WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 43 |

K2 [B1,2,(r1 + r2)] sin Ф = B1,2 =. (405) k [B1,2,(r1 + r2)] § 8.4. Генеральное синусное неравенство Тригонометрический спектр высшего матричного коэффициента 2-го рода (в числителе дроби) выражается ниже как в алгебраической сумме, так и в прямой сумме с использованием принципа бинарности (где = 0).

r1 - K2 [B1,2, (r1 + r2)] = Si·K2 [B1,2, (r1 + r2)]·Si + Sd·K2 [B1,2, (r1 + r2)]·Sd. (406) i = Здесь проектор Sd = cos Ф проецирует ортогонально на дефектное подпространство пересечений:

‹Pd› ‹‹ im A2ker A1›U‹ im A1ker A2›› размерности (r2 – r1 + 2).

r1 - K2 [B1,2, (r1 + r2)] = det [(A1|A2) · ( A1|A2)]i22 · Ii22 (407) i = (r2 - r1 + )(r2 - r1 + ) (r2 - r1 + )(r2 - r1 + ) det [A1A1] ·I det [A2A2] ·I (n - r1 - r2)(n - r1 - r2) Z.

Поясним некоторые выражения в формуле (407):

[(A1|A2)·(A1|A2)]i22 – 22-матрица ранга 2 (несингулярная), соответствующая i-ой тригонометрической клетке; для неё высший матричный коэффициент 2-го рода определяется, согласно (29), а высший скалярный коэффициент совпадает с детерминантом;

(r2 - r1 + )(r2 - r1 + ) [A1A1] и [A2A2] – несингулярные матрицы, соответствующие в спектре подпространствам ‹im A1ker A2› и ‹im A2ker A1›; для них высшие коэффициенты определяются аналогично;

(n - r1 - r2)(n - r1 - r2) Z – нулевой блок.

Ортопроектор на образ гомомультипликации B1,2 в прямой сумме имеет вид:

r1 - (r2 - r1 + 2)(r2 - r1 + 2) (n - r1 - r2)(n - r1 - r2) B1,2 = Ii22 I Z. (408) i = Далее принято, что r2 r1, как указано на рис. 2. Отметим, что для полно линейно независимых линеоров (r1 + r2) n и = 0. Для i-й тригонометрической клетки, согласно (I24), имеем:

22 22 0 sin2 i = det [(A1|A2)·(A1|A2)] / tr [A1A1] ·tr [A2A2] 1, (409) i i i где i – угол между планарами первого ранга ‹im [A1A1]i22› и ‹im [A2A2]i22›, как и в косинусном варианте (395).

138 Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства Для установления генерального синусного неравенства остаётся, как и ранее, вычислить высший скалярный коэффициент. Он находится с учётом (407) и (409) в форме прямого произведения по тригонометрическим подпространствам:

k [B1,2, (r1 + r2)] = (410) r1 - 22 - r1 + )(r2 - r1 + ) = det [(A1|A2)·(A1|A2)] ·det [A1A1] ·det [A2A2](r = i i = r1 - - r1 + )(r2 - r1 + ) = {sin2 i· tr[A1A1]i22·tr[A2A2]i22}·det[A1A1]·det[A2A2](r = i = r1 - = sin2 i·k (A1A1,r1)·k (A2A2,r2).

i = (В этом произведении опускаются значений sin2 i = 1 при i > r1–.) И, наконец, из (404) и (410) выводим генеральное синусное неравенство для пары nr1- и nr2-линеоров, причём при n > исключительно в модульной форме:

r1 - {A1A2} Mt 2 (r1 + r2) 0 sin2 i = |{A1|A2}|sin2 = = Mt 2 (r) А1·Mt 2 (r) Аi = = |Dl (r1 + r2) sin Ф | 1. (411) Здесь в крайних случаях:

|{A1|A2}|sin = 0 – для хотя бы частично параллельных линеоров, |{A1|A2}|sin = 1 – для полно ортогональных линеоров.

