WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 43 |

P1 = H, P2 = Q – антикоммутативная пара из эрмитовой и косоэрмитовой матриц. В случае j2 - 1j2 = 1 это суть эрмитизированные проективные секанс и тангенс ( H2 - Q2 = I ).

в) 1j + 2j = 1j + 2j = ; P1 = Q1, P2 = Q2, – Q12 – Q22 = I.

Таким образом, мы выявили все основные типы антикоммутативных пар простых матриц, представляющие интерес в изучаемой тензорной тригонометрии.

Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства § 8.1. Тригонометрический спектр нуль-простой матрицы Матричные характеристические коэффициенты высшего порядка, как и проекторы, суть простые сингулярные матрицы с единственным ненулевым собственным значением (гл. 1 и 2). Представим высший матричный коэффициент второго рода для нуль-простой матрицы (§ 1.6) сначала в форме алгебраической ортогональной суммы по собственным тригонометрическим подпространствам, а затем в форме соответствующей ей прямой ортогональной суммы по собственным тригонометрическим клеткам, используя принцип бинарности (§ 5.6):

r - K2(B,r) = Si· K2(B,r) · Si + Sm· K2(B,r) · Sm, (373) i = где Si = {cos2 Ф - cos2 i·I} проецирует ортогонально на i-ю собственB ную тригонометрическую плоскость ‹Pi›;

Sm = {cos Ф - I} проецирует ортогонально на подпространство B ‹Pm› ‹ im Bim B› размерности (см. рис.2). Причём здесь = ввиду того, что B – нуль-простая матрица. Собственные ортопроекторы составляют полную сумму:

r - Si + Sm + Sq = I, i = где Sq = {cos ФB + I} проецирует ортогонально на подпространство ‹Pq› ‹ker Bker B› размерности n - 2r + (см. рис.2).

Общая размерность пространства, как и должно быть, составляет:

2·(r - ) + + (n - 2r + ) = n. На подпространстве ‹Pi› коэффициент K2(B,r) формально проявляет себя как сингулярная матрица ранга 1;

её размер в прямой сумме есть 22. На ‹Pm› он формально проявляет себя как несингулярная матрица; её размер в прямой сумме есть.

На ‹Pq› он формально проявляет себя как нулевая матрица; её размер в прямой сумме есть (n - 2r + )(n - 2r + ). В прямой сумме имеем:

130 Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства r - (n - 2r + )(n - 2r + ) K2(B,r) = Bi22 det Bm·I Z (374), i = где знак обозначает ортогональное прямое суммирование. Здесь как (r - ), так и (n - 2r + ) – неотрицательные числа. Поэтому имеет место неравенство:

2r - n r. (375) В частности, для нуль-нормальной матрицы (§ 2.4) формула (374) приобретает простейший вид:

rr (n - r)(n - r) K2(B,r) = det Bmrr·I Z.

В формуле (374) применены специальные обозначения матриц:

Bi22 – 22-матрица ранга 1; для неё, согласно (29), высший матричный коэффициент совпадает с самой матрицей, а высший скалярный коэффициент совпадает с её следом;

Bm – -матрица ранга ; для неё, согласно (29), высший матричный коэффициент равен det Bm·I, а высший скалярный коэффициент совпадает с её детерминантом;

(n - 2r + )(n - 2r + ) Z – часть нулевого блока, неотносящаяся к Bi22.

Общая сингулярность B, как и должно быть, составляет:

(r - ) +(n - 2r + ) = n - r.

Если в формуле (374) каждое слагаемое Bi22 поделить на его след, а несингулярное слагаемое поделить на его детерминант, то тогда она преобразуется в прямой тригонометрический спектр косопроектора:

K2(B,r) r - Bi (n - 2r + )(n - 2r + ) B = = I Z. (376) k (B,r) tr Bii = При данном преобразовании применяется формула (62) для r = 2 и r = n. Аналогичные тригонометрические спектры с использованием принципа бинарности выводятся для мультипликативных матриц:

r - K2(BB,r) = Si· K2(BB,r) · Si + Sm·K2(BB,r) · Sm, (377) i = r - K2(BB,r) = Bi22· B det2 Bm· I Z(n - 2r + )(n - 2r + ), (378) i i = r - K2(BB,r) Bi22 · B i (n - 2r + )(n - 2r + ) BB = = I Z. (379) k (BB,r) tr {Bi22 · B } i = 1 i § 8.2. Генеральное косинусное неравенство Из (374), (376) и (378), (379) получаем прямые произведения для высших скалярных коэффициентов:

r - k(B,r) = tr Bi22 · det Bmvv = k(B,r), (380) i = r - k(BB,r) = tr {Bi22 · B }· det2 Bmvv = k(BB,r). (381) i i = § 8.2. Генеральное косинусное неравенство В свою очередь, согласно (186), (194), имеем:

BB = B ·B·cos2 Ф = (B · cos Ф ) · (B · cos Ф ). (382) B B B Подставив в первую часть соотношения все матрицы в форме прямых спектров, получаем собственные косинусные неравенства для каждой его тригонометрической клетки:

tr2 Bi0 cos2 i = 1. (383) tr {Bi22 · B } i Из (380), (381) и (383) следует генеральное косинусное неравенство для квадратной матрицы в модульной форме, то есть для косинусного отношения (137), а именно:

r - k2 (B,r) 0 cos2 i = |{B}|cos2 = |det cos Ф | = 1. (384) B k (BB,r) i = Здесь в крайних случаях:

|{B}|cos = 0 – для нуль-дефектной матрицы, |{B}|cos = 1 – для нуль-нормальной матрицы.

Используя ранее введённые характеристики матрицы – дианаль и минорант (гл. 3), придадим косинусному неравенству вид:

|Dl (r) B| |Dl (r) B| 0 = |{B}|cos = 1.

Mt (r) B Dl (r) BB Воспользовавшись второй частью соотношения (382), получаем аналогичные косинусные неравенства, но в знаковой форме:

tr Bi- 1 cos i = + 1. (385) tr {Bi22 · B } i 132 Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства В случае косинусного отношения (138) имеем:

r - k (B,r) - 1 cos i = {B}cos = + 1, (386) i = 1 k (BB,r) или Dl (r) B Dl (r) B - 1 = {B}cos = + 1.

Mt (r) B Dl (r) BB Крайние варианты здесь соответствуют нуль-нормальным матрицам с отрицательной и положительной дианалью (Dl (r) B = k(B,r) = q j = js – см. § 1.5). Например, это могут быть несингулярные матрицы j = с отрицательным и положительным детерминантом. Нетрудно также видеть, что в вышеуказанных формулах частный угол - i + отличается от собственного угла - /2 i +/2 также, как угол между двумя направленными векторами отличается от угла между двумя ненаправленными векторами или линиями. Соответственно |{B}|cos есть косинусное отношение для планаров ‹im B›, ‹im B› и для планаров ‹ker B›, ‹ker B›; а {B}cos есть косинусное отношение для линеоров, заданных матрицами B и B.

Заметим также, что для простой составляющей РВ от нуль-простой матрицы В, согласно (22) и (76), тригонометрия и спектры тождественны таковым для самой исходной матрицы:

PB = B, (В ‹Вр›).

PB·PB = BB, Кроме того, отметим, что для тензорного угла между планарами ранга 1, то есть прямыми, и ранга (n - 1), то есть гиперплоскостями, возможна только одна тригонометрическая клетка, что отвечает одной собственной тригонометрической плоскости.

Из вышеизложенного следует основной вывод. Тригонометрический смысл собственных углов i для сферических функций тензорного угла заключается в том, что это суть скалярные углы между планарами первого ранга – ‹im Bi22› и ‹im B › в прямых тригонометрических i спектрах для K2(B,r) и K2(B,r).

Аналогичный указанному тригонометрический смысл имеют собственные скалярные углы i в клетках, когда бинарный тензорный угол задаётся эквиранговыми линеорами A1 и A2 или планарами ‹im A1› и ‹im A2›. Пусть выполняется условие (224) при B = A1A2 и соответственно имеет место взаимно-однозначное соответствие (226) между ортопроекторами. Тригонометрические спектры для внешних мультипликаций линеоров A имеют вид:

§ 8.2. Генеральное косинусное неравенство r - K2(AA,r) = Si· K2(AA,r) · Si + Sm· K2(AA,r) · Sm i = r - (n - 2r + v)(n - 2r + v) [AA]i22 det [AA] ·I Z, (387) i = r - K2(A1A2,r) = Si· K2(A1A2,r) · Si + Sm· K2(A1A2,r) · Sm i = r - (n - 2r + )(n - 2r + ) [A1A2]i22 det [A1A2]·I Z ; (388) i = r - K2(AA,r) [AA]iAA = = I Z(n - 2r + )(n - 2r + ), (389) k (AA,r) tr [AA]ii = r - K2(A1A2,r) [A1A2]i (n - 2r + )(n - 2r + ) A1A2 = I Z ; (390) k (A1A2,r) = tr [A1A2]ii = r - k (AA,r) = tr [AA]i22· det [AA] = det AA, (391) i = r - k (A1A2,r) = tr [A1A2]i22· det [A1A2] = det A1A2. (392) i = Причём, согласно (132), det2 [A1A2] = det [A1A1]·det [A2A2].

В свою очередь, согласно (186), (196) и (226), имеем:

A1A1·A2A2 = A1A2·cos2 Ф = (A1A2·cos Ф )·(A2A1·cos Ф ). (393) 12 12 Отсюда же для 2х2-клеток ранга 1 устанавливаются вспомогательные соотношения:

[A1A2]i22· [A1A2]i22 = tr [A1A2]i22· [A1A2]i22 = [A1A1]i22· [A2A2]i22. (394) Первое из них есть частный случай (68). Подставив в формулу(393) матрицы в виде прямых спектров и используя (394) по клеткам, получаем собственные косинусные неравенства и затем генеральное косинусное неравенство для пары эквиранговых линеоров A1 и A2 :

0 cos2 i = tr2 [A1A2]i22/ tr [A1A1]i22 · tr [A2A2]i22 1, (395) r - {A1A2} Dl 2(r) 0 cos2 i = |{A1A2}| = |det cos Ф | = 1, (396) cos Mt 2 (r) А1·Mt 2 (r) Аi = где i – собственные скалярные углы между планарами первого ранга ‹im [A1A1]i22› и ‹im [A2A2]i22›. Здесь в крайних случаях:

|{A1A2}| = 1 – для параллельных линеоров, cos |{A1A2}| = 0 – для ортогональных, в том числе частично, линеоров.

cos 134 Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства Соответствующие косинусные неравенства в знаковой форме:

– 1 cos i = tr [A1A2]i22 / tr [A1A1]i22 · tr [A2A2]i22 + 1, (397) r - {A1A2} Dl (r) – 1 cos i = {A1A2}cos = + 1. (398) Mt (r) А1·Mt (r) Аi = Заметим, что в (384) и (396) знаменатели тождественны (где B = A1A2).

Это соответствует той же формуле (132). При r1 r2 косинусное отношение формально нулевое.

§ 8.3. Спектрально-клеточное представление тензорных тригонометрических функций Теперь можно взглянуть более детально на структуру проективного косинуса и синуса на уровне тригонометрической 22-клетки. Как было показано ранее (гл. 5), собственные тригонометрические плоскости, относящиеся к 22-клеткам, для тензорных углов проективного и моторного типа тождественны. Поэтому на основании левой части (301) и спектра (389) имеем:

cos i - sin i [A1A1]i22 cos i sin i [A2A2]i · · =.

sin i cos i tr [A1A1]i22 – sin i cos i tr [A2A2]iВ свою очередь, 22-клетку проектора [AA]i22 ранга 1 можно представить как внешнюю мультипликацию единичного 21-вектора ei, задающего i-ю базисную линию планара ‹im A› на i-й собственной тригонометрической плоскости бинарного тензорного угла:

[AA]i[AA]i22 = = ei·ei = ei·ei.

tr [AA]iСоответственно две стороны тензорного угла, образуемого планарами ‹im A1› и ‹im A2› ранга r, на уровне 22-клетки можно представить в виде двух собственных единичных векторов или прямых, которые преобразуются друг в друга посредством ротационного или рефлективного преобразования, согласно (301). Выразим декартовы координаты указанных единичных векторов для обоих планаров на i-й тригонометрической плоскости через прилежащие углы:

cos e1 = cos 1, e2 =.

sin 1 sin Тогда при ротационном преобразовании планаров имеем:

cos 12 - sin e2 = sin 12 cos 12 ·e1 (12 = 2 – 1).

§ 8.4. Генеральное синусное неравенство (Если представить 1-й вектор в форме суммы его двух ортопроекций, то видно, что каждая из проекций поворачивается на тот же угол, что и вектор.) Согласно (171), косинус для 22-клетки имеет вид:

[cos Ф ]22 = e1·e1 + e2·e2 - I22 = e1·e1 + e2·e2 - I22.

