WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 43 |

sh d ch - sh · ch / 1 Здесь единичный радиус-вектор всегда гиперболически ортогонален своей гиперболе в точке касания. В частности, он и касательная задают новые гиперболически связанные оси координат. Фокусу гиперболы соответствует особый скалярный гиперболический угол 0,881 рад; sh = 1, ch = 2, th = 2/2. Согласно синустангенсной аналогии конкретного типа, () = /4. Например, sin (/4 ± i·) = 1 ± 2/2·i, cos (/4 ± i·) = 1 2/2 · i.

Другой вид сферическо-гиперболической аналогии конкретного типа в 1 устанавливается через отношение изоморфизма между кажущимся сферическим углом R и гиперболическим углом R, если принять, что они задаются на плоскости/псевдоплоскости одним и тем же радиус-вектором (рис. 3). Указанная тригонометрическая аналогия определяется исходно через тождество тангенсов tg R th R = R() = arctg th (- /4 R + /4). (354) Другие функции связаны соотношениями:

sin R sh / ch 2, cos R сh / ch 2, (355) sh R sin / cos 2, ch R cos / cos 2.

Данное соответствие определяется как сферическо-гиперболическая тангенс-тангенсная аналогия. Например, R () 35°. В принципе, возможно бесконечное количество вариантов аналогий конкретного типа, но все они сводятся к тождествам вида:

sin (k1) th (k2), tg (k1) sh (k2), tg (k1· /2) th (k2· /2) (356) cos (k1) sch (k2), sec (k1) ch (k2).

Здесь - /4 k1· /2 + /4.

Практический интерес представляют 4 варианта:

1) k1 = k2 = 1 соответствует (331).

2) k1 = k2 = 2 соответствует (354).

3) k1 = 1, k2 = 2.

4) k1 = 2, k2 = 1.

Если конкретную аналогию применить в первом и втором вариантах соместно, то чисто геометрически решаются (с помощью циркуля § 6.4. Гиперболическая тригонометрия на псевдоплоскости и линейки) задачи удвоения и бисекции гиперболического угла в универсальном базисе (рис. 3):

a) tg th, R = R(), = 2R tg sh 2;

б) tg sh, = (), R = /2 tg R th /2.

В этом случае имеет место неравенство |R ()| < | ()| < 2 · |R ()|. (357) Действительно, сos sch, cos > cos (2R);

cos 2R sch 2, tg sh, |tg | > |tg R|.

tg R th, В тензорной тригонометрии представляет особый интерес именно синус-тангенсная аналогия. Она устанавливает непосредственную взаимосвязь в любом универсальном базисе 1 между преобразованиями и углами в квартовом круге (341). С применением синус-тангенсной аналогии устанавливаются тригонометрические формулы для плоского гиперболически прямоугольного треугольника. Последний определяется как треугольник на пcевдоплоскости, у которого две стороны-катеты «a» и «b» принадлежат различным собственным подпространствам рефлектор-тензора, то есть с собственными значениями «+1» и «-1». Катеты образуют прямой угол = ± (в гиперболической метрике). Против него лежит гипотенуза «g». Если |b| > |a|, то гипотенуза треугольника находится внутри изотропного конуса и g2 = b2 - a(внутренний треугольник). Если |a| > |b|, то гипотенуза треугольника находится вне изотропного конуса и g2 = a2 - b2 (внешний треугольник).

Если |a| = |b|, то гипотенуза лежит на поверхности изотропного конуса и g = 0. Против катета с меньшим модулем minimod‹a, b› лежит угол.

Против катета с бльшим модулем maximod ‹a, b› лежит угол.

(Гипотенуза g в зависимости от её положения относительно изотропного конуса времениподобна или пространствуподобна - см. § 11.2.) Имеем:

0 |cosch | = |sh | = 1/g · |minimod ‹a, b›| = |tg | = |ctg | +, +1 |cth | = ch = 1/g · |maximod ‹a, b›| = sec = |cosec | +, (358) -1 ± sch = th = minimod‹a, b›/ maximod‹a, b› = sin = ± cos +1.

122 Глава 6. Тензорная псевдоевклидова тригонометрия Здесь и далее и – основной и дополнительный гиперболические углы.