Для пары эквиранговых линеоров и соответственно для тензорного угла между ними генеральные неравенства (396) и (411) можно объединить в парное тригонометрическое неравенство:

r r 0 |{A1·A2}|cos2 + |{A1·A2}|sin2 1. (412) Оно получается путём применения алгебраического неравенства Коши для средних арифметического и геометрического к квадратам собственных значений косинуса и синуса и суммирования обоих неравенств. Косинусное отношение может быть ненулевым только при исходном условии r1 = r2 = r. Синусное отношение может быть ненулевым только при 2r n. При этом знак равенства справа в (412) имеет место тогда и только тогда, когда |i| = const (i = 1, …, r). При r = (то есть для угла между двумя векторами или прямыми) соотношение (412) трансформируется в обычное равенство: cos2 + sin2 = 1.

§ 8.4. Генеральное синусное неравенство Пусть дана прямоугольная nr-матрица ранга r. Представим её путём произвольной разбивки в форме совокупности блок-столбцов:

A {A1| A2 | …| Aj}.

Такой форме матрицы A соответствует некоторый полигранный тензорный угол, задаваемый гранями – линеорами A1, A2, …, Aj.

В частности, это есть полирёберный угол, если разбивка осуществляется до вектор-столбцов. Последовательно применив к указанной форме матрицы A генеральное синусное неравенство, получаем в итоге Mt (r) A Mt (r1) A1·Mt (r2) A2· … ·Mt (rj) A (413) j.

Причём знак равенства отвечает варианту взаимно-ортогональных линеоров (векторов). Соотношение (413) наиболее полно обобщает синусное неравенство Адамара. Кроме того, его частным случаем, применительно к теории решения линейного уравнения Ax = a, является тригонометрическая формула (122).

Все рассмотренные неравенства в исконной сферической трактовке имеют геометрический смысл применительно к евклидову или квазиевклидову пространству. С другой стороны, в псевдоевклидовом пространстве, используя сферическо-гиперболическую синустангенсную аналогию (§ 6.2), получаем секансные и тангенсные генеральные неравенства гиперболического типа для матричных объектов, заданных сначала в универсальном базисе. В свою очередь, обращая секансное неравенство, получаем неравенство-перевёртыш гиперболического типа косинусной природы. Далее эти неравенства обобщаются на любые псевдодекартовы базисы с применением фундаментального рефлектор-тензора или срединного рефлектора угла.

Глава 9. Геометрические нормы матричных объектов § 9.1. Квадратичные нормы матричных объектов евклидова (квазиевклидова) пространства Для любых принятых геометрических норм матриц или матричных объектов требуется, прежде всего, инвариантность по отношению к собственным геометрическим преобразованиям пространства.

n + q Например, последние в ‹Q › задаются рефлектор-тензором. К ним относятся тригонометрически согласованные ротации и рефлексии, n а также параллельный перенос. С другой стороны, в ‹E › подобной согласованности для ротаций и рефлексий вообще не требуется, так как в нём рефлектор-тензор формально есть обычная единичная матрица.

В таких арифметических пространствах для объектов ранга 1 вполне естественно применяется евклидова норма протяжённости. В бинарных тригонометрических отношениях объектов ранга 1 применяются евклидовы нормы косинуса и синуса, вытекающие из неравенств Коши и Адамара. Но для объектов большего ранга евклидова норма (или норма Фробениуса) имеет всего лишь первый порядок, выделяющий её на множестве геометрических норм. В связи с этим для объектов ранга r представляет особый интерес определить аналогичные нормы более высоких порядков – вплоть до величины ранга r. Выбор геометрических норм для rn-матрицы A или для отвечающего ей линеора возможен, в принципе, двумя способами.

По первому способу сначала вычисляют промежуточную норму для гомомультипликации AA (в случае исходной симметричной матрицы – для квадрата S2). Она увязывается с её собственными значениями i2 > 0. Следовательно, чтобы далее произвести норму, относящуюся непосредственно к исходной матрице A, нужно из промежуточной дополнительно извлечь положительный квадратный корень. По второму способу норму можно было бы сразу увязать с собственными значениями i > 0 матричного арифметического корня AA (для неотрицательной симметричной матрицы такой корень тождествен исходной матрице S). Однако в общем случае вычисление матричного арифметического корня – довольно сложный и трудоёмкий процесс.

