоевклидово ортогональными.

Линейное (централизованное) псевдоевклидово пространство по отношению к метрике распадается на 3 характеристических подпространства. Первое из них – разделительная плоская (коническая) гиперповерхность, или вещественный изотропный конус второго порядка:

n q 2 = xk2 - yt2 = 0 (для тензора I ), k = 1 t = 2 = x · G · x = 0 (для тензора G = Const).

Здесь 2 обозначает квадратичный метрический инвариант. Как отсюда видно, на конусе метрика везде нулевая. Вершина изотропного конуса находится в начале координат. Его образующие – центральные прямые лучи. В свою очередь, изотропный конус как гиперповерхность разделяет пространство на две части ( n q ). Это внешняя полость конуса, где 2 > 0. (Внешняя полость – объединённое множество всех n ‹E ›.) И это внутренняя полость конуса, где 2 < 0. (Внутренняя полость q – объединённое множество всех ‹E ›.) При q = 1, а именно в пространстве Минковского, последняя как геометрический объект распадается ещё на 2 части. Как принято в СТО, это верхняя внутренняя полость, или конус будущего - с положительным направлением оси y и это нижняя внутренняя полость, или конус прошлого – с отрицательным направлением оси y. В данном q случае линейное подпространство ‹E › вырождается в направленную ось y (в СТО - стрела времени). Кроме того, внешняя и внутренняя 160 Глава 11. Тригонометрия общих псевдоевклидовых пространств полости содержат одно- и двухсвязный гиперболоиды Минковского – гиперповерхности с инвариантами 2 > 0 и 2 < 0.

В псевдоевклидовом пространстве метрические инварианты первой степени (гл. 9), как и метрика, – либо вещественные (вне конуса), либо мнимые (внутри конуса), либо нулевые (на конусе). Вещественные инварианты определяются также как пространствуподобные; мнимые инварианты определяются также как времениподобные (как принято в СТО). В случае же n < q понятия “вещественный” и “мнимый” меняются местами, если пространство мнимонизируют. (Изоморфизм между псевдоевклидовым и псевдоантиевклидовым пространствами.) Собственные углы в ротациях (460), в формах W или аналогичные углы между линейными объектами – вещественные величины, но либо сферические ( или ), либо гиперболические ( ). Покажем k t j это исходя из ротационных матриц (460) самой простой структуры, согласованной с знакопостоянными и знакопеременными фрагментами тензора I. В диагональных формах таких нетривиальных структур нет.

Однако в формах W таковыми структурами являются только два чистых ротационных тригонометрических типа, изученные ранее в гл. 5 и 6:

T = {Rot (± )}can {I } cos sin 1 k k, (468) sin cos k k T = {Roth (± Г)}can ch j sh j 1. (469) sh j ch j Из этих прародительских структур путём допустимого модального преобразования RW порождаются два чистых типа ротационных матриц T, выражаемых в каком-либо универсальном базисе как базисе своего действия, а именно:

RW(1)·{Rot }сan·R = Rot = T(1), W(1) (470) T(1)·T(1) = I = T(1)·T(1), det T(1) = + 1;

RW(2)·{Roth Г}сan·R = Roth Г = T(2), W(2) (471) T(2) = T(2), det T(2) = + 1.

Заметим, что применение модальных матриц, несогласованных с тензором I, привело бы к изменению последнего, то есть к нарушению § 11.3. Полярное представление псевдоевклидовых ротаций условия (460). Следовательно, группа ‹T› включает как чистые типы две существующие разновидности вещественных ротационных матриц бинарной тригонометрической структуры: Rot и Roth Г (гл. 6).

В самом общем случае эти матрицы в преобразовании T могут образовывать какую-либо последовательность частных сферических и гиперболических ротаций, выраженных в универсальном базисе:

T = … · Rot (t -1)t· Roth Г(t -1)t· …. (472) Однако все частные ротации должны быть тригонометрически согласованы с тензором I. Данное согласование, имея ввиду структуры ротационных матриц и тензора, означает следующее. Сферические ротации, согласно (468), должны отвечать либо положительной, либо отрицательной единичным частям тензора, либо быть их произведением, необходимо коммутативным:

Rot I nn nq nn nq Rot Z I Z (473).

Pages:     | 1 |   ...   | 17 | 18 || 20 | 21 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.