Они не равноценны в отличие от и – основного и дополнительного сферических углов. В прямоугольном треугольнике на плоскости/ псевдоплоскости синус-тангенсная аналогия устанавливает взаимнооднозначное соответствие между его тремя углами (в базисе 1):

th sin { (), d = /2, () = } (359) ( или = 0 или = ± ) ( или = 0 или = ± /2);

- = - < + < + = + - 1 < th ( + ) = sin < +1 (360) - /2 = - d < < + d = + /2.

§ 6.5. Элементарные тензорные гиперболические тригонометрические функции Сферическо-гиперболическую аналогию обоих типов (абстрактную и конкретную) можно использовать для упрощённого вычисления матриц элементарных структур в квартовом круге (341) – как моторных, так и рефлективных, если уже известна структура для какой-либо матрицы из круга. Например, аналогично ранее найденным структурам (313), (314) устанавливаются структуры деформационных матриц:

{def (± Ф)} 1 + (sec - 1)·cos2 1 (sec - 1) · cos 1· cos 2 tg · cos (sec - 1) · cos 1· cos 2 1 + (sec - 1) · cos2 2 tg · cos, (361) tg · cos 1 tg · cos 2 sec {def (± Ф)}(n +1)( n +1) I + (sec - 1) ·{e·e} nn tg ·e. (362) (e·e = e·e ) tg ·e sec Эти структуры как элементарные, подобно структурам (313), (314), выводятся из исходной 22-клетки (292) по тем же схемам модальных преобразований (315), (317), (318). И далее из полученых структур деформационных и ротационных сферических матриц-функций по синус-тангенсной аналогии выводятся родственные структуры ротационных и деформационных гиперболических матриц-функций:

§ 6.5. Элементарные векторные тригонометрические функциии {roth (± )} 1 + (ch - 1)·cos2 1 (ch - 1)·cos 1·cos 2 (ch - 1)·cos 1·cos 3 sh ·cos (ch - 1)·cos 1·cos 2 1 + (ch - 1)·cos2 2 (ch - 1)·cos 2·cos 3 sh ·cos, (363) (ch - 1)·cos 1·cos 3 (ch - 1)·cos 2·cos 3 1 + (ch - 1)·cos2 3 sh ·cos sh ·cos 1 sh ·cos 2 sh ·cos 3 ch {roth (± )}(n +1)( n +1) I + (ch - 1) ·{e·e} nn sh ·e, (364) (e·e = e·e ) sh ·e ch {defh (± )} 1 - (1 - sch )·cos2 1 - (1 - sch )·cos 1·cos 2 - (1 - sch )·cos 1·cos 3 th ·cos – (1 - sch )·cos 1·cos 2 1 - (1 - sch )·cos2 2 - (1 - sch )·cos 2·cos 3 th ·cos. (365) - (1 - sch )·cos 1·cos 3 - (1 - sch )·cos 2·cos 3 1 - (1 - sch )·cos2 3 th ·cos th ·cos 1 th ·cos 2 th ·cos 3 sch Кроме того, та же гиперболическая ротационная матрица-функция выводится из сферической по аналогии абстрактного типа. А именно по схеме (322) вещественный синус в ротационной матрице{rot Ф}can в (315) преобразуется в мнимый (284) и далее в гиперболический.

Отсюда же видно, что обращение ротационных и деформационных матриц-функций сводится к весьма простой операции: е : (– е ), или rot е = – е. В более общем случае при ротации в другой универсальный базис 1u = rot 1 в указанных тригонометрических матрицах изменяются только координаты вектора направляющих косинусов (пассивно): rot nn e = rot (- )nn e = e в пределах того же евклидова подпространства. Матрицы (313), (314) представляют интерес для изучения движений в 2- и n-мерной сферической геометрии. Матрицы (363), (364) представляют интерес для изучения движений в 3- и n-мерной гиперболической геометрии. Матрицы (363), (365) представляют интерес для изучения преобразований в псевдоевклидовом пространстве Минковского, связанных с физическим движением.

Глава 7. Тригонометрическая природа коммутативности и антикоммутативности § 7.1. Коммутативность простых матриц Биортогональные матрицы коммутативны и антикоммутативны:

B1· B2 = B2· B1 = - B2B1 = Z. Они обязательно сингулярны: r1 + r2 n.