§ 9.1. Квадратичные нормы матричных объектов С учётом этого обстоятельства в данной работе применяется именно первый способ. Получаемые по нему геометрические нормы именуются как квадратичные ввиду того, что они базируются на генеральной совокупности собственных значений i2.

Например, для знаконеопределённых симметричных матрицфункций cos Ф, sin Ф, tg Ф и sec Ф тригонометрические квадратичные нормы увязывают с собственными значениями их квадратов cos2 i, sin2 i, tg2 i и sec2 i. Они же при таком подходе одинаковы для тензорных тригонометрических функций проективного и моторного типа.

Предпосылками для корректного определения общих квадратичных норм являются ранее установленные геометрические аналогии типа (125), (127) – см. § 3.1, а также генеральное неравенство средних величин в части цепи (11) для средних алгебраических – см. § 1.2. Ранее анализ соотношений (125) и (127) показал, что коэффициенты Виета для гомомультипликаций матриц имеют вполне ясную геометрическую трактовку. Кроме того, получаемые из коэффициентов Виета малые медианы, согласно цепи (11) генерального неравенства средних величин, укладываются в некоторую иерархическую последовательность.

(Медианы, как и ранее, отмечаются чертой сверху.) С учётом вышесказанного определим квадратичные геометрические нормы rn-матриц порядка t и степени h через внутренние гомомультипликации как характеристики двух типов – простые и приведённые:

2t ||A||th = [ k(AA,t) ]h > 0, (414) 2t ||A||th = [ k(AA,t) ]h > 0. (415) /Ct r В частности, ||B||nn = det (BB) = |det B| = ||B||nn, ||B||tt = k (BB,t), ||B||tt = k (BB,t), /Ct r ||A||rr = det (AA) = Mt (r) A = ||A||rr.

Генеральная норма, по определению, имеет порядок r, равный рангу матрицы. Она же при h = r есть минорант матрицы – см. § 3.1.

Генеральные квадратичные тригонометрические нормы степени 1 для тензорного косинуса и синуса (проективных и моторных) определяются аналогичным образом:

n r - 2n n 0 ||cos Ф12||n1 = det cos2 Ф12 = cos2 i = |{A1·A2}|cos2 1, (416) i = 142 Глава 9. Геометрические нормы матричных объектов (r1 + r2) r1 - 2(r1 + r2) r1 + r0 ||sin Ф12||1 = Dl ( ) sin2 Ф12 = sin2 i = r1 + r i = (r1 + r2) = |{A1·A2}|sin2 1. (417) Эти нормы характеризуют скалярно бинарный тензорный угол между линеорами A1 и A2 или между планарами ‹im A1› и ‹im A2› при условии 2r n (для косинуса) и при условии r1 + r2 n (для синуса). В случае 2r > n генеральную косинусную норму относят к углу между планарами ‹ker A1› и ‹ker A2›. При r1 + r2 > n генеральная синусная норма вырождена. В свою очередь, скалярная характеристика n 0 ||cos ФB||n1 = |{B}|cos2 1 (418) есть генеральная тригонометрическая норма степени 1 для косинуса бинарного тензорного угла между планарами ‹im B› и ‹im B› при условии 2r n. В противном случае эту норму относят к углу между планарами ‹ker B› и ‹ker B›. Все вышеуказанные геометрические нормы формально при t > rang{…} суть нулевые, а при t = 0 суть единичные.

Согласно рекуррентной формуле Варинга – Леверье прямого типа или системе уравнений Ньютона (§ 1.1), имеется только r независимых геометрических норм. Именно нормы (414) и (415) полностью охарактеризовывают геометрические свойства линейного матричного объекта ранга r, согласно полному набору его геометрических инвариантов. Квадратичная геометрическая норма порядка 1 и степени 1 есть норма Фробениуса:

n r r ||A||11 = tr (AA) = jk2 = i2 = ||A||F > 0. (419) k = 1 j = 1 i = (То же справедливо для евклидовой нормы векторов.) С другой стороны, отметим, что если бы нормы определялись, согласно второму способу (см. выше), из собственных значений AA, то тогда нормы Фробениуса и Евклида являлись степенными нормами порядка = 2:

r S (i) = i ( = 1,r).

i = Соответствующий им полный набор алгебраических норм тогда бы имел вид:

t t || AA ||t1 = st (i ) = k ( AA, t) ( t = 1, r ).