После тригонометрических преобразований получаем cos (2 - 1) · cos (2+ 1) = ( ) ( ) cos 1 + 2 sin 1 + [cos Ф ]22 = cos 12· = cos2 1+ cos2 2 - 1, (399) ( ) - ( ) sin 1 + 2 cos 1+ cos (2 - 1) · sin (2 + 1) = = cos 1·sin 1 + cos 2·sin 2.

Согласно (163), синус для 22-клетки имеет вид:

[sin Ф ]22 = e2·e2 – e1·e1 = e2·e2 – e1·e1.

После тригонометрических преобразований получаем sin (2 - 1) · sin (2+ 1) = ( ) ( ) sin 1+ 2 cos 1 + - [sin Ф ]22 = sin 12· = sin2 2 - sin2 1, (400) ( ) ( ) cos 1 + 2 sin 1+ sin (2 - 1) · cos (2 + 1) = = cos 2·sin 2 - cos 1·sin 1.

Условие (2 + 1) = 0 или в тензорной форме (Ф + Ф ) = Z 1 отвечает базису диагонального косинуса, или тригонометрическому базису. При том же условии все проективные тригонометрические функции и углы, а также все рефлекторы имеют ранее установленные канонические формы (§ 5.5). Зеркало срединного рефлектора есть срединное подпространство тензорного угла, что наглядно видно на уровне рассмотренной 22-клетки. Аналогично представляются проективные секанс и тангенс.

§ 8.4. Генеральное синусное неравенство Генеральное косинусное неравенство (396) для пары эквиранговых линеоров A1 и A2 служит далее определению косинусных тригонометрических норм. При r = 1 оно есть геометрическое неравенство Коши в модульной форме для парной совокупности чисел. Последнее используется в аналитической геометрии с целью нормирования косинуса угла между двумя векторами в интервале [0 /2]. В знаковой форме типа (141) неравенство Коши определяет косинусную меру угла между двумя направленными векторами в интервале [0 ]. Оно является частным случаем генерального косинусного неравенства (398).

Изначально неравенство Коши имело чисто алгебраический характер.

136 Глава 8. Тригонометрические спектры и неравенства Но тот же характер можно придать и вышеуказанным генеральным неравенствам (384), (386) и (396), (398), если их отнести непосредственно к скалярным элементам матриц. Генеральные косинусные неравенства суть прямые произведения собственных неравенств Коши, согласно тригонометрическим спектрам. В соответствии с (229), (230) для пары эквиранговых nr-линеоров имеет место критерий внутренней мультипликации для констатации их хотя бы частичной ортогональности:

det C12 = det (A1A2) = 0 { A1A2}cos = 0. (401) С другой стороны, для определения тригонометрических норм синусного характера может применяться синусное отношение (135).

Оно невырождено для пары полно линейно независимых линеоров.

В соответствии с (227), (228) для пары nr1- и nr2-линеоров имеет место критерий внутренней мультипликации для констатации их хотя бы частичной параллельности, или частичной линейной зависимости (аналог определителя Грама для набора векторов):

det G1,2 = det [(A1|A2)·( A1|A2)] = 0 |{ A1|A2}|sin = 0. (402) Конечно, тот же самый критерий можно применять к планарам ‹im A1› и ‹im A2› для констатации их хотя бы частичной параллельности.

Синусное отношение (135) невырождено только для полно линейно независимых линеоров. Оно представляется аналогично косинусному в форме прямого произведения собственных синусных отношений (124), согласно соответствующему тригонометрическому спектру. Матрицасуперпозиция линеоров (A1|A2), когда последние полно линейно независимы, имеет ранг (r1 + r2). Её внешняя гомомультипликация есть симметричная положительно (полу)определённая nn-матрица B1,2 = [(A1|A2) · ( A1|A2)]. С учётом (120) и (402) имеем:

k [B1,2, (r1 + r2)] = det G1,2 0. (403) Согласно (I35), получаем:

k [B1,2,(r1 + r2)] {|A1|A2}|sin2 =. (404) k (A1A1,r1) · k (A2A2,r2) С другой стороны, согласно (62), (159) и (163), для пары полно линейно независимых линеоров имеем:

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.