Простые биортогональные матрицы приводятся к диагональной форме в некотором общем базисе, причём D1· D2 = Z. С тригонометрической точки зрения достаточно рассмотреть отношения мультипликативности только для несингулярных простых матриц, то есть без биортогональных блоков. Коммутативные простые матрицы, как известно, приводятся к диагональной форме в некотором общем базисе:

D{P1} D{P2} a j bj D{P} = Vcol– 1· P ·Vcol.

ak, b k, Диагональность этих форм, а следовательно, и коммутативность матриц сохраняются при воздействии на любую из диагональных 22-клеток, например (j, k), согласованных с ней модальных преобразований нижеуказанных простейших типов:

V1 Vc 0 0 d,.

c d Первое преобразование меняет направления осей координат и не затрагивает диагональной формы. Второе преобразование вызывает перестановку осей координат и диагональных элементов. Произведения таких простейших преобразований в любых сочетаниях, обусловленных размером матриц, составляют некоторое множество модальных матриц по отношению к данной диагональной форме как инвариантной структуре. При этом предполагается, что все собственные значения § 7.2. Антикоммутативность пары простых матриц каждой из матриц различны. В противном случае указанное множество расширяется за счёт тех преобразований, которые изменяют базис в пределах пересечения собственных подпространств P1 и P2. Ввиду того, что рассматриваемые коммутативные матрицы с изменением базиса преобразуются как двухвалентные тензоры, вышеуказанные типы модальных матриц в чистых формах сводятся к тригонометрическим преобразованиям – ротационным и рефлективным:

Rot (± /2) Roth (± i/2) Ref 0 1 0 i c,,. (366) c 1 0 i Следовательно, базис диагональной формы как простейшей структуры в данном случае можно определить с точностью до согласованных рефлексий или ротаций на тензорные углы ± k · /2 или ± k · i/2, где k = 0, ±1, ±2,…. (В гиперболической трактовке тензорному сферическому углу /2 отвечает бесконечный гиперболический аналог ; при этом как угловой аргумент возможен только он и нулевой угол.) § 7.2. Антикоммутативность пары простых матриц Из антикоммутативности пары простых матриц следуют соотношения:

P12·P2 = P2·P12, P1·P22 = P22·P1, P12·P22 = P22·P12.

В соответствии с принципом бинарности (§ 5.6) антикоммутативные простые матрицы (без биортогональных блоков – см. § 7.1) приводятся к согласованным бинарным клеточным формам в некотором общем базисе:

W{P1} W{P2} W{P} = VW-1· P ·VW.

Размерность таких несингулярных матриц обязательно чётная. Далее выполним общее модальное преобразование для обеих матриц P1 и P2 – причём такое, чтобы P1 стала диагональной. Тогда в новом общем базисе антикоммутативность этих простых матриц алгебраически возможна тогда и только тогда, когда согласованные 22-клетки имеют вид:

126 Глава 7. Тригонометрическая природа (анти)коммутативности P1 P 1j + a 0 b j (367) 0 - aj b2j.

Если же наоборот диагонализовать P2, то 0 a1j + bj (368) a2j 0 0 - bj, где a = a1·a2, b = b1·b2.

Ковариантная модальная матрица столбцов, приводящая контрадиагональную форму в (367) и (368) к диагональной, вычисляется, например, с использованием результатов § 2.2. Модальное преобразование для самого общего случая представляется в аффинной тригонометрической форме следующим образом:

Vcol-1 Vcol PD{P2} 2 2 b1 2 b–2 · · b2 b1 b2 2 2 2 +b1·b2 · · =, (369) b2 0 –b1·b2 –2 · 2 · b b 2 b1 2 2 b1 Vcol = {Rot /4}af ·VW, (370) -{Rot /4}af = V · Rot /4 ·V, (371) где det {Rot /4}af = + 1, 1,2 = cos /4 ± i · sin /4.

То есть это та же ротационная сферическая матрица, но выраженная в некотором аффинном базисе. В частности, в вещественном декартовом базисе это Rot /4, в комплексном бинарном декартовом базисе (271) это Roth (– i/4). Кроме того, с учётом (366)–(368) диагональные и контрадиагональные формы как структуры повторяются в базисах через согласованные прямые тензорные углы или кратные им. Они же как структуры устойчивы к согласованным с ними рефлексиям. Ввиду изложенного сформулируем основной результат.