§ 9.1. Квадратичные нормы матричных объектов Тождественность обоих способов определения норм (при одних и тех же их параметрах) имеет место только для норм высшего порядка, то есть для генеральных норм:

r 2r r r 2r ||A||r1 = sr (i2) = det (AA) = Mt (r) A = sr (i) = det AA.

(В частности, это имеет место для евклидовой нормы при r = 1.) Однако в общем случае при t r для вычисления норм по второму способу, как уже указывалось, потребовалось бы сначала найти матричный арифметический корень. По первому способу нормы вычисляют через скалярные характеристические коэффициенты той же внутренней гомомультипликации AA. В этом суть различия обоих подходов и, как отмечалось ранее, – причина выбора именно первого способа определения геометрических норм.

Норма Фробениуса, или норма порядка 1 и степени 1 есть инвариант длины. Генеральная норма – минорант, или норма порядка r и степени r есть инвариант объёма ранга r. Характеристика ||A||r1 = ||A||r1 есть инвариант степени 1 этого объёма, или генеральная иерархическая норма – малая медиана (§ 1.1). Геометрические нормы ||A||t1 – малые медианы находятся в иерархии, соответствующей цепи (11) генерального неравенства средних величин. Геометрическая сущность вышеуказанных общих норм трактуется исходя из соотношений (127) как характеристика t-мерных объёмов и, в частности, при t = как характеристика длины, а генеральной нормы – из соотношения (125) как характеристика r-мерного объёма. Иерархические квадратичные тригонометрические нормы порядка 1 определяются аналогичным образом:

tr cos2 Ф tr sin 2 Ф ||сos Ф||11 =, ||sin Ф||11 =.

n n С учётом (182), (261) и (208), (264) имеем:

||сos Ф||12 + ||sin Ф||12 = 1 = ||sec Ф||12 – ||tg Ф||12. (420) Квадратичные тригонометрические нормы высшего порядка выражаются формулами (416), (417). Если цепь (11) генерального неравенства средних величин состоит из усреднённых инвариантов какой-либо тензорной тригонометрической функции, то тогда его же цепь (12) содержит обращённые усреднённые инварианты мультипликативно обратной тригонометрической функции. Очевидно, что иерархические инварианты косинуса и синуса заключены в интервале [0 1], а секанса и тангенса в интервалах: [1 ] и [0 ].

144 Глава 9. Геометрические нормы матричных объектов § 9.2. Определение абсолютных и относительных геометрических норм Рассмотрим определение и имманентные свойства разнообразных геометрических норм матричных объектов. Пусть А есть комплексная nm-матрица, представляющая алгебраически либо одновалентный n тензор в пространстве ‹A › при m n, либо двухвалентный тензор nn в пространстве ‹A › при m = n как некие геометрические объекты.

Дадим следующее определение.

Вещественная скалярная функциональная характеристика ||A||th от элементов матрицы A ранга r есть определённая абсолютная геометрическая норма порядка t и степени h, если она удовлетворяет следующим условиям (0 t m):

(a) ||A||th = [||A||t1]h > 0 при 1 t r, (a) ||A||0h = 1 при t = 0, (a) ||A||th = 0 при t > r;

(b) ||c·A||th = |c|h·||A||th, (c) ||A||th = ||U1·A·U2||th, (d) ||A||th = ||A*||th.

Данному определению отвечают, например, нормы (414) – (419).

Если же в условии (a) знак > заменить на знак, то тогда аналогичная функциональная числовая характеристика есть полуопределённая абсолютная геометрическая норма порядка t и степени h. Последняя применяется исключительно для квадратных матриц B, представляющих алгебраически двухвалентный тензор. Полуопределённые нормы обозначаются как |{B}|th. Приведём некоторые примеры:

Pages:     | 1 |   ...   | 15 | 16 || 18 | 19 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.