Пара несингулярных простых матриц P1 и P2 антикоммутативна тогда и только тогда, когда базисы их диагональных форм связаны в общем случае аффинной сферической ротацией на согласованный тензорный угол ± /4. Антикоммутативные несингулярные простые матрицы имеют обязательно чётный размер. Антикоммутативные сингулярные простые матрицы имеют необходимо согласованные биортогональные блоки, приводимые к диагональной форме в общем базисе. (В гиперболической трактовке – § 6.4 вышеуказанному сферическому углу отвечает его гиперболический аналог «± ».) § 7.2. Антикоммутативность пары простых матриц Обратим внимание на следующее: если ротационная и внешняя модальная матрицы согласованы по 22-клеткам, то {Rot Ф}af = V -1·Rot Ф·V = = сos Ф + V-1· i sin Ф ·V. Например, именно так согласованы модальные матрицы, применяемые после преобразования VW.

Ниже рассмотрены характерные частные случаи, имеющие отношение к тензорной тригонометрии. Имеем:

b1j = ± b2j a1j = ± a2j, VW = RW ;

P1 = M1, P2 = M2 – антикоммутативные вещественные нормальные матрицы или комплексные адекватно нормальные матрицы (§ 4.2).

Причём они либо симметричны, либо кососимметричны, что отвечает трём вариантам пар S1 и S2, S и K, K1 и K2, как указано ниже:

а) b2j = + b1j = bj, a2j = + a1j = – aj ; aj2 + b1j2 = 1, VW = RW ;

P1 = S1, P2 = S2, S12 + S22 = I. Этот случай соответствует (183).

2/2 – 2/ =.

Vcol RW· = Rot /4 · RW 2/2 2/б) b2j = - b1j = bj /i, a2j = - a1j = iaj ; aj2 – b1j2 = 1, VW = RW ;

P1 = S, P2 = K, S2 – K2 = I. Этот случай соответствует (209).

2/2 – 2/2i =.

Vcol RW· = Roth i/4 · RW – 2/2i 2/в) b2j = - b1j = bj /i, a2j = - a1j = iaj ; P1 = K1, P2 = K2, – K12 – K22 = I.

Дополнительно рассмотрим отвечающие им примеры комплексных эрмитово нормальных пар антикоммутативных матриц N1 и N2. Имеем:

b1 = 1· (cos 1 + i sin 1), > 0, b2 = 2· (cos 2 + i sin 2), = 0 2, b = b1· b2 = 1· 2· exp [i (1 + 2)/2], b2 b1 = 2 1· exp (i12), b1 b2 = 1 2·exp (- i12); 12 = 2 - 1.

/ / / / По прежнему, b1j = ± b2j a1j = ± a2j, VW = RW. В более сложных случаях имеем:

|b1j| = |b2j| = b, |a1j| = |a2j| = a ; VW = UW ;

P1 = N1, P2 = N2 – антикоммутативные комплексные эрмитово нормальные матрицы. В частности, они могут быть эрмитовыми и косоэрмитовыми, что соответствует парам H1 и H2, H и Q, Q1 и Q2.

128 Глава 7. Тригонометрическая природа (анти)коммутативности Vcol 2/2 – 2/2· exp (- i12) = Exp {(- i12/2)·Rot /4·Exp (i12/2)}, (372) 2/2·exp ( i12) 2/ exp (i12) где 12 = 2 - 1, Exp i12 2 = UW· ·UW*.

/ 0 exp ( - i12) Ротационная матрица (372) есть частный случай (371). В том числе, при = /4 имеем модальную матрицу Roth (- i/4), соответствующую комплексному бинарному декартову базису. Более общо:

Exp (- i/4) · Rot Ф · Exp i/4 = Roth (iФ), что тождественно по результату рефлективному преобразованию (271). В самом же общем случае формула (372) выражает Rot /4 в эрмитово ортогональном базисе с углом комплексного сдвига 12. В вариантах (367), (368) имеем:

N1 N b·exp (i1) +a·exp [i + 2 ] b·exp(i2) -a·exp [i + 2 ], N1 Na·exp (i1) + +b·exp [i 2 ] a·exp(i2) -b·exp [i + 2 ].

а) 1j + 2j = 1j + 2j = 0 ;

P1 = H1, P2 = H2 – антикоммутативная пара эрмитовых матриц. В случае j2 + 1j2 = 1 это суть эрмитизированные проективные косинус и синус ( H122 + H222 = I ).

б) 1j + 2j =, 1j + 2j = 0;

Pages:     | 1 |   ...   | 13 | 14 || 16 | 17 |   ...   | 43 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.